上智大学 2010年度 過去問・解答

(1) * = 1 のとき, この放物線と円がちょうど2点P, Qだけを共有
[=]
するならばょ= == CHY, POcMReELtTSe,
P の座標は —— CHS.
回
以下ではヵ= == とする。
(2) 点P における共通の接線の方程式は
(FS
である。
(3) AO FROM PQ と放物線により囲まれる図形の面積は
cei.
回
である。
ー 4 一 AK-H-02

[3] ial< ごとに確率 + で当たりが出るく じがあり, 当たりくじ2枚

EHS 512 円と引き換えることができる。

(1) くじを2 回引いたと someosittis | へ | 円である。

Q) くじを3回引いたときの賞金の期待値は| ヒ | 円である。

(3) くじを4回引いたときの賞金の期待値は| フ |円である。

(4) くじを5 回引いたときの賞金の期待値は| へ |円である。

6) < CeORBWEE BORIS | ホ | 円である。

(6) サイコロを1回振って出た目の数だけくじを引くとすると,

人金の期待値は| ~ | 円である。
ー5 一 AK-H-02

(1) 箱の中に0て9 のいずれかの数字が書かれたさまざまな名と大
きさの何個かの球が入っている。次の 13)(ii) のそれぞれの場
合について, 命題 (P), (Q) から得られる結論が選択肢の中にあ
れば, その記号を答えよ。また, 選択肢の中に得られる結論が
ない場合は, 2 を選べ。

(i) (P) 直径 5cm 以上の赤い球が存在する。
(Q) 直径 5cm 以上の球にはすべて, 6 以上の数字が書か
れている。
(ii) (P) 赤い球はすべて, 直径 5cm 以上である。
(Q) 直径 5cm 以上で6 以上の数字が書かれている球が
存在する。
(iii) (P) 赤い球はすべて, 直径 5cm 未満である。
(Q) 6 以上の数字が書かれている球はすべて, 直径 5cm
以上である。
選択肢
(a) 赤い球にはすべて, 6 以上の数字が書かれている。
(b) 赤い球にはすべて, 6 未満の数字が書かれている。
(c) 6 以上の数字が書かれている球はすべて, 直径 5cm 未満
である。
(d) 6 以上の数字が書かれている球はすべて赤い。
(ce) 6 以上の数字が書かれている赤い球が存在する。
(f) 6 以上の数字が書かれている直径 5cm 未満の球が存在
する。
ー4 一 AK-H-01

(2) z 2 0 のとき,
f(x) = loge (4(4" + 4-*) — 20(2% + 2°*) +97)

hoe で最小値 | イ | をとる。

(3) 0 <* <のとき,。
sinz + sin 2x + sin 3x + sind = 0
を満たす の値は = 1 である。
[=]
— 8 = AK-H-OL

[2] FHL 3.8 P(x,y), A(2,0), B(0.1) が, 2AP = BP を満たして
いる。
回 ar
Q) AP, py | ==, == |, xe SS [>] ona
Vy) [F)
上にある。以下ではこの円を と表す。
(2) 京Pが円の周上を動くとき, AABP の面積は
LY] Lz]
ちの= |=, 、 または |言
回
ジグ と
のとき最大値 SH をとる。 ただし, ==> である。
回
(3) CIS, & (4 ト ) (ただし| ト | <0) において, 放物線
an el [=]
と接する。
ー 6 一 AK-H-O1

(1) 1から8 の数字が書かれた8枚のカードがある。
(i) 同時に 2 枚のカードを選んだとき, カードに書かれている
大きい方の数の期待値は である。
(ii) 同時に3枚のカードを選んだとき, カードに書かれている
最大の数の期待値は ーー である。
%
(2) 6人がそれぞれ吾,赤,黄の 3 枚のカードを持っている。 各人が手
持ちの3 枚のカードの中から同時に 1 枚を選び, 同じ色のカー
ドを選んだ人を同じ組とすることにより, 組分けをする。
() 3人の組が2租できる確率は ニーー,g= | フ |, CHS,
(i) nicfiirbatdate—, b= |], CHS.
(ii) 2 人の細が1組だけできる確素は ニー, c= 。
である。
ただし (Dev(ili) において, [e], ~~, は3で割り切
れない正の整数であり, | フネ|, 人は0以上の整数
である。
ー7ー AK-H-01

