藤原進之介です。このページでは法政大学2000年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
とする。
の最大値と最小値、およびそのときの を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：a sin θ + b cos θ の形を見たら三角関数の合成。ただし範囲が制限されているときは合成して終わりではありません——端点の確認までが1セットです。
1. なぜその一手を選ぶのか
sin と cos が混ざったままでは増減が読めません。合成して R sin(θ + α) の 1 つの波にすれば、あとは「その波が範囲内でどこまで振れるか」だけの問題になります。R = √(92 + 122) = 15 。
ここが本題です。範囲が狭いので、sin(θ + α) が 1 や −1 に届かないことがあります。届かない側は端点で最大（最小）になるので、θ = 0 と θ = π の値を必ず計算して比べます。合成しただけで「最大は R + 0」と書くと、ここで落とします。
2. 解答
- 合成：9 sin θ + 12 cos θ = 15 sin(θ + α) 。ここで α（ただし cos α = 915 、sin α = 1215 を満たす鋭角） 。
- よって y = 15 sin(θ + α) + 0 。0 ≦ θ ≦ π のとき θ + α は α から π + α まで動きます。
- この区間で sin は 1 に到達する（θ + α = π2）ので、最大値は 15 + 0 = 15 、そのとき θ = π2 − α 。
- sin は −1 にも届かないので、最小も端点。θ = π のとき y = −12 が最小。
答え： 最大値 15（θ = π2 − α）、最小値 −12（θ = π）
3. 検算
振れ幅で確かめる：最大 − 最小 = 27.000 。範囲が1周ぶんあるなら 2R = 30.000 に一致し、狭ければそれより小さくなるはずです。今回は2R より小さく、範囲が制限されている事実と整合しています。
端点を代入して確かめる：θ = 0 で y = 12 。これが最大値以下・最小値以上に収まっていることを必ず見ます。
この型の一般化：a sin θ + b cos θ = √(a2+b2) sin(θ + α) は無条件で使えますが、最大値が R になるとは限りません。決め手は「θ + α の動く区間が π2 や 3π2 を含むか」。含まなければ端点勝負です。合成は変形であって解答ではない——ここを混同するのがこの型の最頻出ミスです。第6章 関数で最大最小の判断を、第7章 座標で角の扱いを整理しています。
法政大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 法政大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
- 法政大学 国語の対策——現代文・古文を型で崩す手順
法政大学 数学 過去問｜他の年度を見る
法政大学の数学の過去問は29年度ぶんを公開しています。そのうち1年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
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法政大学 2000年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 確率・場合の数
- 関数・グラフ
- 微分・積分
- 整数
- 方程式・不等式
- 指数・対数
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2000年度の問題PDFでは、図形・三角関数、確率・場合の数、関数・グラフ、微分・積分、整数に関する語句や設問を確認できました。法政大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は29年度、微分・積分は29年度、方程式・不等式は29年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 微分・積分、図形・三角関数、方程式・不等式
(1) 正しいマークの例 (2) 悪いマークの例
| 枠外にはみださないこと。
〇でかこまないこと。
2. 解答を訂正する場合は,消しゴムでよく消してから, あらためてマークすること。
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4. 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
(数 学)
(1) 2辺の長さが2と3で, その面積が 5 の三角形がある。残る 1 辺の長さを
求めよ。
(I) RCO. 4)から円x2 +y%=ニ5に接線を引くとき, つぎの問いに答えよ。
(1) 接線の方程式を求めよ。
(2) これらの接点をPとQ, 原点を0O、ンPOQをの9とおくとき, cos の の値を
求めよ。ただし, 0 "<ミのミ180" とする。
(Il) 右の図のような 1 つのます目が A
10 m 四方の道路がある。10 m ずつの
直進をくり返して点Aから点Bへ道路
上を移動するとき. 次の問いに答え
ko KEL, 同じ道を何度通ってもよ
い。
(1) 最短距離の道順は何通りあるか。
(2) 移動距離が 110 m 以下の道順は
何通りあるか。
| 枠外にはみださないこと。
〇でかこまないこと。
2. 解答を訂正する場合は,消しゴムでよく消してから, あらためてマークすること。
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4. 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
