神戸大学 2014年度 過去問・解答

神戸大学 2014年度（平成26年度）前期日程 数学の全問解説です。文科系（3題・75点）と理科系（5題・150点）が出題され、そのうち2題は共通です。重複をまとめると全6題18小問になります。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（ピタゴラス数を総当たり・正方形と点Oの位置を200通り・8枚のカードの全70通り・回転体をモンテカルロ法で体積計算・最小値を20万点で走査） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 前半の小問が後半の道具になる、という作りが徹底しています。【1】は (1) で作った漸化式から から を出し、それを (2)(3) の係数に使います。【2】は (1) の がなければ (2) の内接円の公式が使えません。前の小問の答えは、次で必ず使うと思って進めるのが正解です。
• 「場合が2通りに分かれる」ところが2か所あり、そこが最大の関門です。【2】(3) は が素数という条件から と の2通りが出て、答えも2通りになります。【4】(3) は の値で共有点の個数が4通りに変わります。「答えが1つとは限らない」と気づけるかが分かれ目です。
• 理科系の最後の1題は、図が描ければ半分は終わりです。【6】は三角形を90°回した通過領域を求める問題で、これが「三角形＋扇形」だと分かれば、体積は素直な積分になります。手を動かして図を描く時間を惜しまないことが、そのまま得点になります。

文科系（3題）

【1】数列と3次関数・面積（文1）

(1)

【型】 の漸化式は、解と係数の関係を使って を展開する。

【なぜこうするか】　 の具体的な値（）を代入しても証明はできますが、根号だらけになります。使うのは「和が1、積が 」の2つだけです。 を展開すると と が出てくるので、そこから式が組み立ちます。

(2) 3次関数の極値

【型】まず係数を数に直す。文字のまま微分しない。

【なぜこうするか】　 から は (1) の漸化式で全部計算できます。数に直してから微分するほうが、計算も検算もはるかに楽です。ここで (1) が効いてきます。

(3) 放物線と 軸で囲まれた面積

【型】放物線と 軸で囲む面積は6分の1公式。

【なぜこうするか】　 と因数分解できるので、 軸との交点は 。この形なら がそのまま使えます。展開して積分するより速く、計算ミスも減ります。

【2】ピタゴラス数と内接円（文2 = 理2）

(1)

【型】素直に展開する。この (1) は「直角三角形である」ことを言うための準備。

【なぜこうするか】　計算自体は展開するだけです。大事なのはこの結果が何を意味するかで、三平方の定理の逆から「 を斜辺とする直角三角形」だと分かります。(2) 以降はすべてこの事実の上に乗ります。

三平方の定理の逆より、この三角形は を斜辺とする直角三角形である。

(2) 内接円の半径

【型】内接円の半径は「面積 ＝ （周の長さ）」から出す。

【なぜこうするか】　内接円の中心と3頂点を結ぶと、三角形が3つに分かれます。それぞれの高さが なので、面積は です。一方 (1) より直角三角形なので、面積は とも書けます。面積を2通りに書いて等号で結ぶのが定番です。

別の見方　直角三角形では が成り立ちます（接線の長さを考えると出ます）。これを使うと と、さらに短く求まります。

(3) が素数のときの

【型】「積が素数」なら、かけ算の分け方は2通りしかない。

【なぜこうするか】　(2) より です。 も も正の整数なので、これが素数 になるのは の2通りだけです。どちらの場合も答えが必要で、 は2通りの式になります。「答えは1つ」と決めつけないことがこの問題の要です。

検証　 の範囲で が素数になる組を総当たりし（20組）、いずれの も上の2つの式のどちらかに一致することを確認しました。

(4) が6で割り切れること

【型】連続する3整数の積は必ず6の倍数。その形を作る。

【なぜこうするか】　連続3整数の中には必ず2の倍数と3の倍数があるので、積は6で割り切れます。[i] の はまさにその形です。問題は [ii] の で、これをどう連続3整数に持ち込むか。 と分けると、2つの連続3整数の和になります。

もう一つの見方　 です（2乗の和の公式）。右辺は6の倍数なので、これでも示せます。

【3】空間の正方形とベクトル（文3 = 理3）

(1) を表す

【型】平行四辺形なら「2本の対角線の中点が一致する」。

【なぜこうするか】　正方形 ABCD は平行四辺形でもあるので、対角線 AC と BD の中点が同じです。これを位置ベクトルで書けば、 が残りの3本で表せます。「頂点を順に A, B, C, D」という書き方から、AC と BD が対角線だと読み取るのがポイントです。

(2) 和が平面 と垂直

【型】平面と垂直＝平面上の交わる2方向のどちらとも内積が0。

【なぜこうするか】　平面と垂直であることを示すには、平面上の平行でない2つのベクトル（ここでは と ）との内積がどちらも0だと言えば十分です。
まず (1) を代入すると、和は というきれいな形になります。 と が打ち消し合うのがこの問題の仕掛けです。

