神戸大学 2012年度 過去問・解答

神戸大学 2012年度（平成24年度）前期日程 数学の全問解説です。文科系が3題（75点）、理科系が5題（150点）で、文科系第1問＝理科系第1問が同一問題。重複を除くと全7題19小問になります。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる数値検算（数値積分・行列の直接計算・20万回のランダム検査・200万点走査） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 【1】は「絶対値の和を場合分けで外す」だけの問題。2点が直線の同じ側にあるか反対側にあるかで、 が になるか になるかが決まります。設問 (2)(3) がその2つの場合にきれいに対応しているので、誘導に素直に乗れば完答できます。
• 【5】と【6】はどちらも「微分して0になる関数は定数」を使う。【5】は が定数、【6】(2) は の導関数が被積分関数そのもの。「原始関数を先に配ってくれている」設問だと気づけるかが分かれ目です。
• 【4】は旧課程の「行列」の問題。現在の高校数学の範囲外ですが、（べき等）から を求める流れは「漸化式を立てて解く」という考え方そのもので、大学以降でも頻出です。本ページでは行列を知らない人にも読めるように補足しました。

【1】2点と直線の距離の和（文科系・理科系 第1問）

(1)　 軸と平行でないこと

【型】「〜でない」の証明はそうだと仮定して矛盾を出す型。

が 軸と平行だと仮定し、 とおきます。このとき

（A と の距離）＋（B と の距離）

絶対値の性質 より

これは和が1であることに矛盾します。よって は 軸と平行ではありません。（証明終）

直感的には、A と B の距離が2なのに「両方までの距離の和が1」なので、 は AB を「斜めに」横切るしかないということです。

(2)　線分 AB と交わるときの傾き

【型】点と直線の距離は 。2点が直線の反対側 分子の符号が逆と読み替える型。

【なぜこうするか】(1) より 、すなわち と書けます。A, B を代入した値はそれぞれ 、。この2つの符号が逆なら は線分 AB を横切ります。そして符号が逆のとき となり、和がきれいにまとまります。

（距離の和）

が線分 AB と交わるので と は異符号（または一方が0）。したがって

和が1であることから

(3)　交わらないときの原点との距離

【型】(2) と同じ計算で符号だけ入れ替える型。今度は になる。

【なぜこうするか】交わらないとき A, B は同じ側なので と は同符号。すると和は となり、 が消えて だけが残ります。そして原点と の距離はまさに なので、そのまま答えになります。

和が1であることから

左辺は原点 と の距離そのものです。

検証：傾き で原点を通る直線について距離の和がちょうど になること、また交わらない場合として を取ると、いずれも原点との距離が になることを確認しました。

【2】2放物線で囲む面積の最大（文科系 第2問）

(1)　 の範囲

【型】「異なる2点で交わる」＝差の2次方程式の判別式が正。

2式を引くと

この2次方程式が異なる2実数解をもつ条件は

より 、すなわち

(2)　

【型】2次曲線で囲む面積は 公式：。

【なぜこうするか】差が （2次の係数1）なので、交点を とすれば差は そのもの。 さえ分かれば積分せずに答えが出ます。

したがって で

(3)　 の最大値

【型】 は中身を最大にすればよい（増加関数なので）。

【なぜこうするか】 は で増加関数なので、 を最大にするのと を最大にするのは同じことです。 乗のまま微分するより、中身だけ調べるほうがずっと楽。

とおくと 。 では

最大は のときで 。したがって

　 のとき最大値

検証： で差の関数を数値積分したところ、 となり閉じた式と9桁一致。 を200万分割して走査すると最大は での で、 と一致しました。

【3】コーシー・シュワルツ型の不等式（文科系 第3問）

(1)　

【型】不等式は（左辺）−（右辺）を計算して平方の形にするのが最も確実。

【なぜこうするか】相加相乗で一発ですが、差を作って平方にすれば等号条件まで同時に出ます。「等号が成立するための条件を求めよ」と言われているので、こちらが安全です。