(数 学)
(1) 2辺の長さが2と3で, その面積が 5 の三角形がある。残る 1 辺の長さを
求めよ。
(I) RCO. 4)から円x2 +y%=ニ5に接線を引くとき, つぎの問いに答えよ。
(1) 接線の方程式を求めよ。
(2) これらの接点をPとQ, 原点を0O、ンPOQをの9とおくとき, cos の の値を
求めよ。ただし, 0 "<ミのミ180" とする。
(Il) 右の図のような 1 つのます目が A
10 m 四方の道路がある。10 m ずつの
直進をくり返して点Aから点Bへ道路
上を移動するとき. 次の問いに答え
ko KEL, 同じ道を何度通ってもよ
い。
(1) 最短距離の道順は何通りあるか。
(2) 移動距離が 110 m 以下の道順は
何通りあるか。
問2画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、確率・場合の数、微分・積分
(1) 求める関数のグラフは, ッ ニーx? のグラフをx 軸方向と 軸方向に平行移
動して得られる。
(2) 求める関数のグラフと ッ ニーrz 42x43 のグラフはャ軸上に共有点をも
De
(3) 求める関数のグラフの頂点は, 直線 yー 2x 上にある。
CI) 赤玉3個, 青玉5個、黄玉2個, 白玉1個の合計 11 個の玉の入った袋があ
る。この中からでたらめに 5 個の玉を取り出すとき, 3 個が青玉である確率を求
めよ。
動して得られる。
(2) 求める関数のグラフと ッ ニーrz 42x43 のグラフはャ軸上に共有点をも
De
(3) 求める関数のグラフの頂点は, 直線 yー 2x 上にある。
CI) 赤玉3個, 青玉5個、黄玉2個, 白玉1個の合計 11 個の玉の入った袋があ
る。この中からでたらめに 5 個の玉を取り出すとき, 3 個が青玉である確率を求
めよ。
問3画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、指数・対数、関数・グラフ、整数、図形・三角関数
(1) 正しいマークの例 (2) 悪いマークの例
|
| 枠外にはみださないこと。
| 〇でかこまないこと。
k 解容を訂正する場合は,消しゴムでよく消してから.あらためてマークすること。
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4. 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
(数 学)
C1) 次の空欄を最適な数値でうめよ。
(1) a=3-2V2Ok%, 2g*一8g%一21g*一e+2の値は| |で
ある。
(2) 一1ミァミ1のとき, 2ミox ちる4をみたす整数 g. らの組合せは
[| 通りでぁる。
(3) 整数を要素とする集合 作 について
Irlxは履のことなる 2つの要素の和)}=ニ{6, 9, 1}
となる集合 47 の最大の要素は | | である。
(4) どの面も確率 よー で出るサイコロを投げ, 偶数が出たら 100 円もらい.
奇数が出たら 50 円支払うものとする。このサイコロを 1 回投げた時の期待値
は| |円であぁる。
(5) 曲線ッニー2x2+ Ax一1がつねに x軸の下側にあるような整数たの値は
[| |條ある。
PSの180"」 sinのニーター なら ={ 7
; と
(8) 第20 項がーー 1, 第50 項が5である等差数列g」、..., ag, ...で, g。 2と
なる最小のヵは| | である。
(9) 曲線y = x? と直線ゞーィで因まれる領域の面積が -守- となるの値は
[_ |でぁs。
(0 th y= x? LOM(a, a3), ただしg +0, における接線は *軸とx*ニ=
[Ja cx.
(I) *の2次関数 yニox*二2gzx一3gz + 1 MMAMA LOLA, この極大
値の最小値と。 その最小値を与えるoの値を求めよ。
CMI) 連立方程式
| 4*+ (logy xy)?= 20
2 ーー x
2*+ logy = 4— log (35)
について, 次の問いに答えよ。
(1) logi。xy の値を求めよ。
(22 xと>の値を求めよ。
|
| 枠外にはみださないこと。
| 〇でかこまないこと。
k 解容を訂正する場合は,消しゴムでよく消してから.あらためてマークすること。
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4. 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
(数 学)
C1) 次の空欄を最適な数値でうめよ。
(1) a=3-2V2Ok%, 2g*一8g%一21g*一e+2の値は| |で
ある。
(2) 一1ミァミ1のとき, 2ミox ちる4をみたす整数 g. らの組合せは
[| 通りでぁる。
(3) 整数を要素とする集合 作 について
Irlxは履のことなる 2つの要素の和)}=ニ{6, 9, 1}
となる集合 47 の最大の要素は | | である。
(4) どの面も確率 よー で出るサイコロを投げ, 偶数が出たら 100 円もらい.
奇数が出たら 50 円支払うものとする。このサイコロを 1 回投げた時の期待値
は| |円であぁる。
(5) 曲線ッニー2x2+ Ax一1がつねに x軸の下側にあるような整数たの値は
[| |條ある。
PSの180"」 sinのニーター なら ={ 7
; と
(8) 第20 項がーー 1, 第50 項が5である等差数列g」、..., ag, ...で, g。 2と
なる最小のヵは| | である。
(9) 曲線y = x? と直線ゞーィで因まれる領域の面積が -守- となるの値は
[_ |でぁs。
(0 th y= x? LOM(a, a3), ただしg +0, における接線は *軸とx*ニ=
[Ja cx.