(1) a= log。 3, b= logy 4, c= 6 とすると
である。
(2) 1S A<B<C BGT BMA, B, CISL T, 関数
f(a) =|Az — 1|+|Ba—1] + Oz一
を考える。cは0ミミ1の範囲を動くものとする。
(i) C<4+ おのとき, f(a) は= ーー で最小値をとる。
(ii) f(x) の最小値が1のとぎ
c= [7 ]4+ 回
が成り立つ。
(ii) f(c) の最小値が1, 最大値が5のとき, A= [7];
B= である。
(iv) fc) の最大値が3のとき, C= である。
ー3一 AK-H-04

ある高校の生徒を対象にして, ARE, BAY, 大学への入試出原状

況を調べた。結果は次のようになった。

・4 大学または大学に出願した生徒は 43 人。

< 4大学またはC大学に出願した生徒は47人。

s B大学またはC大学に出願した生徒は 44 人。

s AA大学とB大学に出願した生徒は 8 人。

ゃA大学と大学に出願した生徒は 12 人。

*B大学とC大学に出願した生徒は 10 Ac

(1) 4大学に出願した生徒の人数と B 大学に出願した生徒の人数の
和は| カ |でぁる。

(2) A大学に出願した生徒は | キ | 人である。 C大学に出願した生徒
は| ク | 人でぁる。

(3) A 大学だけに出願した生徒の人数を o, B 大学だけに出願した
生徒の人数を C大学だけに出願した生徒の人数を 0, A 大学,
B 大学, C大学すべてに出願した生徒の人数を4とする。この
とき
である。

(4) AKY, B 大学、C大学のうち 1 校だけに出願した生徒の人数は
43 であった。A 大学, BAY, C 大学すべてに出願した生徒の
人数は である。 A 大学,B大学,C大学のうち少なくとも
1 校に出願した生徒の人数は である。

— f= AK-H-04

定数は。 > 1 とする。 座標平面上に3 点P(1.0), Q(0,g), R(—1,0)
を考える。さらに, AT(0,t) (0 < <a) を考え, 直線PQ, QR。 RP
それぞれに関して と対称な点を順に A,B,C とする。

(1) KA の座標を (z,9) とすると
パパ
(|チ|g* ツ Jet [Fe
ッーニーーー ーーーーーニーーー
である。
(2) 三角形 ABC の面積は
je
EE |ネ|e+ [7 ]e+2)
Cd回|
である。
(3) 三角形 ABC の面積が三角形 PQR の面積に等しいとき
t= ーーーーーー
回5
が成立する。
= AK-H-04

(1) ato! % stat 1 で割った余りは
EE
である。
(2) 整式z9 + 22? — 2! % Bs —1 で割った余りは
回EE
である。
(3) Mitac! + 20! — 2! を Mer +041 で割った余りは
[¥]=+
である。
(4) 2を定数とする。整式z% + ax! + bro +275 + 43 上1が
整式z2+ァ1 で割り切れるとき
である。
(5) 整式z9 1を整式z3+z2エァ+1 で割った余りは
EE
である。
ー4 一 AK-H-06

座標平面において, HHARC : y = (x — 2)? 上の点P(。(も一2)5) におけ

る接線をとする。

(1) ?の方程式は
y= (な >])s+ (は | (+ i?)
である。

2 t# DEE, CL CURES 2つの共有点を持ち, PER
なる共有点の座標は [J+ である。

(3) tが0 <t < 2を動くとき, ott, 9 軸および直線 で囲まれる
部分の面積は, 7 = El DL ERK をとる。

i > AK-H-06

袋に玉が1 個人っている。サイコロを投げ
< 出た目が1 または 2 ならば, 袋から玉を1 個取り出す。
* 出た目が 3 または4 ならば, 袋に玉を 1 個人れる。
* 出た目が5または6 ならば, 袋の玉はそのままにする。
袋の中に玉がある限りこの操作を続行し, 袋の中に玉がなくなったと
き操作を終了する。
(1) 3 回以下の操作で, 操作を終了する確率は == CHS.
(2) 3 回の操作で, 袋の中の玉が 3 個になる確率は ——- である。
(3) n 回の操作で袋の中の玉が n 個になる確率は
(HEI9
である。
(4) ヵ = 2 とする。ヶ? 回の操作で袋の中の玉が (ヵ - 1) 個になるの
は, 次の 2 通りの場合である。
(i) (n-1) 回「玉を入れ」, 1 回「玉を取り出す」場合。
この場合の確率は
(回回EI@
である。
(ii) (n-2) 回「玉を入れ」, 2 回 「そのままにする」場合。
この場合の確率は
MEIEGEDIG
ー6一 AK-H-06

