藤原進之介です。このページでは京都大学2019年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
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京都大学 2019年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 指数・対数
- 整数
- 微分・積分
- 確率・場合の数
- 空間図形
- 図形・三角関数
- 関数・グラフ
- 複素数
この年度の出題範囲と傾向
2019年度の問題PDFでは、指数・対数、整数、微分・積分、確率・場合の数、空間図形に関する語句や設問を確認できました。京都大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は25年度、整数は24年度、空間図形は22年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 指数・対数、確率・場合の数、関数・グラフ、空間図形、整数
平成31年度入学試験問題
数 。 学 OLR)
る配点は, 一般入試学生募集要項に記載のとおり.タ
(注意)
1. 問題冊子および解答肛子は監督者の指示があるまで開かないこと.
2. 解答冊子は表紙のほかに, 解答用ページ, 計算用ページ, 余白ページをあわせ
て16 ページある.
3. 問題は全部で 5 題ある(1 ページから 2 ページ). 解答に際して常用対数の値が
必要なときは, 常用対数表(3 ページから 4 ページ) を利用すること.
4. 試験開始後, 解答冊子の表紙所定欄に学部名・受験番号・氏名をはっきり記入
すること. 表紙には, これら以外のことを書いてはならない.
5. 解答は解答冊子の指定された解答有有ページに書くこと. ただし, 続き方をはっ
きり示して見開きに隣接する計算用ページに解答の続きを書いてもよい. この
場合に限って, 計算用ページに書かれているものを解答の一部として採点す
る. また, 余白ページに書かれたものは採点の対象としない.
6. 解答のための下書き, 計算などは, 計算用ページまたは余白ページに書いて,
残しておいてもよい.
7. 解答に関係のないことを書いた答案は無効にすることがある.
8. 解答冊子は, どのページも切り離してはならない.
9. 問題貼子は持ち帰ってもよいが, 解答冊子は持ち帰ってはならない.
M3(773一23
(30.8)
次の各問に答えよ。
問 1 zは実数とする。* に関する整式z%二2**二gw?"十8巡十8x十2を整式
2二*十1で割ったときの商を Oe), 余りを RE(*)とする。R(*) の
ょの1次の項の係数が1 のとき, の値を定め. さらに Q(x) と R(x) を求め
よ。
問 2 8.94" の整数部分は何桁か。また最高位からの 2 桁の数字を求めよ。例え
ば, 12345.6789 の最高位からの 2 桁は 12 を指す。
(30 #2)
4は実数とし, 5 は正の定数とする。 x OWES (2) = 22 + 2 (ax + bel) OF
小値 を求めよ。さらに, a の値が変化するとき, cの値を横朝に, m OER
輔にとつて のグラフをかけ。
a, 6 cは実数とする。次の命題が成立するための, 。とcがみたすべき必要
十分条件を求めよ。さらに, この(, <) の範囲を図示せよ。
命題 : すべての実数 ! に対して, BSR WRB ax? + be $< OBE
す。
ional in M3 (773—25)
(30 #9
1つのさいころをぁヵ回続けて投げ, 出た目を順にそえ。 ...,え, とする。この
とき次の条件をみたす確率を ヵ を用いて表せ。ただしえー 0 としておく。
条件 : 1 ミ#評ヶヵをみたすぁのうち, えょ-」ミ4かつえょ=5が成立するよう
なょの値はただ 1 つである。
oa)
半径 1 の球面上の5 点 A, Bi, Bo, Bs, Bald, 正方形 BiBzBsB。 を底面とする四
角氏をなしている。この5 点が球面上を動くとき, DAB AB B.BsBs の体積の
最大値を求めよ。
常用対数表は次ページにある。
am Bie るM3(773一26)
常用対数表(一)
[#fo | ri ls |s llslel?zr|lsle |
1.0 | .0000 | .0043 | .0086 | .0128 | .0170 | .0212 | .0253 | .0294 | .0334 | .0374
