東京大学2008年度 数学の過去問｜問題資料と解説の案内

(1) 操作(A)を4回繰り返した後に初めて. 4 枚とも同じ色のカードになる確率を求
めよ。
(2) 操作(A)をヵ回繰り返した後に初めて, 4枚とも同じ色のカードになる確率を求
めよ。
= 6 一 M3 (524—42)

第 3 問
座標平面上の3点A(1.0). B(-1, 0), C(0, 一1)に対し.
ZAPC = ZBPC
をみたす点Pの軌跡を求めよ。ただしPチA, B Cとする。
= 8 一 OM3 (524-44)

第 。 4 問
ヵ を自然数とする。 次の関係式で定められる数列{g}, {ぁ} を考える。
a=p, b=ptl
Gn+1 =Gn + phy @H1.2, 3,4)
busi = pant (P+1)b, (mn =1, 2,3, )
(1) m=1, 2,3, ... に対し, 次の 2 つの数がともに p> で割り切れることを示せ。
ーー b,—n(n—1)p?— mp — 1
(2) ヵを3以上の奇数とする。このとき, g, はが* で割り切れるが, p では割り切れ
ないことを示せ。
ー10一 OMB (524—46)

第 1 問
座標平面の点(r,y)を(3 二),一2*)へ移す移動/を考え, 点Pが移る行き先を
ア(P) と表す。 を用いて直線 7 hy bh, ... を以下のように定める。
+ lo は直線 3*十 2ッー 1 である。
MPA, 上を動くとき, (P) が描く直線を ヵ+」 OTS(n=0,1,2, ... )。
以下んを1次式を用いてgz + bry =L ERT.
(1) an+t, On+1 Ean bn で表せ。
(2) 不等式zz + bay > 1LAED SHRED, ETS. Do, Di, Do, すべてに含
まれるような点の範囲を図示せよ。
sm 窪 王 でM4(524一54

第 2 問
白黒 2 種類のカードがたくさんある。そのうちん枚のカードを手もとにもっている
とき, 次の操作(A)を考える。
(A) 手持ちの枚の中から LACE, HR -- で選び出し,それを逢う色のカード
にとりかえる。
以下の問(1) (2) に答えよ。
(1) 最初に白2枚. Bl, 合計4枚のカードをもっているとき, 操作(A)をヵ回
繰り返した後に初めて, 4 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2) 最初に白3 枚. 黒3枚. 合計6枚のカードをもっているとき, 操作(A)をヵ回
繰り返した後に初めて. 6 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
5 M4 (524—56)

第 。 3 問

(1) 正奴面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く。この八面体を真上から見
た図 (平面図) を描け。

(12) 正八面体の互いに平行な 2 つの面をとり, それぞれの面の重心をGi GET
Bo Gi, G。 を通る直線を軸としてこの八面体を 1 回転さきせてできる立体の体積を
求めよ。ただし八面体は内部も含むものとし, 各辺の長さは 1 とする。

= 3 = OMA (524-58)

第 4 問
放物線ッーャ*上に2点PQがある。 線分 PQ の中点の座標をんとする。
(1) 線分 PQ の長さんと傾き で. h を表せ。
(2) を固定したとき, ヵがとりうる値の最小値を求めよ。
== 10> NM4(524一60)

第 5 問
or-1

awentcste, St -iieniefpjeaxs. たとえば| 1| =ュ
| 2 = iL. [3]= Ll でぁる。
(1) を0以上の整数とする。 | 3"] は 3" で割り切れるが, 83"*! では割り切れない

ことを示せ。
2 ヵが27で割り切れることが、| ヵ |が27 で割り切れるための必要十分条件である

ことを示せ。

ee =, OMA (524-62)

第 6 問
座標平面において, 媒介変数#を用いて
ァーcos 2t
| (OStS 2x)
y=tsint
と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ。
= lh OMA (524-64)