より分母は正、分子は0以上なので全体は0以上。よって 。

等号成立は分子が0のとき、すなわち

(2)　 個への一般化

【型】積をすべて展開して、対になる項どうしをまとめる型。(1) をそのまま各ペアに当てはめる。

【なぜこうするか】展開すると という項が 個できます。そのうち の 個は 1 で、残りは と が必ずペアで現れます。そのペアに (1) を使えば、1組につき2以上。ペアの個数を数えれば終わりです。

（ の項は が 個、 の項は のペアにまとめました。）

(1) より各ペアは2以上で、ペアの個数は なので

等号が成立するのはすべてのペアで等号が成立するとき、すなわち (1) の等号条件からすべての で 。つまり

なお のときはペアが1組もなく、 なのでどんな正の実数 でも等号が成立します。上の条件は のときに意味をもちます。

この不等式はコーシー・シュワルツの不等式 で とした場合にあたります（右辺が になります）。

検証： を1〜8、各 を から の一様乱数として20万回試したところ、不等式が破れたケースは0回。またすべて等しい場合はちょうど になることも確認しました。

一般的な解答例との違い：一般的な解答例は数学的帰納法で示しています。本ページは展開して のペアにまとめる方法をとりましたが、結論は同じです。等号条件についても一般的な解答例は「 のとき は任意の正の実数、 のとき 」としており、上の注と一致します。

【4】行列と （理科系 第2問）

この問題について：行列は現在の高校数学の範囲外ですが、「 を と の組み合わせで表し、漸化式で を求める」という流れ自体は今も通用する考え方です。行列の掛け算だけ知っていれば読めるように書きました。

(1)　 の値

【型】2次の正方行列はケーリー・ハミルトンの定理で を と で書き換える型。

【なぜこうするか】 を成分計算してもよいのですが、ケーリー・ハミルトンを使えば が「（トレース）（行列式）」と一気に降ります。すると が「 の係数」と「 の係数」の条件に翻訳できます。

トレース（対角成分の和）は 、行列式は

ケーリー・ハミルトンの定理より

を代入すると

左辺は なので

(i) のとき　両辺とも となり、条件は矛盾しません。実際に確かめると

(ii) のとき　両辺を で割ると 、つまり は単位行列の定数倍。ところが の 成分は なので、これは不可能です。

(2)　

【型】 を計算して の漸化式を作る型。

【なぜこうするか】 を計算すると になる（下で確かめます）ので、 を展開したときにまた と の形に戻ります。「 と の世界から出ない」ことが分かるので、係数だけの漸化式になります。

まず を計算します。

の両辺に左から を掛けると、 を使って

したがって

より 。 は公比2の等比数列なので 。これを の漸化式に入れると

両辺を で割る（あるいは と変形する）と、 は公比3の等比数列で初項 。よって

なぜ3と2が出るのか： の固有値がちょうど と です（特性方程式 ）。 が と の組み合わせになるのはそのためで、 は「固有値3の成分を取り出す装置」になっています。

検証： で を計算すると のときだけ零行列でした。また について を直接計算し、 と完全に一致することを確認しました。

【5】 の性質（理科系 第3問）

(1)　

【型】（微分積分学の基本定理）そのもの。

(2)　

【型】合成関数の微分。(1) の結果に を代入して、内側の微分を掛けるだけ。

なので

(3)　

【型】導関数が0なら定数。あとは1点での値を計算する型。

【なぜこうするか】(1) と (2) の答えを見比べると符号だけが逆。ということは足せば0です。これは「(1)(2) を計算させたのは、(3) で足して0にするためだった」という露骨な誘導で、 が定数だと分かります。

とおくと

したがって は で定数です。 を代入して値を求めます。

と置換します。、 のとき で、 なので

この式の意味： は「 となる角 」、つまり逆正接関数です。 と を満たす角は直角三角形の2つの鋭角なので、足すと になります。式の裏には図形的な意味があります。

検証： で を数値積分したところ、いずれも でした。(1)(2) の導関数も差分近似と8桁一致しています。

【6】 と定積分（理科系 第4問）

(1)　