(I) *の2次関数 yニox*二2gzx一3gz + 1 MMAMA LOLA, この極大
値の最小値と。 その最小値を与えるoの値を求めよ。
CMI) 連立方程式
| 4*+ (logy xy)?= 20
2 ーー x
2*+ logy = 4— log (35)
について, 次の問いに答えよ。
(1) logi。xy の値を求めよ。
(22 xと>の値を求めよ。
問4画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、整数、微分・積分
(1) BD をcos 4 を用いて表わせ。
(2) BD をcos Cを用いて表わせ。
(3) この四角形の面積を求めよ。
(Il) pは2 より大きい数で, その整数部をo, 小数部を5 とする。条件
(5 一1)gp =12
が成り立つとき、o. b, cg+452?十63 の値を求めよ。
(2) BD をcos Cを用いて表わせ。
(3) この四角形の面積を求めよ。
(Il) pは2 より大きい数で, その整数部をo, 小数部を5 とする。条件
(5 一1)gp =12
が成り立つとき、o. b, cg+452?十63 の値を求めよ。
問5画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、関数・グラフ、微分・積分、方程式・不等式
(1) 正しいマークの例 (2) 悪いマークの例
| 枠外にはみださないこと。
〇でかこまないこと。
2. 解答を訂正する場合は,消しゴムでよく消してから,あらためてマークすること。
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4. 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
ei 学)
C1) /x)=x2 +ax+a+3, glx)=—x? +V2 (4一g)ァ一 EBS LR,
つぎの問いに答えよ。
(1) f(x) glx)<0 がxの値にかかわらず成立する定数 の範囲を求めよ。
(2) *く0であれば常に (>)g(x)く0 となる定数の範囲を求めよ。
(I) 〕] まっすぐな針金 8 本がある。このうち長さ 2 と長さ 3 のものがそれぞれ 2 本,
長さ7 のものが 4 本ある。この中からでたらめに 3 本を取り出し, これらを3辺
とする三角形を作りたい。
(1) 三角形ができる確率を求めよ。
(2) 正三角形ができる確率を求めよ。
(Il) つぎの問いに答えよ。
(D By = x3 — 3x? の極値を求め,、 グラフを描け。
(2) 不等式 sin*9一3sin?のcosの= K cos! 9 をみたす最大の実数 を求め
de KEL, 0" さすぐ WETS,
| 枠外にはみださないこと。
〇でかこまないこと。
2. 解答を訂正する場合は,消しゴムでよく消してから,あらためてマークすること。
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4. 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
ei 学)
C1) /x)=x2 +ax+a+3, glx)=—x? +V2 (4一g)ァ一 EBS LR,
つぎの問いに答えよ。
(1) f(x) glx)<0 がxの値にかかわらず成立する定数 の範囲を求めよ。
(2) *く0であれば常に (>)g(x)く0 となる定数の範囲を求めよ。
(I) 〕] まっすぐな針金 8 本がある。このうち長さ 2 と長さ 3 のものがそれぞれ 2 本,
長さ7 のものが 4 本ある。この中からでたらめに 3 本を取り出し, これらを3辺
とする三角形を作りたい。
(1) 三角形ができる確率を求めよ。
(2) 正三角形ができる確率を求めよ。
(Il) つぎの問いに答えよ。
(D By = x3 — 3x? の極値を求め,、 グラフを描け。
(2) 不等式 sin*9一3sin?のcosの= K cos! 9 をみたす最大の実数 を求め
de KEL, 0" さすぐ WETS,
問6画像OCR
検出分野: 整数、関数・グラフ、確率・場合の数、図形・三角関数、方程式・不等式
(1) 正しいマークの例 (2) 悪いマークの例
枠外にはみださないこと。
〇でかこまないこと。
2. 解答を訂正する場合は, 消しゴムでよく消してから,あらためてマークすること。
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4. 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
つぎの問題の空個に最適な数字を解答欄から選びマークしなさい。
(1) 整式8xz 一61ー 24を因数分解した結果は,
(Ble: Bs E>.
(2) 整式x%+2x2二x+3をェ二2で割った余りが一15 ならば, ald [4] で
ある。
(3) 方程式 |x+キ1|一lxl= ig の解の最小値は - Fess.
(4) OSxS1, 3x+2y=12 のとき aac である。
1 ‘
6) (2-V3)? 1て2 ー/3)* の値は | コサ | である。 i
(6) 頂点の座標が(- 1, 2 )で, KCL, 10)を通る放物線の方程式は,
ッ図**国回.
