岐阜大学 2019年度 過去問・解答

岐阜大学2019年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[1](1) さいころ4個の目の積が720になる確率

さいころを4個投げ、出た目を a, b, c, d とし、その積を N = abcd とします。N = 720 となる確率を求めます。

まず素因数分解する

720 = 16 × 45 = 2⁴ × 3² × 5　…①

ここから、4つの目がどんな素因数をもつべきかが読み取れます。

素因数5に注目する

1〜6 の目のうち5を素因数にもつのは 5 のみ。①に 5 が1個だけ含まれるので、4回のうちちょうど1回だけ 5 が出ることが必要です。

素因数3に注目する

1〜6 のうち3の倍数は 3 と 6。どちらも素因数3をちょうど1個もちます（3 = 3、6 = 2×3）。

①には 3 が2個含まれるので、3の倍数の目がちょうど2回出ることが必要です。

残りは素因数2で調整する

以上から、4つの目は次の形に限られます。

{a, b, c, d} = {5, 2^j, 2^k·3, 2^l·3}

ここで各目は6以下でなければならないので

2^j ≦ 6 より 0 ≦ j ≦ 2（1, 2, 4）
2^k·3 ≦ 6 より 0 ≦ k ≦ 1（3 または 6）
同様に 0 ≦ l ≦ 1

積を計算すると

abcd = 5 · 2^j · (2^k·3) · (2^l·3) = 5 · 3² · 2^j+k+l

これが 720 = 2⁴·3²·5 に等しいので 2^j+k+l = 2⁴、すなわち j + k + l = 4。

j ≦ 2、k ≦ 1、l ≦ 1 で和が4になるのは、すべてが上限に張り付く場合だけ。

j = 2、k = 1、l = 1

したがって4つの目は 2² = 4、5、2·3 = 6、2·3 = 6、すなわち

{a, b, c, d} = {4, 5, 6, 6}

確率を求める

4個のさいころは区別されるので、この目の並び方は「同じものを含む順列」で

4!/(1!·1!·2!) = 24/2 = 12 通り

全事象は 6⁴ = 1296 通りなので

検算：1〜6 の目4つで積が720になる組をすべて調べると、{4, 5, 6, 6} の1種類だけで、並べ方は12通り。確率は 12/1296 = 1/108 ✓

この年の学習ポイント

「積が特定の値になる」型の問題は、素因数ごとに独立して考えるのが鉄則です。

(あ) 目標の値を素因数分解する
(い) 珍しい素因数（大きい素数）から攻める — ここでは 5 が1〜6の中で「5」にしか現れないので、真っ先に確定します。
(う) 次に多い素因数を処理する — 3 は 3 と 6 に現れ、どちらも1個ずつなので「3の倍数が2回」と確定。
(え) 最後に残った素因数2で、目の値を決める

この順序で進めると、場合分けがほとんど発生しません。逆に「1〜6の4つ組を全部調べる」（1296通り）方針では、試験時間内に終わりません。

最後の「同じものを含む順列」も忘れずに。6 が2つあるので 4! ではなく 4!/2! = 12 です。

岐阜大学2019年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。