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中3｜相似・円・図形の難問解き方がわからないときは 中３数学｜相似な図形とは 相似条件・証明・相似比【中3】（無料問題PDF） を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。
このページは中学3年生「図形（難問）」の無料問題プリントです。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数字で確かめてください。すべての問題に図が付いています。解答には、途中でつまずきやすい箇所の説明を付けています。
プリントをダウンロード
下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。
問題・解答を画像で見る
ページを移動せずに確認できます。印刷用PDFは各画像下のリンクから開けます。
問題
図形（難問）で何ができるようになるか
三平方の定理・相似・円の性質を組み合わせて使えるようにします。入試の図形は1つの定理では解けません。「どの三角形を取り出すか」を決められるかどうかで差がつきます。
解き方の手順
1直角を探す。あれば三平方の定理が使える三角形を1つ取り出す。
2等しい角を探す。平行線・円周角・折り返しは等しい角を作る。
32角が等しい三角形を見つけたら相似。対応する辺を順番どおりに並べて比を立てる。
4出た長さを図に戻して、別の関係でも成り立つかを確かめる。
つまずくのはここ
つまずき1｜相似の対応をまちがえて比を立てる
△ABC ∽ △ADE と書いたら、A↔A、B↔D、C↔E の順に対応します。比は AB : AD = AC : AE。頂点の順番を崩すと必ずまちがえます。
つまずき2｜面積比を相似比のまま使う
相似比が m : n なら、面積比は m² : n² です。長さの比をそのまま面積に使うのが最も多い失点です。
つまずき3｜折り返しで「変わらないもの」を見落とす
折り返しても長さと角の大きさは変わりません。折り目をはさんで等しい辺・等しい角に印をつけると、二等辺三角形が見えてきます。
数強塾オリジナルの練習問題
プリントと同じ考え方を、数字を変えて出題しています。図をよく見てから解いてください。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。
練習1
四角形ABCDの辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとします。四角形ABCDの面積が 120cm² のとき、四角形PQRSの面積を求めなさい。
P, Q, R, S はそれぞれ辺AB, BC, CD, DA の中点。
解答・解説を見る
解答
60 cm²
- 対角線ACを引くと、三角形ABCで PQ は中点連結定理より PQ ∥ AC、PQ = AC ÷ 2。
- 三角形ACDでも SR ∥ AC、SR = AC ÷ 2。よって PQ ∥ SR かつ PQ = SR。
- 1組の対辺が平行で長さが等しいので、四角形PQRSは平行四辺形。
- 同じ議論を対角線BDでも行うと、切り落とされる4つの三角形の面積の和がもとの四角形のちょうど半分になる。
- よって PQRS = 120 ÷ 2 = 60（cm²）
練習2
半径 80cm の円Oの外部に、OP = 82cm となる点Pをとります。点Pから円Oに引いた接線の接点をTとするとき、線分PTの長さを求めなさい。
円Oの半径は 80。OP = 82。T は接点。
解答・解説を見る
解答
PT = 18 cm
- 接線は接点を通る半径に垂直なので ∠OTP = 90°。
- 三角形OTPは直角三角形だから、三平方の定理より PT² = OP² − OT²。
- PT² = 82² − 80² = 6724 − 6400 = 324
- PT > 0 なので PT = 18（cm）
練習3
∠C = 90° の直角三角形ABCで、CA = 60、CB = 11、AB = 61 です。点Cから辺ABに垂線CHを下ろすとき、CH、AH、BH の長さをそれぞれ求めなさい。
∠C = 90°、CA = 60、CB = 11、AB = 61。H は C から AB に下ろした垂線の足。
解答・解説を見る
解答
CH = 660/61、AH = 3600/61、BH = 121/61
- 三角形ABC と三角形ACH と三角形CBH は、すべて相似（2角がそれぞれ等しい）。
- 面積を2通りに表すと 60 × 11 ÷ 2 = 61 × CH ÷ 2 なので CH = 60 × 11 ÷ 61 = 660/61
- △ACH ∽ △ABC より AH : AC = AC : AB、つまり AH = AC² ÷ AB = 60² ÷ 61 = 3600/61
- 同じく BH = BC² ÷ AB = 11² ÷ 61 = 121/61
- 確かめ: AH + BH = 3600/61 + 121/61 = 61 で AB と一致する。
解き終わったら
- 数学I・Aの要点辞典——図形の性質を定理ごとに確認する。
- 過去問解説・数学問題集——入試での出方を見る。
数強塾について
数強塾は、数学が苦手な中高生を対象にしたオンライン数学専門塾です。プロ講師が完全1対1で担当し、指導システムと料金を公開しています。実際の成績推移は指導事例、通っている生徒の声は評判・口コミにまとめています。