(7) 放物線ッー2x* をx軸方向に+ 2, y軸方向に 2移動した曲線は, y 軸と
y= [2] cepa.
(8) BMRB y =x? + 2hu +d とx軸が共有点をもたないとき, 自然数たの最
大値は [9] である。
(9) 0"<9<180" DEX, sing + he の最小値は [F] である。
10 へABCで4ニ=30", BC 1のとき, ComEMomes |[ッ] である。
QD 直線マーニー一記-* が*軸と作る大きいほうの角は "である。
02 へABC において AB =ニゾ6, BC =1+ソ3.CA =2のとき, A=
03 225の約数になる自然数は [ハ] 個ある。
WW 6と8の少なくとも一方で割り切れる 200 以下の正の整数は 個あ
る。
09 SWORE, 2, 38, 4, 5で作れる3けたの偶数は | へ本 | 個ある。
0@ 3本の平行線とこれらに垂直に交わる 3 本の平行線を同じ平面上に引く。これ
らの直線でできる長方形は [ マ | 個ある。
(7 表と裏がそれぞれ-ちの確率で出るコインがある。このコインを3回続けて
BUSES, 少なくとも1回表の出る確率は § である。
0@ 3点(0, 0), (0, 1), C1, 0)を通る円の直径は|メ] である。
09 Fx? +y?=2 と直線x+ッームが共有点をもつとき, たの最大値は [E]
である。
ーー 。
=, ys2, が V3 マ 回
である。
枠外にはみださないこと。
〇でかこまないこと。
2. 解答を訂正する場合は, 消しゴムでよく消してから,あらためてマークすること。
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4. 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
つぎの問題の空個に最適な数字を解答欄から選びマークしなさい。
(1) 整式8xz 一61ー 24を因数分解した結果は,
(Ble: Bs E>.
(2) 整式x%+2x2二x+3をェ二2で割った余りが一15 ならば, ald [4] で
ある。
(3) 方程式 |x+キ1|一lxl= ig の解の最小値は - Fess.
(4) OSxS1, 3x+2y=12 のとき aac である。
1 ‘
6) (2-V3)? 1て2 ー/3)* の値は | コサ | である。 i
(6) 頂点の座標が(- 1, 2 )で, KCL, 10)を通る放物線の方程式は,
ッ図**国回.
(7) 放物線ッー2x* をx軸方向に+ 2, y軸方向に 2移動した曲線は, y 軸と
y= [2] cepa.
(8) BMRB y =x? + 2hu +d とx軸が共有点をもたないとき, 自然数たの最
大値は [9] である。
(9) 0"<9<180" DEX, sing + he の最小値は [F] である。
10 へABCで4ニ=30", BC 1のとき, ComEMomes |[ッ] である。
QD 直線マーニー一記-* が*軸と作る大きいほうの角は "である。
02 へABC において AB =ニゾ6, BC =1+ソ3.CA =2のとき, A=
03 225の約数になる自然数は [ハ] 個ある。
WW 6と8の少なくとも一方で割り切れる 200 以下の正の整数は 個あ
る。
09 SWORE, 2, 38, 4, 5で作れる3けたの偶数は | へ本 | 個ある。
0@ 3本の平行線とこれらに垂直に交わる 3 本の平行線を同じ平面上に引く。これ
らの直線でできる長方形は [ マ | 個ある。
(7 表と裏がそれぞれ-ちの確率で出るコインがある。このコインを3回続けて
BUSES, 少なくとも1回表の出る確率は § である。
0@ 3点(0, 0), (0, 1), C1, 0)を通る円の直径は|メ] である。
09 Fx? +y?=2 と直線x+ッームが共有点をもつとき, たの最大値は [E]
である。
ーー 。
=, ys2, が V3 マ 回
である。
問7画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、関数・グラフ、図形・三角関数、整数、空間図形
(1) つぎの問いの答えをそれぞれの解答欄に入れよ。
(1) x= ーー Ott 2x* 一3ソ2xーツ2 の値を求めよ。
(2) 辺の長さがg, 5. cの三角形の面積を S, 外接円の半径を とするとき,
PC Oe RW ke
(3) (a) (89* は何桁の数か。ただし, logy 2 — 0.3010 とする。
(b) Et, この整数の 1 の位の数は何か。
(4) APE |x? —x -2| 一ェ+んメー0の実数解の個数が3 個以上となるんの
値の範囲を示せ。
(5) 9の関数7(のを
バの= (ax - Vode
とする。ただし, 0° 50 < 360° とする。
(a) /(2)の最大値はいく らか。
(b) (92)を最小とする 9 の値はいく らか。
(IL) つきの問題(A)、〔B).〔C)より 2 問を選んで答えよ(選択する問題記号を解
amino | | 内に明記すること)。
(A) DUA (x), falx)s /。(r)を0 ミェ3の納囲で
1(0Sx<1) 1(0ミxく1)
filz)= | 1(1sx<2). fylx)= esseo
1(2<x53) 2(2 xs3)
a(0sx<1)
f(x) = | b(1<x<2)
c(2ミxsミ3)
とする。ただし, a. by cは実数とする。
(1) BOBS, Cr). fale), Salada
ey = 6, がem) = 10, [° Cx))%de = 14
OWED ER, a. b, c を求めよ。ただし, atbt+e>0eF
る。
(2) 右図に示す関数 g(x)が, f(x), fox). a(x)
ア。(x)を用いて 3
gyあや)二 dafa(x)+ds fala) a ee
と表わされるとき, KMds, dr, d』を求め 」 の
よ。 x
0 1 2 3
(B) xy平面上の原点0から出発し, サイコロを投
げて奇数の目が出たらーェ 方向へ, 偶数の目が出 10777749?
