中２数学｜連立方程式（難問） 応用6（無料問題・解答PDF）

中2数学「連立方程式（難問）」応用6の全2問を、問題文つきで解説します。日大二・東京電機大高の高校入試で実際に出た食塩水の問題です。問題PDF／解答PDF

この回の型：食塩水は「食塩水の量」と「食塩の量」で2本立てる

型食塩水の問題で立てる式は決まって2本。
①食塩水そのものの重さの関係　②食塩だけの重さの関係

なぜこうするか食塩水の問題が苦手になる原因は、「濃度」という割合そのものを足そうとしてしまうことです。10%の食塩水と20%の食塩水を混ぜても30%にはなりません。混ぜて足し算できるのは重さだけ——食塩水の重さと、その中に溶けている食塩の重さです。だから式は必ずこの2本になります。

食塩の量 ＝ 食塩水の量 × 濃度。濃度が 10% なら 10/100 をかけます。この一行を毎回書けば、あとは連立方程式です。

定石　濃度は足せない。足せるのは「食塩水の重さ」と「食塩の重さ」だけ。

(1) 3つの容器から取り出して混ぜる　《日大二》

1本目：食塩水の重さ
Cにもともと入っていた水 30g に、Aから x g、Bから y g を加えて 100g になったのだから
x + y + 30 = 100　→　x + y = 70　…①

2本目：食塩の重さ
Aから移した x g に含まれる食塩は (10/100)x。Bから移した y g に含まれる食塩は (20/100)y。
Cにもともと入っていたのは水だけなので食塩は 0g。
できあがった 100g の13%が食塩なので、100 × (13/100) = 13g。
(10/100)x + (20/100)y = 13　→　両辺を100倍して 10x + 20y = 1300　→　x + 2y = 130　…②

②−① より y = 60。①に戻して x = 10。

検算食塩水の量は 10 + 60 + 30 = 100g ○。食塩の量は 0.1 × 10 + 0.2 × 60 = 1 + 12 = 13g で、100g の 13% ○。

答えの妥当性x = 10 は容器Aにある 100g を超えていない、y = 60 も容器Bの 100g 以内。取り出せる量として成り立つので、この答えは問題に適しています。

よくあるミス　容器Cの水 30g を食塩の式にも入れてしまう誤り。Cに入っているのは水だけなので、食塩の式では 0 です。「食塩水の式には入れるが、食塩の式には入れない」——ここが混乱しやすいところです。

(2) 濃度そのものを x、y とおく　《東京電機大高》

型今回は濃度のほうが未知数。重さは全部与えられているので、立てるのは食塩の式だけで足りる。

1本目　Aから100g（食塩は 100 × x/100 = x g）、Bから200g（食塩は 200 × y/100 = 2y g）。
混ぜると合計 300g で 7% なので、食塩は 300 × 7/100 = 21g。
x + 2y = 21　…①

2本目　Aから200g（食塩 2x g）、Bから150g（食塩 1.5y g）、さらに食塩そのものを50g。
できあがりの重さは 200 + 150 + 50 = 400g。その18%が食塩なので 400 × 18/100 = 72g。
2x + 1.5y + 50 = 72　→　2x + (3/2)y = 22　→　両辺を2倍して 4x + 3y = 44　…②

①×4 … 4x + 8y = 84。②を引くと 5y = 40、y = 8。
①に戻して x + 16 = 21、x = 5。

検算①：100gのA（5%）に食塩 5g、200gのB（8%）に食塩 16g。合計 21g ÷ 300g = 7% ○。
②：200gのAに食塩 10g、150gのBに食塩 12g、加えた食塩 50g。合計 72g ÷ 400g = 18% ○。

よくあるミス　②でできあがりの重さを 350gとしてしまう誤り。加えた食塩50gも重さに入ります。「食塩を入れると、食塩の量も食塩水の量も両方増える」——ここを落とすと濃度の分母がずれます。
もう1つは、食塩50gを「濃度100%の食塩水50g」と考えず、いきなり 50 を足してよいのかで迷うところ。食塩そのものは食塩100%なので、食塩の式にはそのまま 50 を足して正解です。

定石　食塩を加えたら、食塩の量にも食塩水の量にも加える。

この回で身につくこと

食塩水の問題は、次の3行を書けば必ず解けます。
①（食塩の量）＝（食塩水の量）×（濃度）　②混ぜたあとの食塩水の量 ＝ 混ぜる前の合計　③混ぜたあとの食塩の量 ＝ 混ぜる前の合計
(1) は「重さが未知数」、(2) は「濃度が未知数」という違いがありますが、書く式は同じです。何が分かっていて何が分かっていないかを表に整理してから式を立てると、取り違えが一気に減ります。
とくに (2) の「加えた食塩50gを分母にも入れる」は、都立・私立を問わず引っかけとして頻出です。
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