上智大学 2014年度 過去問・解答

上智大学2014年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[1] 内接円と、角の二等分線が作る図形

三角形ABCの内接円の中心を O、半径を 1 とします。円と辺 AB, AC の接点をそれぞれ F, G、辺 BC の接点を H とし、∠BAC = 30°（後述）の条件で各長さと面積を求めます。

前提：O は BE 上にある

OB と BE はともに ∠ABC の二等分線です。内心は3つの内角の二等分線の交点なので、O は BE 上に位置します。

(1) BF、BH、AE、BD

円外の1点から円に引いた2本の接線の長さは等しい（接線の長さの性質）ので BF = BH。

OH = 1（半径）で、BE が ∠ABC を二等分することから、直角三角形 OBH において

BF = BH = √3

（∠OBH = 30° のとき BH = OH/tan30° = 1 × √3 = √3）

したがって AE = BD = 1 + √3。

(2) AF、AG

AB = 2(1 + √3) = 2 + 2√3 なので、接線の性質より

AF = AG = AB − BF = (2 + 2√3) − √3 = 2 + √3

(3) AO の長さ

OF は接点への半径なので OF ⊥ AF。三角形 AFO は ∠AFO = 90° の直角三角形です。

AO = √(AF² + OF²) = √{(2 + √3)² + 1²}

(2 + √3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3 なので

AO = √(8 + 4√3) = √(8 + 2√12)

二重根号をはずします。和が8、積が12 になる2数は 2 と 6 なので

二重根号 √(a + 2√b) は、和が a、積が b になる2数 p, q を見つけて √p + √q と書けます。ここでは p + q = 8、pq = 12 から p = 6、q = 2 ✓
検算：√2 + √6 ≒ 1.414 + 2.449 = 3.864。√(8 + 4√3) = √(8 + 6.928) = √14.928 ≒ 3.864 ✓

(4) FG の長さ

四角形 AFOG で ∠AFO = ∠AGO = 90° なので、内角の和より

∠FOG = 360° − 90° − 90° − ∠FAG = 180° − ∠FAG = 180° − 30° = 150°

三角形 OFG は OF = OG = 1 の二等辺三角形。余弦定理より

FG² = 1² + 1² − 2·1·1·cos150° = 2 + √3

FG = √(2 + √3) = √{(4 + 2√3)/2}

和が4、積が3 になる2数は 3 と 1 なので √(4 + 2√3) = √3 + 1。したがって

検算：(√2 + √6)/2 ≒ 1.932。直接 √(2 + 1.732) = √3.732 ≒ 1.932 ✓

(5) 斜線部（頂点A・接点F, G と弧で囲まれた部分）の面積

「三角形AFO + 三角形AGO − 扇形OFG」で求めます。

三角形AFO：直角をはさむ2辺が AF = 2+√3 と OF = 1 なので、面積 = (1/2)(2+√3)(1)。三角形AGO も合同なので、2つ合わせて

2 × (1/2)(2 + √3) × 1 = 2 + √3

扇形OFG：半径1、中心角150° なので

π × 1² × (150/360) = 5π/12

検算：2 + 1.732 − 5(3.1416)/12 = 3.732 − 1.309 = 2.423。数値計算でも 2.42305 と一致 ✓

この年の学習ポイント

内接円がらみの問題で使う道具は、次の3つに集約されます。

(あ) 接線の長さは等しい（円外の1点から引いた2本）
(い) 接点への半径は接線に垂直
(う) 内心は内角の二等分線の交点

この問題では (あ) で AF = AG、BF = BH が決まり、(い) で直角三角形が作れて三平方の定理が使え、四角形 AFOG の内角から ∠FOG = 180° − ∠FAG が導けました。

そして「曲線で囲まれた部分は、直線図形 − 扇形（または + 扇形）」という引き算の発想。扇形の中心角は (い) から自動的に決まるので、図形の形さえ把握できれば計算は単純です。

二重根号の処理（√(a + 2√b) = √p + √q、p + q = a、pq = b）も2回登場しました。2√ の形に整えてから和と積を探すのが手順です。

上智大学2014年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。