たら+ 方向へ。 それぞれ日の数だけ進むことに イト
する。サイコロを投げて6 回目で点P6, 10)に達 =F E+E ++
する確率はいく らか。 |ーーーーー
時
LEにDEL
o 6
(C) ある工場では2 種類の製品A, Bを製造している。 製品Aを1 個製造する
のに鉄塊 1トン, 冷却水 200 リットル, 電力量 500 キロワット時が, 製品B
を 1 個製造するのに鉄塊? トン, 冷却水 40 リットル, 電力最 200キロワッ
ト時がそれぞれ必要である。また, これらの製品を 1 個製造することにより
得られる利益は, A, Bともに 10 万円であるという。(解答用紙裏面のグラ
フを使用してよい。)
(1) 1日に供給可能な量は, 鉄塊が 10 トン, 冷却水が 700 リットル, 電力
量が 2000 キロワット時までであるとき, 1 日の利益を最大にするために
は, A, Bをそれぞれ何個づつ製造すればよいか。 整数で答えよ。
(2) 製品A、Bを1日に1 個製造するためには, それぞれ 10 人および5 人
の人員が必要であるが, 1日に雇用できる人員は最大で 25 人であるとい
う。
1 日あたり 40 万円以上の利益を確保しつつ, 使用する電力量を最小に
するには, 1 日に製品A,、 Bをそれぞれ何個づつ製造すればよいか。
(1) x= ーー Ott 2x* 一3ソ2xーツ2 の値を求めよ。
(2) 辺の長さがg, 5. cの三角形の面積を S, 外接円の半径を とするとき,
PC Oe RW ke
(3) (a) (89* は何桁の数か。ただし, logy 2 — 0.3010 とする。
(b) Et, この整数の 1 の位の数は何か。
(4) APE |x? —x -2| 一ェ+んメー0の実数解の個数が3 個以上となるんの
値の範囲を示せ。
(5) 9の関数7(のを
バの= (ax - Vode
とする。ただし, 0° 50 < 360° とする。
(a) /(2)の最大値はいく らか。
(b) (92)を最小とする 9 の値はいく らか。
(IL) つきの問題(A)、〔B).〔C)より 2 問を選んで答えよ(選択する問題記号を解
amino | | 内に明記すること)。
(A) DUA (x), falx)s /。(r)を0 ミェ3の納囲で
1(0Sx<1) 1(0ミxく1)
filz)= | 1(1sx<2). fylx)= esseo
1(2<x53) 2(2 xs3)
a(0sx<1)
f(x) = | b(1<x<2)
c(2ミxsミ3)
とする。ただし, a. by cは実数とする。
(1) BOBS, Cr). fale), Salada
ey = 6, がem) = 10, [° Cx))%de = 14
OWED ER, a. b, c を求めよ。ただし, atbt+e>0eF
る。
(2) 右図に示す関数 g(x)が, f(x), fox). a(x)
ア。(x)を用いて 3
gyあや)二 dafa(x)+ds fala) a ee
と表わされるとき, KMds, dr, d』を求め 」 の
よ。 x
0 1 2 3
(B) xy平面上の原点0から出発し, サイコロを投
げて奇数の目が出たらーェ 方向へ, 偶数の目が出 10777749?
