神戸大学 2009年度 過去問・解答

神戸大学 2009年度（平成21年度）前期日程 数学の全問解説です。文系が3題、理系が5題で重複はなく、全8題22小問になります。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（ベクトルの恒等式を平面・空間それぞれ20万点で確認・放物線の全区間走査・じゃんけんの勝敗表を16通り全探索・数式処理による2階微分・3次方程式の数値解と剰余計算・数値積分・36通りの期待値を分数のまま計算・漸化式の実計算） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 【1】は見かけ倒しの代表例です。長々とした条件式は、実は と書き直せるだけ。ベクトルの「直交分解と三平方の定理」に気づけば、答えは円板と球の面積・体積です。式を見て怯まず、まず整理してみることがすべて。
• 【4】と【8】は「前問が道具」の典型です。【4】は (1) の凸性 → (2) の の一意性 → (3) の不等式と一直線。【8】も (1) の結果を符号を入れ替えて (2) に流用します。直前の小問の結論を、そのままの形で使えないかを毎回疑ってください。
• 【5】には美しい背景があります。 の3解は と書けて、 は「角を2倍にする」働きをします。 だから巡回する——一般的な解答例の補足にもこの話が出てきます。

【1】ベクトルの条件が表す図形（文系 第1問）

(1)　平面の場合の面積

【型】まず を確認する。左辺は直交分解＋三平方の定理そのもの。

【なぜこうするか】 とおくと、 は の 方向の成分、 はそれに垂直な成分です。この2つは直交しているので、長さの2乗を足すと になります。

まず なので 。実際に左辺を展開すると

したがって（ を使って）

ゆえに与えられた条件は

つまり求める図形は原点を中心とする半径1の円とその内部。

　面積

(2)　空間の場合の体積

【型】(1) の議論は次元にまったく依存していない。そのまま使える。

なので、(1) とまったく同じ計算で条件は 。求める図形は原点を中心とする半径1の球とその内部です。

　体積

検証：点 を平面・空間それぞれで各20万点ランダムに取り、左辺と の差を計算しました。差が を超えた点は0件で、恒等式であることを数値的にも確認しています。

【2】放物線の最大値と共有点（文系 第2問）

(1)　 での最大値

【型】平方完成して軸の位置で場合分け。上に凸なので最大は軸か端。

軸は 、頂点の値は によらず です。

なので軸 は必ず正。区間の左外に出ることはないので、場合分けは2つで済みます。

(2)　線分 と共有点をもつ の範囲

【型】 を解いて交点の 座標を で表す。それが に入る条件。

【なぜこうするか】頂点の値が で固定なので、曲線 と直線 は がどんな値でも必ず2点で交わります。あとはその2点のうち少なくとも一方が にあればよい、というだけです。

求める条件は「 または が に入る」ことなので

　または　

より各辺の逆数を取って（不等号の向きが逆になることに注意）

　または　

数直線上では、 と の2区間（いずれも端点を含む）になります。

検証：(1) は を から まで400通り取り、そのつど の20万点で を評価して最大値を求め、上の式と一致することを確認（不一致0件）。(2) は を から まで5901点に区切り、 上で となる が存在するかを直接判定して、上の2区間と一致することを確かめました（境界近傍を除き不一致0件）。

【3】5種類のじゃんけん（文系 第3問）

(1)　3種類の場合

【型】勝敗表を書く。9マスのうち勝ち・負け・引き分けがそれぞれ何マスか。

9通りは同様に確からしく、○が3マス、△が3マス。

　勝つ確率 、引き分ける確率

(2)　「水」を加えた4種類

【型】同じく16マスの勝敗表を作って数える。

【なぜこうするか】手が増えてもやることは同じです。ここで表を丁寧に書いておくと、(3) で「各行の○の数」を数え直す必要がなくなります。(3) の下ごしらえとして (2) の表があると読むのが正しい姿勢です。

○は マス、△は4マス。

　勝つ確率 、引き分けの確率

この時点で「紙」と「水」が有利、「石」と「はさみ」が不利（○の数が 2 対 1）という偏りが生まれています。(3) はこの偏りをならす問題です。

(3)　「土」の勝敗規則の定め方

【型】「勝つ確率が手によらない」＝勝敗表の各行の○の数が全部等しい。

【なぜこうするか】 は5種類から等確率で選ぶので、 が手 を出したときの勝つ確率は「 が勝つ相手の数」。これが によらない ⟺ 各手の勝ち数がすべて同じということです。

