上智大学 2011年度 過去問・解答

(1) CEC, が異なる 2 点で交わるための条件は,
ーg? + [> ]o+ >0
であり, したがって
<a<
である。このとき
6=ャリーの寺 [*]e+
とおくと, (6のは中心が (PF) [7]) で, 半径が
の円周上にある。
Q <ac< DEE, CLC, との交点のヶ座標をog
(@ <の とすると、
e二の = [7 ]e+[*]
208 = 回: [> sr
のこっっ 回
である。
(3) のと O。 により囲まれた図形の面積は のときに
最大値 [>] をとる。
= AK-H-02

ボタンを押すと, 0 と 1のどちらか一方の数字を表示する機械があ
る。ボタンを連続して押すとき, 直前に表示された数字と同じ数字
が再び表示される確率は > 違う数字の表示される確率は ; である。
ただし, 始めにボタンを押すときには, 0 と 1 が表示される確率は等
LY,

(1) 4 回連続してボタンを押すとき, 4 回とも同じ数字が表示され
る確率は —— である。また, 4回目に表示された数字が 1 で
ある確率は 一一二 である。

(2) 4 回連続してボタンを押すときに表示される数字の合計が1で
ある確率は 一一ご である。 また, 合計が2である確率は ——

A
である。

(3) 始めに表示された数字が 1 のとき, さらに4回連続してボタン
を押して表示される4つの数字の合計が2である確率は 一一二
である。

ー6 一 AK-H-02

ーー - ー
- ー ee) 」 7
- ー ee
7 > 7 7 _

re

ー ー 7 7 ‘

ーー 上 _ a
時 ー ー ーー ーー
- 証明 _-
os
ee :
。。 ーー ー

(1) (Gil) のそれぞれの場合について, 3 つの実数 4, B,COK
小関係を, 下の選択肢から選べ。
(i) A=sinl®, B=tanl®, ビニ1一cos2?
(ii) A= ios B= Ca, C= Cat
Gi) A=, B=yV10, C= ae
vane, @) 4>B>C (b) A>C>B (0 B>A>C
“ (d) B>C>A (ec) C>A>B (ff) C>B>A
(2) tana =-Vv7 (0° <a< 180°) のとき
V
cos w デーーーデーーーー
である。
@ we Buea fp
(3) «, DIRE Rai’, の東部分は6 桁であり, 二は小導第3位
にはじめて 0 でない数字が現われる 1 より小さい数である。
このとき, alt 格または Hi, IE 桁であ
る。ただし < である。
ーま一 AK-H-01

実数をに対し,円び:巡良二(もー1ァ一刀一1ニ0を考える。
(1) 円どの半径が最も小さくなるのはょ= == のときであり,
lye)
その半径は 一-テーーー である。
(2) RC OP LOPE
[»]e+ ルー
である。
(3) 任意の実数をに対し, 円は必ず
を通る。ただし SS < である。
ょ=3のとき, この 2 点における円の接線の交点は
[=]
.
である。
ー5一 AK-H-01

以下の問で, 各人はじゃんけんでグー, チョキ, パーをそれぞれ

3の確雪で出すものとする。

(1) 3人でじゃんけんを1回するとき, 1人が勝ち 2 人が負ける確率
は 一 あいこになる確率は 一一 である。

(2) 3人でじゃんけんをする。負けた人がいれば, じゃんけんから
抜け, 1 人の勝者が決まるか, じゃんけんの回毅が 3 回になる
まで繰り返す。 じゃんけんの回数が2回以内で1 人の勝者が決
まる確率は 一一 ちょうど3回で1人の勝者が決まる確率は
= Hs,

(3) 4人でじゃんけんを1回するとき, LADS 3 AMA SHER
は S—_, 2 人が勝ち 2 人が負ける確率は ==, VII
る確率は = である。