たら+ 方向へ。 それぞれ日の数だけ進むことに イト
する。サイコロを投げて6 回目で点P6, 10)に達 =F E+E ++
する確率はいく らか。 |ーーーーー
時
LEにDEL
o 6
(C) ある工場では2 種類の製品A, Bを製造している。 製品Aを1 個製造する
のに鉄塊 1トン, 冷却水 200 リットル, 電力量 500 キロワット時が, 製品B
を 1 個製造するのに鉄塊? トン, 冷却水 40 リットル, 電力最 200キロワッ
ト時がそれぞれ必要である。また, これらの製品を 1 個製造することにより
得られる利益は, A, Bともに 10 万円であるという。(解答用紙裏面のグラ
フを使用してよい。)
(1) 1日に供給可能な量は, 鉄塊が 10 トン, 冷却水が 700 リットル, 電力
量が 2000 キロワット時までであるとき, 1 日の利益を最大にするために
は, A, Bをそれぞれ何個づつ製造すればよいか。 整数で答えよ。
(2) 製品A、Bを1日に1 個製造するためには, それぞれ 10 人および5 人
の人員が必要であるが, 1日に雇用できる人員は最大で 25 人であるとい
う。
1 日あたり 40 万円以上の利益を確保しつつ, 使用する電力量を最小に
するには, 1 日に製品A,、 Bをそれぞれ何個づつ製造すればよいか。
問8画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、ベクトル、微分・積分、整数、空間図形
〔I〕
空間ベクトルg, ちりを
@=(2,—8,.5),. サテ(132..3)
とする。|g| = / [ティ] . i= /[2ェ] でぁり. で と ぢ のなす角を
の とするとき
/[ォヵキ|
cos 0 =
となる。
((TI]の問題は次ページに続く。)
次に, 行列 4 の第1列にベクトル の成分を順番に並べ 第2 列にちの成
分を順番に並べると
2-1
A=|-3 2
5 3
となる。
また. 行列 B*
P
x
x= | ‘ B=|2p
2 3
とおいて, ベクトルで を
a
c= (a,8,7), 4 = AX-B
により定め, |で1? = と とおく。
(〔I]の問題は次ページに続く。)
x を定数として, と を で微分すると
<a): + a> - 回>- |
である。 p > 0 として, 直線 Se ー0 HH xt + yt =9 の拉線となるのは
のときである。
空間ベクトルg, ちりを
@=(2,—8,.5),. サテ(132..3)
とする。|g| = / [ティ] . i= /[2ェ] でぁり. で と ぢ のなす角を
の とするとき
/[ォヵキ|
cos 0 =
となる。
((TI]の問題は次ページに続く。)
次に, 行列 4 の第1列にベクトル の成分を順番に並べ 第2 列にちの成
分を順番に並べると
2-1
A=|-3 2
5 3
となる。
また. 行列 B*
P
x
x= | ‘ B=|2p
2 3
とおいて, ベクトルで を
a
c= (a,8,7), 4 = AX-B
により定め, |で1? = と とおく。
(〔I]の問題は次ページに続く。)
x を定数として, と を で微分すると
<a): + a> - 回>- |
である。 p > 0 として, 直線 Se ー0 HH xt + yt =9 の拉線となるのは
のときである。
問9画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、整数、微分・積分、方程式・不等式
(1) 正しいマークの例 § (2) 悪いマークの例
| 栓外にはみだきないこと。
| 〇でかこまないこと。
| 解答を訂正する場合は,消しゴムでよく消してから, あらためてマークすること。
B 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
* 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。 |
ーー
(数 学)
C1) BR S@)=x?-ax+a について, つぎの 2 条件をともにみたすo の値の
範囲を求めよ。
(1) すべての実数*に対して
Sf (x)> a(x -1),
(2) y=fQ@OFFI7E, x 軸の正方向に1, y 軸の正方向に 1, 平行移動した
グラフの方程式をッ = g(x)とするとき, すべての実数 x に対して
g(x) > a(x —1)*,
(1) AB=1, tanB=~2, tanc=2 のAABC がある。つきぎの問いに答え
よ。
(1) cos有の値を求めよ。
(2) 外接円の半径を求めよ。
(3) BC の長さおよびへABC の面積を求めよ。
(I) 〕 4 けたの自然数の中で, つぎの条件をみたすものの個数をおのおの求めよ。
(1) 2でも, 3でも, 5でも割り切れないもの
(2) 一の位から千の位までの 4 つの数字に 0 が少くともーーつ含まれるもの
(3) 千の位の数字が 2 で, かっ各位の数字の和が 8 となるもの
| 栓外にはみだきないこと。
| 〇でかこまないこと。
| 解答を訂正する場合は,消しゴムでよく消してから, あらためてマークすること。
B 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
* 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。 |
ーー
