高１数学｜高校1年二次関数の最大値・最小値絶対値と開区間まで完全理解（無料問題PDF）

高1｜2次関数解き方がわからないときは高１数学｜二次関数グラフ・平方完成・最大最小・二次不等式【数学I】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

次の問いに答えなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

二次関数の最大値・最小値は、頂点だけを見れば終わるとは限りません。定義域に頂点が含まれるか、端点が含まれるか、区間が開いているかを確認する必要があります。本教材では、元のPDFにある絶対値グラフ2問と最大・最小の問題を、場合分けと途中計算から丁寧に解説します。

この教材の到達目標

絶対値の中が0になる点で場合分けできる
一次関数の最大・最小を端点で判断できる
二次関数では頂点と定義域の位置関係を調べられる
開区間で最大値・最小値が存在しない場合を説明できる

元の演習PDF「高1数学二次関数9」を開く

問題文

問題1：グラフをかく

問題2：最大値・最小値

、定義域
、定義域
について、次の各定義域で最大値・最小値を求める。

問題1(1)：y=|x^2-4x|+3

絶対値の中を因数分解・平方完成します。

零点はです。上に開く放物線なので、では負、それ以外では0以上です。

作図の考え方

まずを考え、軸より下にあるの部分を上へ折り返します。その後、グラフ全体を上へ3だけ平行移動します。

重要な点は

です。グラフは直線に関して対称で、値域はです。

問題1(1)： の放物線部分を反転し、全体を上へ3移動したグラフ。

問題1(2)：y=|x-1|+|x^2-1|

二つ目の絶対値を因数分解すると、

です。符号が変わる候補はなので、3区間に分けます。

区間1：x\lt-1

、だから、

区間2：-1\le x\lt1

、だから、

区間3：x\ge1

両方とも0以上なので、

まとめると、

境界点は、です。中央の部分の頂点は

です。各区間で該当する放物線の部分だけを描き、境界でつなぎます。

問題1(2)：境界で3本の放物線部分をつないだグラフ。

最大値・最小値を求める基本手順

式を平方完成する、または傾きを確認する。
頂点や折れ曲がり点の座標を求める。
その点が定義域に含まれるか調べる。
閉区間なら端点の値も必ず計算する。
候補の関数値を比較する。

開区間では端点が含まれません。「端点へ限りなく近づける」ことと「その値を実際に取る」ことを区別します。

問題2(1)：一次関数の最大・最小

は傾きがなので、が増えるほどは減少します。閉区間では、左端で最大、右端で最小です。

答え：最大値5 、最小値。

問題2(2)：絶対値を外して比較する

絶対値の中が0になるのは

です。定義域を2区間に分けます。

候補となる両端と折れ曲がり点を計算します。

答え：最大値4 、最小値1 。

問題2(3)：平方完成して頂点を確認

関数を平方完成します。

上に開く放物線で、頂点はです。軸の左側では減少し、右側では増加します。

(i) 定義域がすべての実数

より、頂点で最小値を取ります。一方、を大きくするとはいくらでも大きくなるため、最大値はありません。

答え：最小値、最大値なし。

(ii) -1\le x\le0

この区間は軸より左にあり、関数は減少します。

答え：最大値2 、最小値。

(iii) 2\le x\le3

この区間は軸より右にあり、関数は増加します。

答え：最大値2 、最小値。

(iv) 0\le x\le2

頂点が区間内にあるため、最小値はです。最大値は両端を比較します。

答え：最大値、最小値。

(v) -1\lt x\lt2

頂点は定義域に含まれるので、最小値を取ります。一方、左端は含まれません。をに近づけるとは2に近づきますが、2にはなりません。

答え：最小値、最大値なし。

なお、値の上限、すなわち上限値は2です。しかし「上限2」と「最大値2」は同じではありません。

(vi) 3\lt x\lt4

この区間では関数は増加しています。ただし左右の端点はどちらも含まれません。

は端点を含めたときの値であり、実際の定義域では取りません。任意のに対して、さらに4に近い点を選べばもっと大きな値を取り、さらに3に近い点を選べばもっと小さな値を取ります。

答え：最大値なし、最小値なし。下限は2、上限は7。

答えの一覧

定義域	最大値	最小値
すべての実数	なし
	2
	2

	なし
	なし	なし

大学数学への接続：最大値と上限の違い

集合の最大値は、その集合に実際に属する最も大きい要素です。一方、上限は集合のすべての要素以上である数のうち最小のものです。開区間では端点の値へ限りなく近づけても到達しないため、上限はあっても最大値がない場合があります。

大学の解析学では「閉じた有界区間上の連続関数は最大値・最小値を取る」という最大値・最小値の定理を学びます。今回の閉区間と開区間の違いは、その定理を具体的な二次関数で確かめる例になっています。

よくある誤答

絶対値の境界を一つしか調べない：問題1(2)ではの2点で区切ります。
頂点だけを見て最大値も決める：上に開く放物線の頂点は最小値の候補です。最大値は端点を比較します。
頂点が定義域外でも使う：頂点の座標が定義域に含まれるか確認します。
開区間の端点値を答える：不等号がなら端点は含まれません。
最大値なしを「無限大」と書く：上に無限に伸びる場合と、有限の上限へ近づくだけの場合を区別します。

確認問題

、の最大値・最小値を求めなさい。
、の最大値・最小値を求めなさい。
、の最大値・最小値を求めなさい。
、に最大値・最小値があるか答え、上限・下限も求めなさい。

確認問題の答え

1. 最大値4 、最小値。

2. 最大値4 、最小値2 。

3. 最大値0 、最小値。

4. 最大値・最小値はいずれもなし。上限4、下限0です。

FAQ

閉区間では端点だけ調べればよいですか

一次関数なら端点だけで足ります。二次関数では頂点が区間内にある場合があるため、頂点と両端の最大3か所を調べます。

最大値がないことを答案でどう書きますか

端点が定義域に含まれず、その端点へ近づくほど値が増えることを説明します。「上限には近づくが、その値を取るは存在しない」と書くと明確です。

グラフを必ず描く必要がありますか

計算だけで求められる場合もありますが、軸・頂点・定義域を簡単な図にすると候補の見落としを防げます。特に開区間では端点を白丸で表すと判断しやすくなります。

数強塾で定義域まで丁寧に読む

数強塾では、平方完成の計算だけでなく、頂点が定義域に入るか、端点を取れるか、最大値と上限をどう区別するかまで答案に落とし込みます。公開している合格実績は、2022〜2025年度の卒業生205名、合格件数323件、東京大学・京都大学13件です。合格件数は延べで、1名の複数合格を含みます。詳しくは合格実績ページをご確認ください。

二次関数の最大・最小や絶対値の場合分けを基礎から練習したい方は、お問い合わせページから現在の学習状況をご相談いただけます。

次に解く問題・この単元の解説

この単元を体系的に理解する

難易度を変えて練習する

同じ難易度の問題

📄 同じ単元のプリント（全31枚のうち、この前後24枚）

同じ単元を続けて解くと、どの手を使うかの判断が安定します。手が止まったところがあれば、その単元の要点に戻ってから次の1枚に進んでください。

一覧に無いものも含め、２次関数のプリントは高１数学：２次関数全31枚、学年全体の単元一覧は高１数学のページから確認できます。