名古屋大学 1997年度 過去問・解答

第 3 MRBRGGCHS. DEOMI AMMOMIOUT HA -HEBA CREEL.
[3] @) esters CHR EROS 1 から6 までの数を一つずつ書いてサイコロの代わりにする(1 ORANG とは
かぎらない)。ある数の出る確率が -aー THY, OSAMU SAM 1 であるとする。さらに出る目の数の期待が
3であるとする。 3 の寄かれている面の反対側の面に害かれている数は何か。
[3] @ craw

| |
to ERED TT
第 MBRMBCHS. PFOMVE aMMOMAOUT ND HERA CHSEL.
[3] (oh SUR f(x)= 29 tax? + bx tc (a,b, <は実数)を考える。 バー1), (0). (1)がすべて整数ならば, すべて
の整数ヵ に対し、 7(z)は整数であることを示せ。
[3] ゅ orem

ぷら
数 池 公 式 入
この公式集は問題と無関係に作成されたものであるが, 人答案作成にあたって
利用してよい。この公式集は持ち施ってよい。
A 等 式)
1 242 yap, 27272 svabe, (a, 6 <は正または0)
2. (gz一2十c2)(xf + y2 + 22) 2 (ax + by + cz)?
(三 角 BH
a ee
る sin4 smB sinc aR
4. a? =b? +e? ~ 2becosA
5 S=—-besina =VsGs—anta—b)@ =e) , (ーーた(<もすう)
(図形 と 式)
6. 数直線上の2 点 xi, *。 を m :れに内分および外分する点 :
Mx, 十 nx, MX, — NX,
morn. * mm一刀
7. 点(ryと直線xr + by 二c王0との距離、および点(*」 ¥, 2) ¢ Flax +t by ter +d =0L ORR:
fax, + by, +e¢l igx」十by」エcz、エgd|
vat+b? * vat + biter
8 円 + PP = 1 bOAGE, yj)における撤線 : BF + Ur 1
9 mula 2 — FF = 1 bose, dea aR EE - =)
(ペクトルと行列)
10, 2 つのベクトルのなす角 : cos9ニ一生こら
lgllpl
e by! d -b
11. 。 gggーg _。 al {ad 一bc = 0)
12. 点(x, WNEHROED OCH OHELKAE(S ッうとすれば
(7) _ on ean (*)
yy sin の cos 9 トリ

Gh 素数)
13、極形式表示 :*=ァ(cos9十Esin9), (r=|zl, の9=ニargz)
14. =ューri(cos の:一gsin 9)。 2。三ァs(cos 9。 + isin 65)に対し,
2\29= Fyre fcos(の士 93う十gsin(9」十 A2)}
15. ド・モアブルの公式 : gz王rCcos@十isin9)に対し、
2"=r"(cosn@+isinnd)
(対 数)
—_logs M_
16, log. M logs a
cH 関 数)
17, sin(a+ 8)=sin @ cos 8+ cos a@ sin 8
cos(a+ 8)= cos @ cos §— sin a sin 9
tana + tan 9
18, tanlat8)= Fane tank
19. cos2a@=1—-2sin? a= 2cos? a-1
20. sin @ cos B= = {sina + お)+ sina - 8)}
cos @ sin おーー {sin(a + 8)- sin(a- 8)}
cos a cos カーラー {cos(a + 8) + cosa — 8)}
sin @ sin B=-+ {costa + 8)- costa — 8}
2l. sinA + sin =2sin-479 cog つこ
sinA - sin B= 20s A+B gin AWB
cos A + cos B = 2 cos Ase cos ALB 」
cos A — cos B=—- 2sin aS sin 4-8
. を . en es b i a
22. asin 9てちcos @= Yat+h? sin(é+a), (sina= Sarr: cos a= WeitiT
(数 列)
23. Wa, 公差 項数の等六列の和:S。ニーーn(gキりーーーァ[2e +(n—1)d}. (La t(n—1)d)
24。初項G。公比。 項数なの等比雪列の和:9。 = でユーなキ1)
25, 17427 +3? tee nt= n(n tiga tl)
1 +23 +33 tort ni = (se + Mi

第 3 問は選択問題である。つぎの[|または別紙の[BNIのいずれか一方を選んで解答せよ。
[3] (0 AABCEICHB u, v, で等速運動する 3 点があって, それぞれ4 から辺 4に沿ってへ、 から辺 8Oに沿っ
TON, Cから辺 C4 に沿って 4 へ同時に出発したとする。 : 時間後のそれらの位置をそれぞれP〈8)、@(ひ)。弄(のとす
る。 8 点が同時に次の頂点に刺達するための必要十分条件は。 へPCの(DRの)の重心の位置が6によらず一定なことであ
る。これを示せ。
[3] © cmem

|
経 :
(3), [= #| Peewee
«im eml 11||
第 3 問は選択問題である。つぎのNE)または別紙の[0のいずれか一方を選んで解答せよ。
&
[3] 9 2eima = (° ) A? 34 をみたすとする。
で
1) t=atd, ロリーgg 一pe を求めよ。
1 0
2) zoxa(?) - (*) TH, wuss (*) の (|) が解を持つとき, 行列4 を求めよ。
Y
[3] tb) CRSA