ーー §— AK-H-01

(1) X 大学には5 つの学部があり, 全ての学部で入学試験を行って
いる。 次の7 つの命題 (A)こ(G) の中で, お互いに否定命題と
なっている全ての組を以下の選択肢から選べ。 もし, 否定命題
となっている組で選択肢にないものが存在するときは, z もマー
クせよ。
(A) X大学のある学部の入学試験科目には, HERDS,
(B) X大学の学部の中で, 入学試験科目に数学があるのはただ
一つである。
(C) X 大学の全ての学部の入学試験科目には, 数学がある。
(D) X 大学には, 入学試験科目に数学がない学部がある。
(E) X大学の全ての学部の入学試験科目には, 数学がない。
(F) 大学の学部の中で, 入学試験科目に数学がないのはただ
ーーつである。
(G) X 大学には、 入学試験科目に数学がある学部とない学部の
両方がある。
選択肢 :
1 (AEC) 2. (AEM) 3 (AEB
4 (L(G) 5 (B)と(F) 6 8)と(G)
7 (〇と(D) 8. OLB 9.(9と(9
10. DEG) H. MEG) 12. (E)と(5)
(2) /(0) = 1 9(0) = 2 を満たす 2 つの整式 f(a), g(a) に対して

p(z) = f(z) + g(Z), a(x) = 7(z)9(c) とおく。 ge” = 3,
の ニ 4z をであるとき,ルー または であ
る。ただし < である。
(3) 方程式 4*け3.2*ー1ニ0 の解はゃー である。
ns 第 一: AK-H-03,

座標平面において, 円 4
A: (t-4? + (y+)? =9
および放物線 B
B: ャーー 1

を考える。

(1) m を実数とすると, BRL: ゅ=7z二カー1は罰の値によら
Ye ( | = 回0 を通る。

(2) ? と円 4 との共有点の個数を ヵ。, 6 と放物線 との共有点の個
数を。 とする。na十mm 2 となるのは, m< または
= ane ES <mOLE CHS,

(3) m= DEXCL BLOKE—OO#AAIL
『( レビ|)で= のとき/ととのた
Pos e( | [7]) である。

(4) 2 点P,Q を通る直線の方程式はリー So + Ch,
直線PQ と放物線 ぢとで囲まれた図形の面積は である。

ー5一 AK-H-03

袋の中に赤玉3 個, AE, 青玉 1 個が入っている。

(1) 袋から玉を1個取り出して, 色を調べてからもとに戻すことを
2 回繰り 返す。その結果, 赤玉が 。 回, 白が 0 回。 青玉がc回
出たとする。このとき, この結果を (cc) と書く。

() この結果として得られる (6,59) は 通りある。
(ii) (a,b,c) = (2,0,0) となる確率は ek
(a,b,c) = (1,0,1) となる確率は = である。
(iii) (a,b,c) という結果に対し, 得点g十 25十3c を与えること
にすると, 得点の期待値は 一一一 であぁる。
(2) 袋から玉を2 個取り出したとき, 赤玉が。 個, GED BE, 青玉
がっ個出たとする。このとき, この結果を (a,8,7) と書く。
(i) この結果として得られる (a,8,7) は 通りある。
(ii) (a, B,y) = (2,0,0) となる確率は ik
(a, 8,7) = (1,0, 1) となる確率は —— である。
(iii) (e,あ?) という結果に対し, BR at 29十3y を与えるこ
とにすると, 得点の期待値は である。
ー6 一 AK-H-03

ー ーー a ne a
- _ - ーー ーー _ ー 7 = = i
7 re | ==
. : a — ー a ee
7 an a a ーー ne
- = ne 7
ie “| = “a=: 7
ee _ 生還
本 0
」 _- a ーー ーー 7 7 an : ;
ee ee 氷 a
7 re oan
OO _ ーー =) ーー ー
a _ i oe OO
ee i 還」 7 = IE
ーー 昌司 ー ー 本im ーー = a = _
— _ _ = _ ーー 目 _ ーー =
a ee 7 a
a _- re... -
7 ee aS 7 =
ee ee EE a
: a: ーー as = _ = _ a = _ ーー
- 本 a. ) .
rr en es ns oe
ae ーー , o 」 ie 7
: oa 7 _ = ; '_ =.
; SO a _
= ioe OO
= a
rr 灯
_ ‘uae, a eee on = HG 本
re
: ーー = ーー 7 = ss @ ーー _ ーー _