第1段：勝ち数の合計から1手あたりの数を出す　引き分けは同じ手どうしのときだけなので、異なる2つの手のペアには必ず勝敗がつきます。ペアは 組あり、各組がちょうど1勝を生むので勝ち数の合計は10。5つの手で等しく分けると1手あたり2勝です。

第2段：土との勝敗を決める　(2) の表から、土を除いた4種類の中での勝ち数は

このとき「土」自身は紙と水に勝ち、石とはさみに負けるのでちょうど2勝。5つの手すべてが2勝でそろい、条件を満たします（存在するので十分性も確認できました）。

「土」は「紙」「水」に勝ち、「石」「はさみ」に負けると定めればよい

このとき、どの手を選んでも の勝つ確率は です。

検証：「土」が他の4手に勝つか負けるかの 通りをすべて列挙し、5つの手の勝ち数がそろうものを探したところ、「土が紙と水に勝つ」1通りだけでした。そのとき各手の勝ち数はすべて2です。

【4】対数関数の凸性と相加相乗（理系 第1問）

(1)　

【型】2回微分するだけ。 の中身は の1次式なので計算は軽い。

【なぜこうするか】 は の1次式なので、2回微分すると完全に消えます。残るのは の部分だけ。だから の符号は「 が上に凸である」ことだけで決まります。

とおくと 。 では なので 。

より 、分母は正なので

（証明終）

(2)　 となる がただ1つ

【型】両端の値が等しいことに気づけば、ロルの定理で存在は一発。一意性は (1) から。

【なぜこうするか】まず端の値を計算してみると

両端でともに です。 は で連続、 で微分可能なので、ロルの定理（平均値の定理で の場合）により をみたす が に存在します。

一意性は (1) から。 なので は で狭義単調減少。単調な関数が を取る点は高々1つなので、そのような はただ1つです。

（証明終）

別の道：端の値を使わずに、 と を評価する手もあります。 とおくと 、 となるので、中間値の定理と単調減少から同じ結論が出ます。ただし「両端がともに 」に気づけるなら、ロルの定理のほうが圧倒的に短いです。

(3)　

【型】示すべき不等式はそのまま 。増減表を書けば終わり。

【なぜこうするか】 の対数は 。つまり

なので、 と示したい不等式は（ が単調増加だから）同値です。

(1)(2) より は減少で、 の前後で正から負に変わります。 とあわせて

したがって の全体で 。すなわち

が単調増加なので、両辺の を外して

（証明終）

この不等式の正体： とすると となり、相加・相乗平均そのものです。一般の は「重み付きの相加相乗平均」で、 が上に凸であること（＝(1) の ）から出る、という構造になっています。

検証： を数式処理で計算して になることを確認。(2)(3) は の5組について、 の20万点で を評価し、最小値が 以上（誤差 以内）であること、および が成り立つことを確かめました。

【5】3次方程式の解の巡回（理系 第2問）

(1)　絶対値2未満の相異なる3実数解

【型】増減を調べて符号が変わる区間を見つける。3次なので3回変われば全部。

【なぜこうするか】3次関数の実数解の個数は極大値と極小値の符号で決まります。極大が正・極小が負なら3個。あとは具体的な を代入して符号の変わり目を見つければ、解の位置まで押さえられます。

極大値 、極小値 なので、相異なる3実数解をもちます。さらに端の値を調べると

より、3解はそれぞれ

の範囲にあります。 なのですべて絶対値が2より小さい。（証明終）

この「 で挟む」評価が (3) で効いてきます。単に「絶対値2未満」で止めずに、もう一段細かく挟んでおくのがポイントです。

(2)　 も解

【型】 を計算して で割り切れることを示す。

ここで に気づくと

したがって ならば 、すなわち も の解。（証明終）

に持ち込むのが鍵です。 という定数項が「2乗マイナス1」を作るために置かれている、と読めます。

(3)　解の巡回

【型】(1) の挟み込みから の値の範囲を出し、3解のどれかを特定する。

(1) の範囲を2乗して を引くと

(2) より はいずれも の解、つまり のどれかです。3解の位置（）と上の範囲を見比べると、それぞれ1つに絞られます。

（証明終）