中央大学 1996年度 過去問・解答

1996 年度入学試験問題
社 会・数 学
(試験時間 14:3015:30 60分)

1. ここには, 政治・経済, 日本史, 世界史, 地理, 数学, 倫理の問題がありますから,
そのうちの 1 科目を選択して解答しなさい。 2 科目以上にわたって解答した場合は
全部無効になります。なお, 受験科目以外の解答用紙は, 試験開始後 20 THM

2. 解答は必ず解答用紙に記入しなさい。なお, 解答と関係のないことを書くと無効
になる場合もちるので注意すること(枠外および裏面も同様)。

3. 解答用紙は記述用解答用紙のみです。

4. 解答用紙にはすべて鉛筆またはシャープペンシル(いずれもHB・黒)を使用する
こと。 訂正する場合は, プラスチック製の消しゴムを使用すること。

5. 解答用紙には, 受験番号と氏名を2カ所に記入しなさい。 受験番号の前に空位が
あってもゼロをつけないこと。

6. 解答用紙は, 解答が終わったら裏がそしておくこと。

; _ 150一8Q

数 学
] (1) 方程式x* 一16x2 +16= 0 の解を求めよ。
(2) 4次多項式 g( x )の最高次の係数は 1 であり, g(x)一16は x? で割り切れ,
g(x )十48は完全平方式( 2 次多項式の 2 乗の形)であるとする。このような
g( x )をすべて求めよ。
IT (1) 0<g< 1をみたす oc について, 曲線ッ=ニ(1一o)x(x一o)*とx軸とで
囲まれる部分の面積さきを求めよ。
(2) (1)における ゞが最大となる場合の c の値を求めよ。またゞの最大値を求め
om
TL 不等式 sinx >ソcosz寺cos を解けり。ただし0こくぇ<く2ァの範囲とする。

(1) 0く<がx)ミ5 を満すャの範囲を求めよ。
(2) (11)における f(x) の最小値およびそのときのェの値を求めよ。
TT 4点 AC0,0,V2), B(ツ2, 1.0), C(-V2, 1, 0), DCO, 一2, 0)
を頂点とする四面体A BCDがある。
9を定数とし, この四面体を平面 sin 9 ・ッ ー cosの9・z三0 で切った切り口の
図形を S とする。 9を 0くの9<z の範囲で動かす。
(1) S が長方形になるときの cosの の値を求めよ。
(2) Sが正三角形になるときの cosの の値を求めよ。
Tl を定数とし, 次の行列 4 の表す 1次変換を/とする。
an “lk ena)
(1) により点(3, 2 )が移される点を Pla, y) とする。 CMRMOLKEM
くとき, P の軌跡を求めよ。
(2) によって, 直線 上のすべての点が 1 点 Ra, 0) に移されるとする。こ
DEX, 行列 A と直線7の式, およびo の値を求めよ。

(1) 1組52枚のトランプから復元抽出でカードを 2 枚とるとき, 少くとも1 枚が
スペー ドである確率は ーーー である。 また, 復元抽出でカードを5枚とる
とき,絵札がちょうど3枚である確率は x 10 Cd Bo

(2) Ba, } sesh

Ons a (n=1,2, ),

a;=1 ;
で定義されている。このとき

hig Pe ce = a
である。

問題 1の7の解答群
4 6 5 © 6 @ 7 © 8
®o @0 6 11 @ 2 @® 2B

問題 1 MORBH
@ 9 ® 15 © 18 @ 21 © 24
®27 @3 ® 36 @ 4 @ 54

問題11217, 回の解答群
®s9 6 5 © 7 @ 9 © 95
® 7 ® 9 @® 100 @ i0i @® 110

和 つぎの問題の空欄に適する答を解答群から選び, その記号をマークシートに記入

せよ。ただし, 同じ記号を2度以上用いてもよい。
ak SA a テー ーー人 ニュ

eet A ee, Re
に平行な平面z」 の方程式はッ+ | @ | <= CHS. EK, 7 を含み
my に垂直な平面 z。 の方程式は| 18 |]ェ+4y+| の |z= で
ある。7 上の点 P と 上の点 Q の長さ PQ が最小となるのはP(| G |,
Ce). [> ec Ca]. Ce). Pe poeaces
る。
問題の解答群
@-3 ®-2 @-1 @o0 @ 1
1 2 ® 3 ® 4 @5 @ 6
® 7 ® 8

Ll 平面上に3直線
2m
l,:y =mx, な2のーーニタ
2 2
hy rem MG Trae
ー v¥3m?—2m—-JV3
がある, KEL, m>1, M= MOE 1 kd Be ly Ely ORK
EP, /。と/。の交点を Q, 原点を O とする。
(1) 点Pの座標および線分 OP の長さを求めよ。
(2) lp & ly のなす角の大きさを求めよ。
(3) を動かすとき, AOPQ の面積 S を最大にする の値および S の最大値

