神戸大学 2006年度 過去問・解答

神戸大学 2006年度（平成18年度）前期日程 数学の全問解説です。文系が3題、理系が5題ですが、文系第1問と理系第1問、文系第3問と理系第5問がそれぞれ重なっています。重複を1つにまとめると全6題15小問です。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（二等分線の交点を6通りの三角形で数値計算・5万点超の領域走査・整数解の全探索・行列方程式の数式処理・4000通りの乱数による等式確認・回転体の数値積分） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 文系と理系で2題が共通しています。【1】は (1) がまったく同じ文章で、(2) だけ文系が具体的な数値（ など）、理系が一般の 。文系版で答えを出してから理系版の一般形を作るのが、いちばん確実な進め方です。
• 「」が2度出てきます。【2】(1) の「点 を通る がただ1つ」も、【5】(1) の「 から放物線に引いた接線の接点」も、まったく同じ2次方程式です。実は は の接線そのもので、2つの大問は同じ図形を別の角度から見ています。
• 【5】(3) の結論が美しい年です。 は「 が の調和平均」ということ。放物線の接点を結ぶ直線（極線）がもつ性質で、傾き をどう変えても崩れません。

【1】角の二等分線とベクトル（文系 第1問 ＋ 理系 第1問）

(1)　二等分線の方向ベクトル

【型】角の二等分線の方向は「2つの単位ベクトルの和」。理由はひし形の対角線。

【なぜこうするか】 と はどちらも長さ1。長さの等しい2辺で作った平行四辺形はひし形で、ひし形の対角線は頂角を二等分します。だからこの和が二等分線の向きです。

半直線 上に となる点 をとり、四角形 が平行四辺形となるように をとります。

より はひし形なので、対角線 は を二等分します。

また かつ2本の半直線は相異なるので と は1次独立、したがって 。

点 は二等分線（＝直線 ）上にあるので、実数 を用いて

（証明終）

(2)　【文系】 のとき

【型】2本の二等分線上にあることを2通りに表して係数を比べる。

【なぜこうするか】 は、点 から見て「 から遠ざかる向き（）」と「 の向き」の間の角。つまり三角形 の頂点 における外角です。その二等分線と、頂点 の内角の二等分線が交わる点を求めます。

の二等分線上：(1) より（）

の二等分線上：点 を始点として、単位ベクトル （ 向き）と の和が方向なので

より

は1次独立なので 。解いて 。

この点 の正体：「頂点 の内角の二等分線」と「頂点 の外角の二等分線」の交点は、三角形 の傍心（辺 に接し、 の延長に接する円の中心）です。一般的な解答例も同じ注記をしています。傍心の公式に当てはめると、対辺の長さ から

となり、確かに一致します。

(3)　【理系】一般の場合

【型】(2) とまったく同じ計算を、 の代わりに で行う。

と略記します。

を の係数で比べると

の係数：

の係数：

2式目に を代入し、両辺を 倍すると

三角形の成立条件から なので 。したがって

確かめ： を代入すると分母は 、分子は となり (2) と一致します。

検証： を原点として の座標を6通り（ が鋭角のもの・鈍角のものを含む）与え、2本の二等分線の交点を連立方程式で数値的に求めました。上の式との差はいずれも 未満です。文系の設定（ から余弦定理で を確認）でも と が一致しました。

【2】直線の通過領域（文系 第2問）

(1)　 の軌跡

【型】通過領域の問題は「 についての方程式が解をもつ条件」に読み替える。

【なぜこうするか】点 を通る がいくつあるかは、 を の方程式とみたときの実数解の個数そのものです。「ただ1つ」は「重解をもつ」、つまり判別式 。

これが の2次方程式としてただ1つの実数解をもつ条件は

これは当然の結果でもあります。 は 上の点 における接線（）だからです。「ちょうど1本しか通らない点」＝「放物線上の点」ということ。

(2)　 のときの通過領域

【型】 が または に解をもつ条件を、軸の位置で場合分けする。

【なぜこうするか】 は下に凸で軸は 。 が に解をもつかどうかは、軸が の外にあるか中にあるかで決まります。外にあれば頂点の値、中にあれば端の値を見ればよい。

(i) のとき　軸は の中。 に解をもつ条件は 、すなわち 。

(ii) のとき　軸は の中なので、 の側では は端で最小。条件は または 。

2つを合わせると 。

(iii) のとき　(i) と同様に 。

　 では 、 では

図の意味： は放物線の接線なので、 を に制限するということは「接点を より外側だけに限る」ということ。だから境界は「外側の放物線」＋「両端の接線」になります。ただし一般的な解答例も注意しているとおり、この見方だけでいきなり図をかくのは厳密さを欠くので、上のように判別式と軸の位置で押さえるのが答案としては安全です。

検証：、 を52461点に区切り、各点について の解を実際に求めて をみたす解があるかを判定しました。上の答えとの不一致は0件（境界から 以内を除く）。

【3】複素数と整数係数3次方程式（文系 第3問 ＝ 理系 第5問）

(1)　 を解にもつ2次方程式

【型】実数係数の方程式が虚数解 をもつなら、共役 も解。和と積が 。

解と係数の関係より 。

(2)　整数の組

【型】3次方程式が虚数解 をもつなら で割り切れる。残りの1次因子が実数解。

【なぜこうするか】係数が実数（整数）なので も解。3次方程式の解は3つなので、残る1つ は必ず実数です。したがって

と因数分解できます。右辺を展開すると

係数を比べて

ここが要点です。 が整数であることから も整数。そして問題の条件「 に実数解を1つもつ」は、実数解が しかないので と同値。

をみたす整数は の2つだけ。

検証： を から まで動かして を作り、条件をみたすものを拾ったところ2組のみ。逆に を から まで動かす向きでも同じ2組が出ました。さらに を実際に各方程式へ代入して値が厳密に になることも確認しています。

【4】行列 （理系 第2問）

(1)　 の条件

【型】愚直に両方を計算して成分ごとに比べる。

4つの成分を比べると

4本のうち独立なのは2本だけです。

かつ

は原点まわりの の回転行列です。「回転と可換な行列」は の形、つまり「回転と拡大の合成」だけ。複素数でいえば「複素数倍」に対応します。

(2)　 ならば

【型】「 自身とその累乗はいつでも可換」——それだけ。

【なぜこうするか】行列の積は一般に可換ではありませんが、同じ行列の累乗どうしは必ず可換です。 なので、 と の可換性は を2通りに読むだけで出ます。

（証明終）

この (2) がないと (3) で の4文字を相手に4本の2次方程式を解くことになり、かなり面倒です。(2) は「4文字を2文字に減らす」ための誘導だと読み取れると、この大問の構造が見えます。

(3)　 をみたす

【型】(2)→(1) で と絞り、成分を比較する。

(2) と (1) より と書けます。このとき