1.1 | .0414 | .0453 | .0492 | .0531 | ・0569 | .0607 | .0645 | .0682 | .0719 | .0755
1.2 | .0792 | .0828 | .0864 | .0899 | .0934 | .0969 | .1004 | .1038 | .1072 | .1106
1.3 | .1139 | .1173 | .1206 | .1239 | .1271 | .1308 | .1335 | .1367 | .1399 | .1430
1.4 | .1461 | .1492 | .1523 | .1553 | .1584 | .1614 | .1644 | .1673 | .1703 | .1732
1.5 | .1761 | .1790 | .1818 | .1847 | .1875 | .1903 | .1931 | .1959 | .1987 | .2014
1.6 | .2041 | .2068 | .2095 | .2122 | .2148 | .2175 | .2201 | .2227 | .2253 | .2279
1.7 | .2304 | .2330 | .2355 | .2380 | .2405 | .2430 | .2455 | .2480 | .2504 | .2529
1.8 | .2553 | .2577 | .2601 | .2625 | .2648 | .2672 | .2695 | .2718 | .2742 | .2765
1.9 | .2788 | .2810 | .2833 | .2856 | .2878 | .2900 | .2923 | .2945 | .2967 | .2989
2.0 | .3010 | .3032 | .3054 | .3075 | .3096 | .3118 | .3139 | .3160 | .3181 | .3201
2.1 | -3222 | .3243 | .3263 | .3284 | .3304 | .3324 | .3345 | .3365 | .3385 | .3404
（続きは問題PDFで確認できます）
数 。 学 OLR)
る配点は, 一般入試学生募集要項に記載のとおり.タ
(注意)
1. 問題冊子および解答肛子は監督者の指示があるまで開かないこと.
2. 解答冊子は表紙のほかに, 解答用ページ, 計算用ページ, 余白ページをあわせ
て16 ページある.
3. 問題は全部で 5 題ある(1 ページから 2 ページ). 解答に際して常用対数の値が
必要なときは, 常用対数表(3 ページから 4 ページ) を利用すること.
4. 試験開始後, 解答冊子の表紙所定欄に学部名・受験番号・氏名をはっきり記入
すること. 表紙には, これら以外のことを書いてはならない.
5. 解答は解答冊子の指定された解答有有ページに書くこと. ただし, 続き方をはっ
きり示して見開きに隣接する計算用ページに解答の続きを書いてもよい. この
場合に限って, 計算用ページに書かれているものを解答の一部として採点す
る. また, 余白ページに書かれたものは採点の対象としない.
6. 解答のための下書き, 計算などは, 計算用ページまたは余白ページに書いて,
残しておいてもよい.
7. 解答に関係のないことを書いた答案は無効にすることがある.
8. 解答冊子は, どのページも切り離してはならない.
9. 問題貼子は持ち帰ってもよいが, 解答冊子は持ち帰ってはならない.
M3(773一23
(30.8)
次の各問に答えよ。
問 1 zは実数とする。* に関する整式z%二2**二gw?"十8巡十8x十2を整式
2二*十1で割ったときの商を Oe), 余りを RE(*)とする。R(*) の
ょの1次の項の係数が1 のとき, の値を定め. さらに Q(x) と R(x) を求め
よ。
問 2 8.94" の整数部分は何桁か。また最高位からの 2 桁の数字を求めよ。例え
ば, 12345.6789 の最高位からの 2 桁は 12 を指す。
(30 #2)
4は実数とし, 5 は正の定数とする。 x OWES (2) = 22 + 2 (ax + bel) OF
小値 を求めよ。さらに, a の値が変化するとき, cの値を横朝に, m OER
輔にとつて のグラフをかけ。
a, 6 cは実数とする。次の命題が成立するための, 。とcがみたすべき必要
十分条件を求めよ。さらに, この(, <) の範囲を図示せよ。
命題 : すべての実数 ! に対して, BSR WRB ax? + be $< OBE
す。
ional in M3 (773—25)