(1) P における放物線の接線と直線 AP とが直交するとき,
線分 AP の長さは 用| である。
>
(2) Q を固定し,Pのみが動くとする。 AOPQ の面積は = で
で最小値をとる。その最小値を。で表すと
1 回
である。
(3) P,Qがともに動くとする。 AOPQの面積は a = 一一
で最小値
= aie
をとる。
ーォ4一 AK-H-04

正ヵ角形の頂点から同時に 3 点を選び, それらを頂点とする三角形を
作る。ただし, どの3 点が選ばれるかは同様に確からしいとする。
(1) ヵー6のとき, 三角形が直角三角形となる確率は である。
Q) = 8のとき, 三角形が印角三角形となる確率は 一一二 である。
(3) が信数のとき, 三角形が直角三角形となる確率は
t+
であり, 三角形が印角三角形となる確率は
nt
CHS.
(4) なが6の倍数のとき, 三角形が正三角形以外の二等辺三角形とな
る確率は
(+)
GEIIGEI
CHE. KEL, 回 = とする。
ー 5一 AK-H-04

(1) P(1) = 2 を満たす Plo) は全部で 個存在する。
(2) 条件 :
EP(n) = 5 を満たす自然数 n が存在する』
を満たす P(x) は全部で 個存在する。
このような P(x) のうち, PB) = 17 を満たすものは
である。
(3) 条件 :
『P(ヵ) = 3 を満たす自然数 n が存在し, かつ,
任意の自然数 に対して P(m) が奇数である』
を満たす P(<) のうち, a が最大のものは
CH), a が最小のものは
である。
=3— AK-H-06

Enでpd-s mil), ag _ 1
2| AABO において BC =4, tan aay (enテー= とする。
(1) AABC の内接円の半径は == である。
(2) sin B = =—., sinC = = である。
(3) AB = == である。
(4) AABC の面積は —— CHS.
ー4 一 AK-H-06

zyz 空間内の正四面体 ABCD を考える。頂点 AB,C.D はすべて
原点0を中心とする半径 1 の球面 @上にある。A の座標は (0,0, 1)
であり, B の座標は正座標は0である。また,Cの?ヵ座標はDの
?座標より大きい。

(1) B,C,D のz座標は である。

(2) C の座標は 一一 である。

(3) O を端点とし AABC の重心を通る半直線が 9 と交わる点を

re
PESS, 線分 AP の長さは —— ESE ベクトル AE と
ベクトル BE の内積は である。
以後, 四面体PABCを Vp CHT.

(4) AAPB の面積は である。

(5) (3) でへABCに対して点P および四面体 Vt を定めたときと同欄
に, AACD, AABD, ABCD に対してそれぞれ点 Q, R,T および
四面体 , Va, Vr を定める。四面体 ABCD と Vp, Vo, Va, Vr
をあわせた立体を とすると, の表面積は CHD,

eal
の体積は 一 である。
=i AK-H-06

(1) P(x, y) の各座標を g、5で表すと、
= at 5 9 ab
である。
(2) /とが直交するように A.Bがの上を動くとき, P(z,?) は常に
を満たす。
(3) ZAPB = 135° であるように A、Bが上を動くとき, P(z,9) は
常に >
[v ]a+ y+] +1=0
を満たし,ょ=0のときP(0,9) Dy RS
mel
である。
ー4 一 AK-H-05