図で見ると　（M は正方形の中心）なので、示したベクトルは です。 のとき、O から平面 に下ろした垂線の足 H は A, B, C から等距離、つまり三角形 ABC の外心です。正方形では なので外接円の中心は AC の中点、すなわち正方形の中心 M。したがって となり、同じ結論が図形的にも見えます。

検証　平面と正方形の向きをランダムに200通り取り、O を「正方形の中心の真上」に置いて、 と、4本の和が平面の2方向と直交すること（さらに に等しいこと）を確認しました。

理科系（さらに3題）

【4】指数関数の増減と共有点（理1）

(1) の値

【型】接線の傾き＝その点での微分係数。

【なぜこうするか】　条件は「 での接線の傾きが 」なので、 を解くだけです。積の微分を落ち着いて使います。

(2) 極値

【型】 を因数分解する。 の項と多項式の項に共通因数を探す。

【なぜこうするか】　 を入れると となります。後ろの は なので、 でくくれます。指数関数が混じった導関数は、たいてい因数分解できるように作られています。

(3) 共有点の個数

【型】 を分離して の形にし、「グラフと水平線の交点」に読み替える。

【なぜこうするか】　共有点の方程式は 、つまり です。左辺はちょうど (2) で調べた 。動く文字 を右辺に集めれば、「固定されたグラフ」と「上下する水平線」の交点の話になり、(2) の増減表がそのまま使えます。

検証　区間を40万分割して の符号変化を数え、上の表と一致することを確認しました（区間の端が解になる のときは、端点も1個として数えます）。

【5】カードの和と確率（理4）

(1) が奇数のとき

【型】 は取り出し方によらず一定。まずそれを押さえる。

【なぜこうするか】　 と を別々に調べるのは大変ですが、 は必ず で一定です。もし なら はその半分。半分が整数にならなければ矛盾、という筋道になります。

(2) が偶数のとき は偶数

【型】差は「和」から作る。。

【なぜこうするか】　 を直接調べるより、すでに分かっている を使うほうが早いです。 と書けば、 は必ず偶数なので、あとは の偶奇だけで決まります。

(3) のとき となる確率

【型】和が決まった値になる組を、大きい数から順に樹形図で数え上げる。

【なぜこうするか】　 なら1から8のカードから4枚。合計は36なので、 です。あとは「4枚選んで和が18」の組を数えるだけですが、行き当たりばったりに書くと必ず重複か漏れが出ます。「8を含むか含まないか」で場合分けし、各場合で小さい順に並べると確実です。

検証　70通りをすべて列挙して和が18になるものを数え、8通りであることを確認しました。

【6】三角形の回転と回転体の体積（理5）

(1) の図示

【型】回転の通過領域は「原点からの距離ごと」に考える。距離が同じ点は同じ円周上を動く。

【なぜこうするか】　回転しても原点からの距離は変わりません。だから通過領域は、「もとの図形の各点を、原点中心の円弧に沿って ぶん引き伸ばしたもの」です。三角形の最も遠い点は B（距離 ）なので、その分だけ外側に扇形が伸びます。結果として は「もとの三角形」と「B を回してできる扇形」を合わせた形になります。

(2) 回転体の体積

【型】外側の立体から、内側の空洞ぶんを引く。空洞が円すいなら公式で引ける。

【なぜこうするか】　 の外側の境界は、 の全体にわたって円弧 です。だから外側だけ見れば、半径 の球を と で切った立体になります。
一方 の側では、 は線分 より上にしかありません。この線分を回すと円すいができ、その内側は空洞です。したがって「球の一部から円すいを引く」で求まります。

検証　 について、400万点のモンテカルロ法で回転体の体積を数値的に求め、上の式の値（順に ）と小数第2位まで一致することを確認しました。

(3) のときの の最小値

【型】条件式で1文字にしてから微分。定義域（）を必ず書く。

【なぜこうするか】　 を代入すれば だけの3次関数になります。 がともに正という条件から が出るので、その範囲で増減を調べます。

検証　 を20万分割して を計算し、最小値 が で得られることを確認しました。、 と一致します（区間の端の値は ）。

この年度で身につく「型」の一覧

検証について

この記事の数値は、次の3段階で確かめています。

1. 当塾で独立に解く（解答を見ずに、まず自分で最後まで解く）
2. Python による独立検算　【1】は まで計算して漸化式を確認。【2】は を総当たりし、 が素数になる20組すべてで の式と6の倍数であることを確認。【3】は平面と正方形の向きを200通り。【4】は区間を40万分割して交点の個数を数える。【5】は70通りを全列挙。【6】は400万点のモンテカルロ法で体積を求め、さらに最小値を20万点で走査。
3. 別解での全問確認（18小問すべて一致）

なお【2】(3) は答えが2通りになります。当塾でも最初は の場合だけを書きかけましたが、 が素数という条件からは と の両方が出ます。総当たりの検算は、この見落としがないかを確かめるために行いました。