(30 #9
1つのさいころをぁヵ回続けて投げ, 出た目を順にそえ。 ...,え, とする。この
とき次の条件をみたす確率を ヵ を用いて表せ。ただしえー 0 としておく。
条件 : 1 ミ#評ヶヵをみたすぁのうち, えょ-」ミ4かつえょ=5が成立するよう
なょの値はただ 1 つである。
oa)
半径 1 の球面上の5 点 A, Bi, Bo, Bs, Bald, 正方形 BiBzBsB。 を底面とする四
角氏をなしている。この5 点が球面上を動くとき, DAB AB B.BsBs の体積の
最大値を求めよ。
常用対数表は次ページにある。
am Bie るM3(773一26)
常用対数表(一)
[#fo | ri ls |s llslel?zr|lsle |
1.0 | .0000 | .0043 | .0086 | .0128 | .0170 | .0212 | .0253 | .0294 | .0334 | .0374
1.1 | .0414 | .0453 | .0492 | .0531 | ・0569 | .0607 | .0645 | .0682 | .0719 | .0755
1.2 | .0792 | .0828 | .0864 | .0899 | .0934 | .0969 | .1004 | .1038 | .1072 | .1106
1.3 | .1139 | .1173 | .1206 | .1239 | .1271 | .1308 | .1335 | .1367 | .1399 | .1430
1.4 | .1461 | .1492 | .1523 | .1553 | .1584 | .1614 | .1644 | .1673 | .1703 | .1732
1.5 | .1761 | .1790 | .1818 | .1847 | .1875 | .1903 | .1931 | .1959 | .1987 | .2014
1.6 | .2041 | .2068 | .2095 | .2122 | .2148 | .2175 | .2201 | .2227 | .2253 | .2279
1.7 | .2304 | .2330 | .2355 | .2380 | .2405 | .2430 | .2455 | .2480 | .2504 | .2529
1.8 | .2553 | .2577 | .2601 | .2625 | .2648 | .2672 | .2695 | .2718 | .2742 | .2765
1.9 | .2788 | .2810 | .2833 | .2856 | .2878 | .2900 | .2923 | .2945 | .2967 | .2989
2.0 | .3010 | .3032 | .3054 | .3075 | .3096 | .3118 | .3139 | .3160 | .3181 | .3201
2.1 | -3222 | .3243 | .3263 | .3284 | .3304 | .3324 | .3345 | .3365 | .3385 | .3404
（続きは問題PDFで確認できます）
問2画像OCR
検出分野: 指数・対数、図形・三角関数、整数、微分・積分、確率・場合の数
平成31年度入学試験問題
数 学 (理系)
200 点満点
る配点は, 一般入試学生募集要項に記載のとおり. >
G ®)
1. 問題冊子および解答冊子は監督者の指示があるまで開かないこと.
2. 解答冊子は表紙のほかに, 解答用ページ, 計算用ページ, 余白ページをあわせ
て 16 ページある.
3. 問題は全部で 6 題ある(1 ページから 2 ページ). 解答に際して常用対数の値が
必要なときは, 常用対数表(3 ページから 4 ページ) を利用すること.
4. 試験開始後, 解答冊子の表紙所定欄に学部名・受験番号・氏名をはっきり記入
すること. 表紙には, これら以外のことを書いてはならない.
5. 解答は解答冊子の指定された解答用ページに書くこと. ただし, 続き方をはっ
きり示して見開きに隣接する計算用ページに解答の続きを書いてもよい. この
場合に限って, 計算用ページに書かれているものを解答の一部として採点す
る. また, 余白ページに書かれたものは採点の対象としない.
6. 解答のための下書き, 計算などは, 計算用ページまたは余白ページに書いて,
残しておいてもよい.
7. 解答に関係のないことを和書いた答案は無効にすることがある.
8. 解答冊子は, どのページも切り離してはならない.
9. 問題冊子は持ち帰ってもよいが, 解答冊子は持ち帰ってはならない.