IV 時佑一0に点0, 1)を出発した点 P が曲線C:ッーーすと 上を動く。
時刻:における P の座標を(7(), g(2))と表すとき, 次のG), 語が成立してい
る。 ・

(i) f(t tet = 0で連続である。
(i) #>0に対して, げ(り17す(g (Ct)? =1, が(の)> 0.
TOLER,
(1) fCLERBHK.
(2) 曲線Cとx軸, y軸, HRx ニア(1)で囲まれた図形の面積 S を求めよ。

(1) 初項から第 4 項までの和と, 初項から第 12 項までの和が等しいとき, d の値
を求めよ。
2) 第ヵ項から第(ヵ + 7)項までの和を 7。 とするとき, 177。1 の最小値とその
ときのぇの値を求めよ。
ルプ(Ge)=lz2一2z| 一2とおき, 点P(1, 2), MOG, f@)ETS.
(1) y=f) のグラフを描け。 -
(2) 線分PQの長さの最小値, およびそのときのQの座酸を求めよ。
Tl 曲線タッ=*?ー2xがある。
(1) この曲線の接線で, x 軸とのなす角が45" または135" であるものをすべて求
めよ。 1
(2) これらの接線で囲まれる図形の面積を求めよ。

(1) 曲線xyーちと直線gz キッー8がある。この曲線と直線とが接していると
き, goとちとの関係を求めよ。かつ, 接点の座標をc を用いて表せ。

(2) 四面体O0A BCがある。線分ABを2 : 3に内分する点をP, 線分OPを
10: 1に外分する点をQ, 線分CQを3 : 1に内分する点をR とする。
このとき, ORを〆=ニ0A, 5ー0B, で0Cを用いて表せ。

Tl 曲線C:ッーーx2上9と2つの直線7」: 4zキッーg, ly: 2ャーッターもがあ

る。

(1) CとでCとが接するとき, o とちの値を求め, それぞれの接点の座標を
求めよ。

(2) 曲線Cと接線」, 7。で囲まれる図形の面積を求めよ。

Tl f= x9+ y34+ <8一3 xyがある。 ;

(1) *キタオをを因数にもつことを利用してを因数分解せよ。

(2) >0,.ッ>0.z> 0のとき, アミ 0を示せ。

(3) .3 辺の長さをそれぞれog, 5, c とする直方体がある。表面積 3 が一定のと
き, (2)を用いて, 体積を最大にするog, b, cの間の関係を求めよ。

問題1 の解答群
2 @® 8 © 4 @5 © 6 ® 7
®s 6 9 110 Ail ® 12

Il つぎの問題の空欄に適する答を解答群から選び, その記号をマークシートに記入
tk KEL, 同じ記号を 2 度以上用いてもよい。

(1) BUR fCe) = x4 + ax8 + be? +ex t+ dlkx =+1 で極値7(1)=1,
f(-1)=--+4 #238. cots, a=-[@ |.ぁ5=[@ ],
c =| @ |.g=| 18 | であり, ッニがx)は*ー| の ]ocam
大値をとる。

(2) 空間において, 平面々:*キッー2ヶ一0 に関する点P(1, 1, 4) の対称点
Q の座標は(| @ ]. [| ロ |, Le | )であり, 点Pを発した光が
ァ上の点 R(2, 0, 1) で* により反射された反射光の方向ベバクトルは
(しL@ ].-3. し@ |でぁs。

問題の解答群
@ -3 6-2 ©-4+ @-ュ @©-+

1 1 1 1
ie ee ings Eon ee 2
® 3" 1 1 13 “eo @M 2 9 3

Il @&a, b(0<b <a) HL, A= に -" = (| ‘) とおく。行
& —6b 0 1
列4 + Biko TRES 1 次変換を/とするとき, HWP, (xy, yn) は
Paュュテア(PO) (n=0, 1, 2, +)
0< yo < xX
を著たす。
(I) At =k,A(n=1, 2, ...) STR, Ea, b, ヵを用いて表せ。
(2) (A+ BE)" Sil, xn, yn EX Yo の, 0, みを用いて表せ。
(3) 権限値 Hm を求めよ。

IW 空間において, AC2, 0, 2), B(2, 0, 0), C(2, 2, 0), D(2,
2, 2), ECO, 0, 2), O(0、 0, 0), FCO, 2, 0), GOO, 2, 2)を
頂点とする立方体をy とし, 2601, 0. 1), C1, 1, 0)を通る直線を7と
する。直線 AE を含み 7 に垂直な平面と 7 との交点を H, 直線 DG を含み7 に垂直
な平面ととの交点を T とする。

(1) 点H, Tの座標を求めよ。

(2) 線分HIT上の点Pを通り7に垂直な平面と EG の交点を Q とする。Q の座標
を長さ HP 一,を用いて表せ。

(3) 立方体?を7のまわりに回転して得られる回転体の体積 を求めよ。