(数 学)
C1) BR S@)=x?-ax+a について, つぎの 2 条件をともにみたすo の値の
範囲を求めよ。
(1) すべての実数*に対して
Sf (x)> a(x -1),
(2) y=fQ@OFFI7E, x 軸の正方向に1, y 軸の正方向に 1, 平行移動した
グラフの方程式をッ = g(x)とするとき, すべての実数 x に対して
g(x) > a(x —1)*,
(1) AB=1, tanB=~2, tanc=2 のAABC がある。つきぎの問いに答え
よ。
(1) cos有の値を求めよ。
(2) 外接円の半径を求めよ。
(3) BC の長さおよびへABC の面積を求めよ。
(I) 〕 4 けたの自然数の中で, つぎの条件をみたすものの個数をおのおの求めよ。
(1) 2でも, 3でも, 5でも割り切れないもの
(2) 一の位から千の位までの 4 つの数字に 0 が少くともーーつ含まれるもの
(3) 千の位の数字が 2 で, かっ各位の数字の和が 8 となるもの
問10画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、微分・積分、指数・対数、方程式・不等式
(1) ある大学には 47 都首府県から学生が集まっている。少なくとも1 つの者道
府県が 10 名以上の出身者をもつことが確実に言えるためには学生数の合計が
何名以上でなければならないか。
2) 10種類の絵葉書の中から異なる5 種類の絵葉書を選び出す組合せを考え
る。それぞれの絵葉書は十分に数が揃っているとして, これらの絵葉書の組合
せを 100 人の人にプレゼントする方法は何通りかを以下のように考える。ただ
し, 違う人に同じ組合せの絵葉書をプレゼントしてもよいものとする。
10 種類の絵葉書の中から異なる5 種類の絵葉書を選び出す組合せの数は
| オカ | 通りである。 1 番目の人には | エオカ | 通りの組合せの中から 1
組をプレゼントし. 2 番目の人には 1 番目の人と同じ組合せの絵葉書をプレ
ゼントしてもよいから, やはり 通りの組合せの中から 1 組をプレ
ゼントすればよい。 3 番目の人には, 1 番目の人および2 番目の人と同じ組
合せの絵葉書をプレゼントしてもよいから、 やはり 通りの組合せ
の中から 1 組をプレゼントすればよい。 以下同様にして, 100 番目の人まで
通りの組合せの中から 1 組をプレゼントすればよいから求める場合
の数は 通りである。
L jee we
(3) hm "" 52" を計算せよ。 BI,
) a=+++ wea, amerne,
(解答)
lg|= -主圭 ゆえ
*" Tl \VGl er’
ーー 回 国,
ME
である。 FEL, 0 < SS *で2ァとする。
したがって。,
a= | テー 09 ane ss eins
ME
= — cos —— + tsin ——2Z
較
である。
(I) (この問題の解答は, マークシートの解答用紙にマークして解答しなさい。)
(I) *>0のとき, 不等式 logg。*ミェー1が成り立つことを以下のように証明
する。 = [7] - [4] - toe. [7] とをく。アの= ィ] - S 2.
f(x) OWE BIE,
相当回回回回
[レセトト
[ame [a] = |= ||
であるからェ > 0の範囲で x= |イ| のとき, 最 [2] wr [4] )= [|
をとる。したがって, x > OORT, f(x)2 |[ェ|] である。
(2) 任意の2つのヵ個の実数の組(の」。 Dar PIE: Gee 9*)が与え
られたとき, 次の不等式が成り立つ。
prlogzp。 2 Zp ilogzi
ただし,
Epi= 1, pi>0
Zari. qi>0
とする。
(1)の結果を用いて, 上の不等式を証明する。 回
ー とpilogzp:+ E pilogeas= と [7] be. at
t=1 el int
-i@ (2-p)
-ま回-較
=1-1
=0 _-
なお, 上式で等号が成立するのはすべての に対して SS = [ス] のとき
のみである。
(Il) 〕 (この問題の解答は, マークシートの解答用紙にマークして解答しなさい。
内 | 1 eee |
RRL: cosect = ーー sect = oy cott = Saar
1 1 1
cosec*t = sin’ sec*t = Coste" cot?t = てanを
である。)
y 左図のように半径 の半
WMV. 円が x 軸に点 B で接してい
ンクググググ * Bo x 軸を回転軸としてこの
ンクググ/ 図形を回転させてできる立体
ンク の体積 Vを求めなさい。
P yy) - hy
YY 弦 AB の中点をC とし
G C を通り x 軸に平行な直線
GA が円弧と交差する点を P と
B O x i 4 =
図形の緑からェ軸までの距
離をェの関数として表すと,
moa
ae [>]-[=]
moa
Ei [>]-[=]
ve
ばがとうにーーを 人 S42
~~ Bl
となる。
このとき。, 体積は
Va aff? ae) de + x fT)? (fae) dx
と表され, 積分の範囲は ぁ =-a,c= Bl’ d= = となる。 実際に積分
を実行していくと現れてくる定積分 7 = f° /[ウ| - |エ| ax にっついぃて考え
る。 x=a | ス| の変数変換を行うと
ax = [2] PJ] a asi /[>]-[] - B] E] exe.