でやM4(773一29)
wm
次の各問に答えよ。
MEL 0<O< ETS, cosd は有理数ではないが, cos 29 & cos 87がとも
に有理数となるような9の値を求めよ。ただし, ヵが素数のとき, (PBA
理数でないことは証明なしに用いてよい。
問 2 次の定積分の値を求めよ。
tox t de
0 OP er
@0 #0
Fx) = 08+ 227+ 2454. げ(ぁ) 1とげ(ヵ +1) |がともに素数となる整数
ぁヶをすべて求めよ。
鋭角三角形ABC を考え, その面積を$ とする。 0 <!く1をみたす実数:#に
対し, 線分ACを7:1ー7に内分する点をQ, 線分BQをた:1一#に内分する
点をPとする。実数7がこの範囲を動くときに点Pの描く曲線と, 線分BCに
よって囲まれる部分の面積を, $ を用いて表せ。
21 るM4(773一30)
(30 8
1つのさいころをヵ回続けて投げ, 出た目を順にXX。 ....え, とする。この
とき次の条件をみたす確率を ヵ を用いて表せ。ただし X= 0 としておく。
条件 : 1ミ=をミヵをみたすぁのうち, え』-」生4かつぶ』生5が成立するよう
ななぁの値はただ 1 つである。
G08
半径 1 の球面上の 5 点 A, Bi, Bo, Bs, B。 は, 正方形 BiBzB。B。 を底面とする四
角供をなしている。 この 5 点が球面上を動くとき, 四角雛ABiBzBB。 の体積の
最大値を求めよ。
[6] (35.4
# は虚数単位とする。(1寺の"二(1一"> 10"をみたす最小の正の整数ヵ
を求めよ。
常用対数表は次ページにある。
es en M4 (773—31)
常用対数表(一)
[glo [i ls ls lls lelz | se |
1.0 | .0000 | .0043 | .0086 | .0128 | .0170 | .0212 | .0253 | .0294 | .0334 | .0374
1.1 | .0414 | .0453 | .0492 | .0581 | .0569 | .0607 | .0645 | .0682 | .0719 | .0755
1.2 | .0792 | .0828 | .0864 | .0899 | .0934 | .0969 | .1004 | .1038 | .1072 | .1106
1.3 | .1139 | .1173 | .1206 | .1239 | .1271 | .1303 | .1335 | .1367 | .1399 | .1430
1.4 | .1461 | .1492 | .1523 | .1553 | .1584 | .1614 | .1644 | .1673 | .1703 | .1732
1.5 | .1761 | .1790 | .1818 | .1847 | .1875 | .1903 | .1931 | .1959 | .1987 | .2014
1.6 | .2041 | .2068 | .2095 | .2122 | .2148 | .2175 | .2201 | .2227 | .2253 | .2279
1.7 | .2304 | .2330 | .2355 | .2380 | .2405 | .2430 | .2455 | .2480 | .2504 | .2529
1.8 | .2558 | .2577 | .2601 | .2625 | .2648 | .2672 | .2695 | .2718 | .2742 | .2765
1.9 | .2788 | .2810 | .2833 | .2856 | .2878 | .2900 | .2923 | .2945 | .2967 | .2989
2.0 | .3010 | .3032 | .3054 | .3075 | .3096 | .3118 | .3139 | .3160 | .3181 | .3201
2.1 | .3222 | .3243 | .3263 | .3284 | .3304 | .8324 | .3345 | .3365 | .3385 | .3404
2.2 | .3424 | .3444 | .3464 | .3483 | .3502 | .3522 | .3541 | .3560 | .3579 | .3598
（続きは問題PDFで確認できます）
数 学 (理系)
200 点満点
る配点は, 一般入試学生募集要項に記載のとおり. >
G ®)
1. 問題冊子および解答冊子は監督者の指示があるまで開かないこと.
2. 解答冊子は表紙のほかに, 解答用ページ, 計算用ページ, 余白ページをあわせ
て 16 ページある.
3. 問題は全部で 6 題ある(1 ページから 2 ページ). 解答に際して常用対数の値が
必要なときは, 常用対数表(3 ページから 4 ページ) を利用すること.
4. 試験開始後, 解答冊子の表紙所定欄に学部名・受験番号・氏名をはっきり記入
すること. 表紙には, これら以外のことを書いてはならない.
5. 解答は解答冊子の指定された解答用ページに書くこと. ただし, 続き方をはっ
きり示して見開きに隣接する計算用ページに解答の続きを書いてもよい. この
場合に限って, 計算用ページに書かれているものを解答の一部として採点す
る. また, 余白ページに書かれたものは採点の対象としない.