やを
数 oF 公 区 集
この公式集は問題と無関係に作成されたものであるが, 答案作成にあたっでて
利用してよい。この公式集は持ち帰ってよい。

A 等 WD
lj 25) テンソo5 するキルgc (a, b, cは正または0)
2. (ge + b8 + 8) (xt + yp? + 222 Bax + by + cz)?

ce 角 B®

en a |
1. Gina“ sinB ano "*
4. a? = 6? + c? —-2becosA
5. Sー csin4ーYsGーのGー5の< ーの、 (s= a +b +0)

(図形 と xX)
6. 数直線上の2 Ax, x。 を :ァに内分および外分する点 :

mx, + nx MX, — ne

mtn" mn
L As, y」)と直線cx もy十c三0との距離. および点(x」、 vy. et Pax + by +ez+ マーニ0との距離 :

ax,+by, +c! |gx」+あy」十cz」十で

vat+b? | vat +b? + eF

8. だ円 + 2 a1 boa Ce, yee See: BE + BP = 1
9. 双曲線 ーープーー1上の点Gx。 における接線 BE -— BP = 1

(ペクトルと行列)
10. ? つのベクトルのなす角 : cos9 一呈ら

la@libl

a b\ 1 gd ーち
if. は B all (ad — be ¥ 0)
12, B(x, y)を原点のまわりに角 @ 回転した点を(xy")とすれば

ie (oy — ()

¥ sin 9 cos@ テ

(複 素 Bh
13. BBABAR:2=r(cos@+isiné), (r=|z|, @=argz)
14, ターri(cosの十isin 9の)、z。王rs(cos のs十isin の)に対し。
22王7 {cos(@, + 62) + isin(#,— の)
15. ド・モアブルの公式 : = rlcosd + isin EL,
2*= r"(cos n9填5sin nO)
(対 数
ー_logs M
16. log, M lose
(三角 隊 数)
17. sin(a + 8)= sin @ cos 8+ cos @ sin §
cos(a + 2)= cos a cos 8 — sin a sin 8
_ _tana+tang
18, tan(a+ 8)= Tt wa
19. cos 2a—1— 2sin? ¢=2'cos* a—1
20, sin @ cos 8 = - を satg+ の+ sin(g - め)}
cos g sin A= (sina + 8)— sina 9}
cos @ cos A= {cos(a~ 8) = cos(a— 8)}
sin g sin gニーーテー {cosa + 8)— costa - £)}
21. sinA +sinB=2ein ーー cog ATF
sin A ~ sinB=2cos 473 gin AB
cos A + cos B = 2003-957 cos ASS
cos A ~ cosB=~ 2sin-4=F sin AB
22. asin 8+ bcos @= a" 6 sin(@+a), (sin a= ee GO ay oa as
2 列)
23. Hla, 公差』 項数なの等数列の和 : 9。ニーーx(g+のニー a( 2e+(なー109 =a tn 1d)
24。初項c。公比。 項数なの等数列の和 8。 = ローテサー /き1)
25, 1? +2? +3? てwa = n(n + 1)(2n +1)
1? +2? +39 +--+ nt = aa + vy}

第 4 問は電択問題である。つぎの[4J4)または列紙のENIのいずれか一方を選んで解答せよ。
2) 均質な材質で出来た間方体の各面に 1 から 6 までの数を一つずつ再いてサイコロの代わりにする(1 の反対側が 6 とは
かぎらない)。ある数の出る確率が 1 THY, 別のある数が出る確率が 上ー であるとする。さらに出る目の数の其待
値が3であるとする。 3 の姓かれている面の反対側の画に表かねている数は何か。
a) GRID

| |
(b) 92 数 学
第 4 問は選択問題である。つぎの罰または別紙の[4!のいずれか一方を選んで解符せよ。
[4] wv 多項式うー + axt = de te (a, では実数を考える。 パー 1 (0), (LAE THRE BH,
すべての整数ヵ に対し, fd sBMTHSA TL ERG.
2) (1996)、7(1997)、 1998)がすべて整数の場合はどうか?
tb) RSD

a,
数 学 公 Fe 集
この公式集は問題と無関係に作成されたものであるが, 答案作成にあたって
利用してよい。この公式集は持ち帰ってよい。
aC 等 式)
1 ですら>/o5 をてを6 yams, (a, か<は正または0)
2 (a? + 62 + ¢2)(x? + y?2 + 22) 2 (ax + by + ez)?
Ce & 各
a a
3 Sind ~ SinB~ sind ~?*
4. a? =b? + ¢?-— 2becosA
5. 8= besina =vs(s—alls-b)(s~e), (s=a +b+c))
(図形 と 式)
6. 数直線上の2点, x, をか :なに内分および外分する点 :
mx, + nx, mx, — nx,
mtn mo-n
1 点(zi, i)と直線 gz + by +co=O LOM, および点(z, yi, <:)と平面cx + by +cz+d=0E OBR:
lax,+by,+c¢| |ax,+by,+ez7,4+¢
vaisb? vari bit+c?
8, A + 2 = 1 boas, yeaa Bagh HE 4 UY =|
9. 双曲線 => - 22 = 1 boOACe,, y cee seem: 名まやばニュ
(ベクトルと行列)
10. 2 つのベクトルのなす角 : cosのーーほら
lelle|
a by! ‘i d -b
11. — = Feber os gece peel
12. Ax, NSRADED DIK OC 回転した点を(xyうとすれば
(*) しし io | (*)
y! in@ cos @ ¥