東京学芸大学 2017年度 過去問・解答

東京学芸大学2017年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[I] 3次方程式の解が「次の解を生む」構造

a, b を整数とし、f(x) = x³ + ax + b とします。f(x) = 0 の3つの解を α, β, γ とします。

(1) α + β + γ = 0 の証明

α, β, γ が f(x) = 0 の解なので、f(x) は次のように因数分解できます（3次の係数は1）。

f(x) = (x − α)(x − β)(x − γ)

右辺を展開すると

x³ − (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x − αβγ

これが x³ + ax + b とすべての x について一致するので、各次数の係数を比較できます。

左辺 f(x) = x³ + ax + b には x² の項がありません（係数0）。したがって

−(α + β + γ) = 0

3次方程式の解と係数の関係そのものです。x² の係数が0 ⇔ 3解の和が0 という対応を覚えておくと、以下の議論の出発点がすぐ立ちます。

(2) β = α²/2 − 4、γ = β²/2 − 4 のとき（α は無理数）の a, b

(1) の結果 α + β + γ = 0 に代入していきます。

α + (α²/2 − 4) + {(1/2)(α²/2 − 4)² − 4} = 0

第3項を展開します。(α²/2 − 4)² = α⁴/4 − 4α² + 16 なので

(1/2)(α⁴/4 − 4α² + 16) − 4 = α⁴/8 − 2α² + 8 − 4 = α⁴/8 − 2α² + 4

全体を足し合わせると（定数項 −4 と +4 が消えます）

α⁴/8 − (3/2)α² + α = 0　⇔　(α/8)(α³ − 12α + 8) = 0

α は無理数なので α ≠ 0。したがって

α³ − 12α + 8 = 0　…①

一方、α は f(x) = 0 の解でもあるので

α³ + aα + b = 0　…②

①と②の辺々を引くと α³ が消えて

(−12 − a)α + (8 − b) = 0

ここで α は無理数、a と b は整数です。もし −12 − a ≠ 0 なら

α = (b − 8)/(−12 − a)

となり、右辺は有理数。α が無理数であることに矛盾します。したがって

−12 − a = 0　かつ　8 − b = 0

検算：f(x) = x³ − 12x + 8。これは①と完全に一致します。
実際にこの方程式の解を求めると、3解は約 3.06、0.69、−3.75 で、すべて無理数です。そして β = α²/2 − 4 の関係も成り立ちます（α ≒ 3.06 なら β ≒ 0.68 ✓）。「解に演算を施すと別の解になる」という、美しい構造をもった方程式です。

この年の学習ポイント

この問題の決め手は最後の一手 — 「無理数 = 有理数」は起こりえないから、係数がそれぞれ0」という論法です。

一般形で書くと：p, q が有理数、α が無理数のとき、pα + q = 0 ならば p = q = 0。証明は簡単で、p ≠ 0 なら α = −q/p が有理数になって矛盾するからです。

この論法は

・√2 などの無理数を含む等式から係数を決める問題
・複素数の相等（実部・虚部の比較）
・恒等式の係数比較

と、形を変えて繰り返し登場します。「異質なものが混ざった等式は、種類ごとに分けて0にする」という共通の発想として整理しておいてください。

東京学芸大学2017年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。