6. 解答のための下書き, 計算などは, 計算用ページまたは余白ページに書いて,
残しておいてもよい.
7. 解答に関係のないことを和書いた答案は無効にすることがある.
8. 解答冊子は, どのページも切り離してはならない.
9. 問題冊子は持ち帰ってもよいが, 解答冊子は持ち帰ってはならない.
でやM4(773一29)
wm
次の各問に答えよ。
MEL 0<O< ETS, cosd は有理数ではないが, cos 29 & cos 87がとも
に有理数となるような9の値を求めよ。ただし, ヵが素数のとき, (PBA
理数でないことは証明なしに用いてよい。
問 2 次の定積分の値を求めよ。
tox t de
0 OP er
@0 #0
Fx) = 08+ 227+ 2454. げ(ぁ) 1とげ(ヵ +1) |がともに素数となる整数
ぁヶをすべて求めよ。
鋭角三角形ABC を考え, その面積を$ とする。 0 <!く1をみたす実数:#に
対し, 線分ACを7:1ー7に内分する点をQ, 線分BQをた:1一#に内分する
点をPとする。実数7がこの範囲を動くときに点Pの描く曲線と, 線分BCに
よって囲まれる部分の面積を, $ を用いて表せ。
21 るM4(773一30)
(30 8
1つのさいころをヵ回続けて投げ, 出た目を順にXX。 ....え, とする。この
とき次の条件をみたす確率を ヵ を用いて表せ。ただし X= 0 としておく。
条件 : 1ミ=をミヵをみたすぁのうち, え』-」生4かつぶ』生5が成立するよう
ななぁの値はただ 1 つである。
G08
半径 1 の球面上の 5 点 A, Bi, Bo, Bs, B。 は, 正方形 BiBzB。B。 を底面とする四
角供をなしている。 この 5 点が球面上を動くとき, 四角雛ABiBzBB。 の体積の
最大値を求めよ。
[6] (35.4
# は虚数単位とする。(1寺の"二(1一"> 10"をみたす最小の正の整数ヵ
を求めよ。
常用対数表は次ページにある。
es en M4 (773—31)
常用対数表(一)
[glo [i ls ls lls lelz | se |
1.0 | .0000 | .0043 | .0086 | .0128 | .0170 | .0212 | .0253 | .0294 | .0334 | .0374
1.1 | .0414 | .0453 | .0492 | .0581 | .0569 | .0607 | .0645 | .0682 | .0719 | .0755
1.2 | .0792 | .0828 | .0864 | .0899 | .0934 | .0969 | .1004 | .1038 | .1072 | .1106
1.3 | .1139 | .1173 | .1206 | .1239 | .1271 | .1303 | .1335 | .1367 | .1399 | .1430
1.4 | .1461 | .1492 | .1523 | .1553 | .1584 | .1614 | .1644 | .1673 | .1703 | .1732
1.5 | .1761 | .1790 | .1818 | .1847 | .1875 | .1903 | .1931 | .1959 | .1987 | .2014
1.6 | .2041 | .2068 | .2095 | .2122 | .2148 | .2175 | .2201 | .2227 | .2253 | .2279
1.7 | .2304 | .2330 | .2355 | .2380 | .2405 | .2430 | .2455 | .2480 | .2504 | .2529
1.8 | .2558 | .2577 | .2601 | .2625 | .2648 | .2672 | .2695 | .2718 | .2742 | .2765
1.9 | .2788 | .2810 | .2833 | .2856 | .2878 | .2900 | .2923 | .2945 | .2967 | .2989
2.0 | .3010 | .3032 | .3054 | .3075 | .3096 | .3118 | .3139 | .3160 | .3181 | .3201
2.1 | .3222 | .3243 | .3263 | .3284 | .3304 | .8324 | .3345 | .3365 | .3385 | .3404
2.2 | .3424 | .3444 | .3464 | .3483 | .3502 | .3522 | .3541 | .3560 | .3579 | .3598
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