(5) ヵ > 3 EFS, n 回の操作で袋の中の玉が (n — 2) 個になる
確率は
1)"
8 § SS? ¢ Sent (3)
である。
ー7ー AK-H-06

(1) ZAOB= 9 とするとき, cos = = [7] <8
eal
Q) 三角形OAB の面積は == である。
(3) Oから直線 AB に垂線 OH を引いたとき, AH OMENS
(EiHEHEII)
である。
(4) CHLAB, OHLOH かつ, 四面体 OABO の体積を 6 とする。
点Cのz座標が正ならば, Cの座標は
(E}- 2) 2)
である。
ー4一 AK-H-05

1から9 の数字が書かれたカードが1 枚ずつ入った袋と下図のような
1から9 の数字の書かれたマスがある。 袋からカードを1枚取り出し,
その数字と同じマス目を塗りつぶぶすという操作を行う。取り出した
カードは袋に戻さず操作を行い, ME, 横, ななめのいずれか 3 マスが
塗りつぶされたときに操作を終了するものとする。
例えば, カードを 1.5.4 の順に取り出したとき,
操作は終了せず, 次に 6,7.9 のいずれかのカード
を取り出すと操作は 4 回で終了する。カードを
取り出す確率はどのカードも等しいものとする。 Iz7[s ||

(1) 3 回の操作で終了する確率は —— である。
(2) 4回の操作で終了する確率は ——- である。
(3) 7回の操作で終了する確率は —— CHS.
(4) 5回以下の操作で終了する確率は であり, よって, 5 回の
操作で終了する確率は = THE.
ー5一 AK-H-05

(1)
AQ)= ==
である。
(2) A(m) A(2) = O (ただし, のは2 次零行列) となるための条件は
m= == である。このとき, B= 4(2) +2A(m) EBS, 任
意の自然数々に対して BONRE
ュー {On bn
とおく。
・
a, ーーーオーー ※
である。
oo Boe AK-H-07

xyz 空間において, 原点O を中心とする半径 2V3 の球面 O を考える。
(1) 球面0 と平面 = V6 が交わってできる円を 5お, としたとき, 円
5, の半径は A] CHS.
(2) AS において z 座標が V3 である 2 つの点を
A(v3,a v6), B (v3, 6, V6) ただし,e>めの
とする。 a= [| である。
Mg
(3) AS I において, 2 つの弧 AB のうち短い方の長さは ーーーーァ
である。
(4) 線分AB の中点をC, AS の中心をP ETS.

cos ZCOP = ーーーーー
である。
(5) 248A, Bと原点 O を通る平面が球面 O と交わってできる円を
S。 とする。円 92 において, 2 DOM AB のうち短い方の長さは
eal
— [>] = cas.
—~ 4 一 AK-H-07

jog z ILARWM EL, は自然対数の底とする。
(1) 9=z2ー2z と9三logz十cによって定まる cy 平面上の 2 つの
曲線が接するための条件は
- T+ (I-27)
CHS, COLE, 接点での接線の方程式は次で与えられる。
ye
>(回-回に回内

(2) -<#!<1とし

S(t) = -* tal d
(t) [ ire gl a
ERS. S(t) は# = 4のとき最小値 7 をとるとする。
に]
w=-4([E]+/5])+ E+
である。
aR we AK-H-O7

る5を正の実数とする。実数全体の集合の部分集合 4, BE
4ニ=f{zl22ー12zヶ一2 <0}
B={c|-b<2<b}
で定める。 :
(1) <=7,5= 1のとき
-2|ぁ|4 引ぃ|4 4|ぅ|
である。
ye () ¢ ©) > ヲ Oc f(D @1820=
(2) a=7DEX, bE 4 かつ 4 カ となる最小の正の整数は
である。
(3) 正の実数eに対して, AD BEMBL IMMORAL f (a) CH
すことにする。/() はgの関数としてgニec ただしc= 回8
で不連続であり, このcに対して
f=
im, f=
である。
ー 6一 AK-H-07