したがって. r= (= + fl) 5
これよりザーァzos (Bx =) を得る。
府県が 10 名以上の出身者をもつことが確実に言えるためには学生数の合計が
何名以上でなければならないか。
2) 10種類の絵葉書の中から異なる5 種類の絵葉書を選び出す組合せを考え
る。それぞれの絵葉書は十分に数が揃っているとして, これらの絵葉書の組合
せを 100 人の人にプレゼントする方法は何通りかを以下のように考える。ただ
し, 違う人に同じ組合せの絵葉書をプレゼントしてもよいものとする。
10 種類の絵葉書の中から異なる5 種類の絵葉書を選び出す組合せの数は
| オカ | 通りである。 1 番目の人には | エオカ | 通りの組合せの中から 1
組をプレゼントし. 2 番目の人には 1 番目の人と同じ組合せの絵葉書をプレ
ゼントしてもよいから, やはり 通りの組合せの中から 1 組をプレ
ゼントすればよい。 3 番目の人には, 1 番目の人および2 番目の人と同じ組
合せの絵葉書をプレゼントしてもよいから、 やはり 通りの組合せ
の中から 1 組をプレゼントすればよい。 以下同様にして, 100 番目の人まで
通りの組合せの中から 1 組をプレゼントすればよいから求める場合
の数は 通りである。
L jee we
(3) hm "" 52" を計算せよ。 BI,
) a=+++ wea, amerne,
(解答)
lg|= -主圭 ゆえ
*" Tl \VGl er’
ーー 回 国,
ME
である。 FEL, 0 < SS *で2ァとする。
したがって。,
a= | テー 09 ane ss eins
ME
= — cos —— + tsin ——2Z
較
である。
(I) (この問題の解答は, マークシートの解答用紙にマークして解答しなさい。)
(I) *>0のとき, 不等式 logg。*ミェー1が成り立つことを以下のように証明
する。 = [7] - [4] - toe. [7] とをく。アの= ィ] - S 2.
f(x) OWE BIE,
相当回回回回
[レセトト
[ame [a] = |= ||
であるからェ > 0の範囲で x= |イ| のとき, 最 [2] wr [4] )= [|
をとる。したがって, x > OORT, f(x)2 |[ェ|] である。
(2) 任意の2つのヵ個の実数の組(の」。 Dar PIE: Gee 9*)が与え
られたとき, 次の不等式が成り立つ。
prlogzp。 2 Zp ilogzi
ただし,
Epi= 1, pi>0
Zari. qi>0
とする。
(1)の結果を用いて, 上の不等式を証明する。 回
ー とpilogzp:+ E pilogeas= と [7] be. at
t=1 el int
-i@ (2-p)
-ま回-較
=1-1
=0 _-
なお, 上式で等号が成立するのはすべての に対して SS = [ス] のとき
のみである。
(Il) 〕 (この問題の解答は, マークシートの解答用紙にマークして解答しなさい。
内 | 1 eee |
RRL: cosect = ーー sect = oy cott = Saar
1 1 1
cosec*t = sin’ sec*t = Coste" cot?t = てanを
である。)
y 左図のように半径 の半
WMV. 円が x 軸に点 B で接してい
ンクググググ * Bo x 軸を回転軸としてこの
ンクググ/ 図形を回転させてできる立体
ンク の体積 Vを求めなさい。
P yy) - hy
YY 弦 AB の中点をC とし
G C を通り x 軸に平行な直線
GA が円弧と交差する点を P と
B O x i 4 =
図形の緑からェ軸までの距
離をェの関数として表すと,
moa
ae [>]-[=]
moa
Ei [>]-[=]
ve
ばがとうにーーを 人 S42
~~ Bl
となる。
このとき。, 体積は
Va aff? ae) de + x fT)? (fae) dx
と表され, 積分の範囲は ぁ =-a,c= Bl’ d= = となる。 実際に積分
を実行していくと現れてくる定積分 7 = f° /[ウ| - |エ| ax にっついぃて考え
る。 x=a | ス| の変数変換を行うと
ax = [2] PJ] a asi /[>]-[] - B] E] exe.
したがって. r= (= + fl) 5
これよりザーァzos (Bx =) を得る。