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藤原進之介です。このページでは和歌山大学2012年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：2項間漸化式 an+1 = 6an + 7 。係数が 1 でないので等差でも等比でもありません。定数をずらして等比に落とすのがこの型の一手です。
1. なぜその一手を選ぶのか
an+1 = pan + q を見たら、最初に確かめるのは p が 1 かどうかだけです。p = 1 なら公差 q の等差数列で即終了。ここでは p = 6 なので、その道は使えません。
次に考えるのは「何を足せば、余分な定数項が消えるか」です。両辺に同じ数 β を足して an+1 + β = 6( an + β ) の形にしたい。右辺を展開すると 6an + 6β なので、6β − β = 7 、つまり β = 75 と決まります。この一手を選ぶ理由は「定数項を消すため」であって、公式だからではありません。
2. 解答
- 両辺に 75 を足すと an+1 + 75 = 6( an + 75 ) 。
- よって数列 { an + 75 } は公比 6 の等比数列。
- 初項は a1 + 75 = 9 + 75 = 525 。
- したがって an + 75 = 525 · 6n−1 。
答え： an = 525 · 6n−1 − 75
3. 検算（ここまでを1セットにする）
n = 1： 525 × 1 − 75 = 9 。初項に一致します。
n = 2： 漸化式からは 6 × 9 + 7 = 61 。一般項からは 525 × 6 − 75 = 61 。一致します。
漸化式の問題は、一般項を出したら必ず n = 1 と n = 2 を入れる。符号ミスと初項ずれはここでほぼ全部捕まります。
この型の一般化： an+1 = pan + q（p ≠ 1）は、つねに β = q / (p − 1) を両辺に足せば等比に落ちます。ただし q が定数でなく n の式になっている場合（an+1 = pan + f(n)）はこの手が効かず、両辺を pn+1 で割る、階差を取る、といった別の一手に切り替えます。どの分岐を選ぶかは第11章 数列で整理しています。
和歌山大学 数学 過去問｜他の年度を見る
和歌山大学の数学の過去問は18年度ぶんを公開しています。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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和歌山大学 2012年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 整数
- 関数・グラフ
- 空間図形
- 指数・対数
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 方程式・不等式
この年度の出題範囲と傾向
2012年度の問題PDFでは、整数、関数・グラフ、空間図形、指数・対数、図形・三角関数に関する語句や設問を確認できました。和歌山大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は16年度、整数は16年度、微分・積分は15年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 整数、関数・グラフ、空間図形、指数・対数、図形・三角関数
(@) 0<a< evs, tan = == であるとき, ak 人 の大小を
比較せよ。
xs 一 やM3(371一54)
〔全学部共通]
平面上のペクトル a, が [a-b| = v5 z |2a-0 | =2 を満たして
いる。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) |< | = とするとき, | | と <・5 をそれぞれょ を用いて表せ。
Q) でと Conran chore, [a] |b] の値をそれぞれ
求めよ。
ー2 一 ぐM3(371一55)
全学部共通
座標平面上に 2 点 Po(0, 0) と Pi(1, 0) AHS, n=1, 2, 3, ... に
対して, Paar を以下のように順に定める。
線分 P。_iP。 を 点 P。 を中心として時計まわりに 60° 回転さきせて
得られる線分の上に PaPa = 一Ps-iP。 ERSE SICA Poss を
定める。
LOLS, 次の間いに答えよ。
(1) Ps の座標を求めよ。
(2) 自然数: に対して, Poe, Parti, Psk+> の座標をそれぞれ求めよ。
ーー Be ぐM3(371一56)
(注 : システム工学部受験者は解答しないこと) |
直線 1, 傾きが正で, 2 つの放物線
Ciy=2?
Co: y = 4a? + 12¢
に接している。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 直線 7 の方程式を求めよ。
(2) 放物線 の, の および直線 7 で囲まれた図形の面積を求めよ。
ed (> るM3(371一57)
ペースインーpu イペマセーー ww 0]
|
|
〔システュエ学部)
(注 : 教育学部, 経済学部および観光学部受験者は解答しないこと) |
e を自然対数の底とし, 1くくe とする。
9-/ x (2\e* —a| +a) dx
とするとき。, 次の問いに答えよ。
(1) 3 を求めよ。
(2) S の最大値と最小値を求めよ。 また, そのときの a の値をそれぞれ
ROK, KEL, 2.7 <e < 2.8 であることを用いてよい。
|
—5- M3(371—58)
[6] 〔システム工学部
GE: 教育学部, 経済学部および観光学部受験者は解答しないこと)
1 1 1 トー
wma=(3 3 A B=] 1 1 | について, 次の問いに答えよ。
-1 0
(1) 4B および ABA を求めよ。
(2) 自然数 ヵ に対して, (AB)"A を推測し, それが正しいことを |
数学的帰納法で証明せよ。
(3) 自然数 ヵ に対して, (BA)! を求めよ。
ー6 一 M3 (371—59)
