神戸大学 1996年度 過去問・解答

(1) 曲線Cは, 原点の周りに角度 9 (0*ミ9ミ= 90*) だけ回転すると,
axt 士ひテー1
の形になる。 9の値と定数c, b を求めよ。
(2) 曲線 ど上の点と点 (c, 一3 c) との距離の最小値が 2 であるとき, cの値
を求めよ。ただし, c > 0 とする。

3. 3次曲線ッーニァ3二gy2二6z寺c(一1ミミ1) と>軸に囲まれる図形
を, x 軸の周りに1回転させてできる体積を " とする。このとき, を最小にす
Ba, b, cの値と, そのときの の値を求めよ。

(1) 2A0B一9 とするとき, 2点A, BOMME O を用いて表せ。
(2 線分ABと*軸の交点をCとする。点Aを点0に近づけるとき, OC, om
限値を求めよ。

2. 数列 {a,} は次の関係をみたす。
a,=0,
a, sin@ + a,4, cos @ = sin@+cos@ (n=1, 2, s+)
REL, ~-$-<O<—-F とする。このとき, 次の各問に答えよ。
MD cg。 をヵとのを用いて表わせ。
(2) n> o のとき, BA fa,} が収束するような9のの範囲と COL ROME
の) を求めよ。
(3) のが (2) で求めた範囲を動くとき, 9) の値の範囲を求めよ。

3, 数列 げ。) は次の性質 (:) (ii), (i) をもつとする。
(i) fy =0
li) i, が正の整数であるとき, 積 おに対して
be Ft As ,
(ii) i, JR i<j をみたす正の整数であるとき
fi <fi
このとき, ROSMCBAL
(1) rs が正の整数であるとき, 整数 s" に対して
Ser = rfs
が成り立つことを示せ。
(2) k, 7をいずれも2 以上の整数とし, 正の整数 に対して
ん<者 人ま3才んた
をみたす 0 以上の整数 7x をとる。 次の不等式
m tr wet.
cr a |
が成り立つことを示せ。

4. 点F はx軸上を, 負の方向から原点を通過し, 正の方向に動くとする。時刻#
(秒)における, AP の位置を表す関数を x()) EL, AP の速度を表す関数を
v(t) EFS. KEL, x(t), v(t) は各時刻で連続とする。

*(の)く0 DEK, 点Pの運動は次の微分方程式
att) — 39 - 2e(の
をみたし, x(t)>0 DEX, 点Pの運動は次の微分方程式
we) = 24—6v(t) '
をみたす。このとき, 次の各問に答えよ。
(1) v(0)=0, x(0)=-50 EFS. 秒から m+1 秒の間に, HAP は原点
に到達する。このような整数値 を求めよ。
(2) 原点を通過した後, ヵ秒からヵ十1 秒の間に, BAP ts x =10 の点を通過
- する。このような整数値 ヵ を求めよ。ただし, P が原点を通過する速度は
15.9886......であるが, 計算上 16 としてよい。

5. ある人が次のゲームを行う。 1 から 5 までの数が 1 つずつ書かれたカードが計 5
枚入った袋がある。 正三角形 ABC の頂点 B を出発点にして, 袋から 1 枚のカー
ドを取り出すごとに, そのカードに書かれた数だけ BCAB ......の順に頂点を移動
する。ただし, 取り出したカードはすぐにもとの袋に戻し, よくかき混ぜるとす
る。ちょうど頂点 A に移動すれば, 上がりとなりゲームは終了する。

例えば, 頂点 B にいるとき 1または4のカードが出れば頂点 Cに移動し, また
頂点 Cにいるとき 2 または 5 のカードが出れば頂点 B に移動する。 頂点 B にいる
とき, 2 または5のカードが出れば頂点 A に移動し, ゲームは終了する。

ヵ 回以下の試行でゲームが上がりとなる確率を og。 とする。また, ヵ 回の試行を
終えをたときに, ちょうど頂点 B にいる確率を ゎ。、 ちょうど頂点C にいる確率を
Crh とする。このとき。, 次の各問に答えよ。

(1) ae, be, cz を求めよ。
(2) n22 DER, bata, ba 一 c。 を 5。-j, c』-」 を用いて表せ。
(8) Aas bar Ca をみんで表せ。