約数の個数と総和｜高1数学整数の性質11の無料PDFと練習3問

高1｜整数の性質解き方がわからないときは高１数学｜約数・倍数・互除法・不定方程式・n進法【数学A】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

n ÷ 6 と 90 ÷ n がともに自然数となるような自然数 n をすべて求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは高校1年「整数の性質」の無料問題プリント（整数の性質11）です。このプリントは、割り切れる条件から数を絞る問題と、約数の個数・総和の求め方を扱う回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数で確かめてください。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高１数学整数の性質 11

約数の個数と総和で何ができるようになるか

約数は「各素因数から指数を1つずつ選んで作る」ものです。2⁴×3²×5 なら、2 の選び方が 0〜4 の5通り、3 が 0〜2 の3通り、5 が 0〜1 の2通り。選び方の積が約数の個数になります。総和も同じ考えで、各素因数の「選べる値の和」を掛け合わせれば出ます。公式を覚えるより、この作られ方を押さえるほうが確実です。

解き方の手順

1「n が 6 で割り切れる」は n が 6 の倍数、「90 が n で割り切れる」は n が 90 の約数、と言い換えます。

2条件が2つあるときは、片方の候補を全部書き出してからもう片方で絞ります。

3約数の個数は、素因数分解の各指数に 1 を足して掛けます。

4約数の総和は、素因数ごとに 1 + p + p² + … を作って掛け合わせます。

つまずくのはここ

つまずき1｜「倍数」と「約数」を取り違える

n ÷ 6 が自然数なら n は 6 の倍数、90 ÷ n が自然数なら n は 90 の約数です。割られる側と割る側で立場が逆になります。

つまずき2｜約数の個数で指数に 1 を足し忘れる

2⁴ の約数は 1, 2, 4, 8, 16 の5個です。「指数を選ばない」場合があるので、指数の数より1つ多くなります。

つまずき3｜総和の式で 1 を入れ忘れる

各素因数の和は 1 から始まります。1 は「その素因数を使わない」選び方です。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、数を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数が異なります。

練習1

n ÷ 6 と 90 ÷ n がともに自然数となるような自然数 n をすべて求めなさい。

解答・解説を見る

解答

n は 6 の倍数であり、かつ 90 の約数です。
90 の正の約数は 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90。
このうち 6 の倍数を選びます。
n = 6、18、30、90
検算：90 ÷ 18 = 5、18 ÷ 6 = 3。どちらも自然数です。
「約数を全部書き出してから絞る」のがいちばん速い。

練習2

720 の正の約数の個数と総和を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

720 = 2⁴ × 3² × 5。
個数は (4+1)(2+1)(1+1)。
総和は (1+2+4+8+16)(1+3+9)(1+5) = 31 × 13 × 6。
個数 30 個、総和 2418
検算：31 × 13 = 403、403 × 6 = 2418。
個数は指数+1 の積、総和は各素因数の和の積。

練習3

100 以下の自然数のうち、正の約数がちょうど 12 個であるものをすべて求めなさい。

解答・解説を見る

解答

12 = 12、6×2、4×3、3×2×2 と分けられます。
指数はそれぞれ 1 を引いて 11、(5,1)、(3,2)、(2,1,1)。
100 以下に収まるのは (2,1,1) 型と (3,2) 型の一部です。
60、72、84、90、96
検算：60 = 2²×3×5 で (2+1)(1+1)(1+1) = 12。96 = 2⁵×3 で (5+1)(1+1) = 12。
個数を積に分けてから、指数の組を作る。

整数の性質の他のプリント

← 前：整数の性質10｜素因数分解の指数をそろえる

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同じ「整数の性質」の無料プリントは全部で 17 枚あります。前後以外のものを、扱っている内容を添えて並べました。上から順にやる必要はないので、いま必要なところから選んでください。

解き終わったら

数学I・Aの要点辞典第8章整数の性質——単元の要点をまとめて確認する。
整数の性質（基本）の特訓道場——倍数判定・互除法・n進法の30題で通しの力試し。
なぜ素因数分解すると約数が全部わかるのか——約数の作られ方を確かめる。

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