【型】対数の不等式は両辺を「 の累乗」に直して整数の比較にする型。分母を払うために両辺を5乗する。

【なぜこうするか】 は 、すなわち と同値。 と を比べるだけの問題になります。そして から と押さえられます。

両辺の自然対数をとると（ は増加関数なので不等号の向きはそのまま）

（証明終）

(2)　

【型】商の微分。分子が でまとまるのを見逃さない型。

分子は なので約分できて

したがって

(3)　定積分の値

【型】被積分関数を2つに分けて、片方は置換、片方は (2) の原始関数をそのまま使う型。

【なぜこうするか】(2) で求めた は、被積分関数の後半そのものです。つまり (2) は「後半の原始関数を配っておくから使いなさい」という誘導。前半 は分母の微分が分子に（符号違いで）現れる形なので置換で片づきます。

前半は より原始関数が なので

後半は (2) より原始関数が なので

(4)　正か負かの判定

【型】(1) で作った評価をそのまま使う型。 にも粗い評価を当てる。

【なぜこうするか】(1) の が、ここで使うために置かれていたことがはっきりします。あとは を上から押さえればよく、 という粗い評価で足ります。

より なので

　(3) の値は正

検証：数値積分すると 。 と一致し、確かに正でした。導関数も差分近似と9桁一致しています。

【7】媒介変数曲線と回転体（理科系 第5問）

(1)　曲線 の概形

【型】媒介変数表示は の符号表を作って、点がどちらへ動くかを追う型。

で なので は 1 から 0 へ単調に減少します。 となるのは で、そこを境に は増加から減少に転じます。

したがって は を出発し、左上へ登って で最高点に達し、そこから左下へ降りて原点に至る弧です。

じつは の関数として書けます。 より なので

(2)　回転体の体積

【型】 軸まわりの回転は 。曲線が2つの枝に分かれるので外側の枝から内側の枝を引く型。

【なぜこうするか】高さ で切ると、断面はドーナツ状になります。外側の半径は右の枝（ の部分、 が大きい）、内側は左の枝（）。2つの積分の差として書けば、媒介変数のまま計算できます。

最高点の 座標を とし、右の枝を 、左の枝を とすると

いずれも で置換します。右の枝は 、左の枝は に対応するので

第2項の積分の向きを入れ替えると符号が変わり、2つがつながって

展開すると

分母を105にそろえると なので

別の計算法（検算に便利）： と書けるので、いわゆるバウムクーヘン分割で としても求まります。 と置換すると で一致します。

検証： が媒介変数表示と を から まで動かした全点で一致することを確認したうえで、 を数値積分したところ 。 と一致しました。

解法の「型」の一覧

検証について

本ページの数値は、次の3段階を通したものだけを掲載しています。

1. 当塾で独立に解く。解答を見る前に、まず自分で最後まで解きます。
2. Python で別方法から検算する。今回は、距離の和を実際に計算しての確認／シンプソン法での数値積分／ を200万分割しての最大値探索／不等式を20万回のランダム検査／行列 の直接計算との突き合わせ／媒介変数表示と陽関数表示の全点一致確認、を行いました。
3. 解答PDFと本文をそろえる。本ページで配布している解答PDFは数強塾が独自に作成したもので、この解説と答え・道筋が一致しています。

【3】(2) は一般的な解答例が数学的帰納法、本ページが展開してペアにまとめる方法で、道筋が異なります（結論と等号条件は一致）。読み比べると理解が深まると思います。

【7】(2) について、一般的な解答例は 軸まわりの回転を の差として計算しています。本ページも同じ道筋にそろえ、バウムクーヘン分割による別解を検算として添えました。

もし誤りを見つけられた場合は、お手数ですがご連絡ください。確認のうえ訂正し、訂正の記録もこのページに残します。