47 を2以上の整数とし, 0から 7 - 1 までの各整数を書いたカード
が1 枚ずつ合計 MK, 箱の中に入っているものとする。この箱の中
から1枚のカードを取り出し, カードに書かれている数を調べて箱に
戻す試行を考える。
この試行をヵ 回行ったとき, 箱から取り出したヵ枚のカードに書かれ
ている数の和が偶数である確率を P, で表す。

(1) 7 = 2のとき, P, = = である。
(2) =3のとき,
ニニーー生還あーニーーコ
CHS. Ke,
,
2,= = | => | +=
である。
(3) 7 が偶数のとき,
|
A=
である。また /7 が奇数のとき,

(el
M
である。
ー5一 AK-H-05

(1) WHAOSMIC 1 > 6 の目が1 つずつ書かれたサイコロを2 つ
振って, 出た目の大きくない方を * とする。 w= 2である確率は
ーー cas, c OMI —— である。
2 A= (: ") とする。 行列 4が表す1 次変換により, 点 (3, 2
ian (7 ]. J) ceo, «([*],[7]) aa@n
に移る。
(3) f(z) = 29 - 90? + 18a +9 EL,
A={z|f(a)>0}, B={«|z>-1}
とする。次が成り立つ。
BW, う OBRE
@e ) ¢ 3 @M% HC HD WH
また, EOteialcwUT,
1 C={2|0S2Sa}
| LES. ADC LSMOKE VMK alba = である。
| — ike AK-H-07

底面の円の半径が 3cm 高さが 6cm の直円欠を考える。直円釧の頂
AEP, 底面の円の中心を Q とし, 線分 PQ を 2 : 1 に内分する点を
O とする。底面の円の円周をの, O を通り底面と平行な平面が直円
能と交わってできる円の円周を C。 とする。
2H A、 B がそれぞれ の の 上を頂点P から見て左回りに移動し
ている。点A DMS ld 3cm/秒, 点B の速さは rcm/秒であり, 時刻
t=O BWT, 3 点P, B, A は一直線上にある とする。

(1) Aの角館度は 回 ラジアン/秒であり, B の角速度は ーー
ラジアン/秒である。ただし, A の角速度とは, WE OA MIDE
に回転する角の大きさのことであり, B の角速度とは BE OB
が1秒間に回転する角の大きさのことである。
(2) BH AB の長さを時刻との関数で表すと
1 = cos 2 cm
である。
(3) cos ZAOB を時刻:の関数で表すと
ーー) sf,
cos 2
/
である。 ;
(4) 三角形 AOB の面積を時刻 の関数で表すと
1 ー cos? Ft cm?
である。
ーォ4 一 AK-H-07

(5) 3点A, 0.Bを含む平面を9 とする。Q を通り, 9と直交する直
線を6とし, と9の交点をHH とする。 i= ee, #85) QH
の長きは
a
である。
| ー5一 AK-H-07

座標平面において 動点P の座標 (c,9) が時刻#の関数として
=人1ー05 y=t(1-t)? (StS 1)
で与えられている。
(1) 動点Pのz座標が最大になるのは t= 一- のときであり,
? 座標が最大になるのは t= == OLE CHS.
WZ
(2) 0 < < 1 のとき, HAP OHA ORME +—— CHS.
(3) 動点Pが直線 =ァ上に来るのは#= 0 のとき,7ニーーの
とき,# = 1 のときの 3 回である。
(4) ? が0 く2S1 の範囲を動くとぎ, HAP の描く曲線を とす
る。ア で囲まれる図形の面積は —— である。
ー6 一 AK-H-07
|

実数 に対し, を超えない最大の整数を [0] で表す。
自然数ヵー 1,2,3,... に対して, が |Ya] の整数倍で表せるとぎ, そ
のような n を小さいものから順に並べて
M1, M2, 708) -.-
eg oes
(1) ns = である。
(2) 自然数 p に対して, [Ya] = p をみたす自然数 の集合を M,
とする。 M, の要素でヵ DERE CHS OOEEBC 個
ある。
(3) BRR m に対して,
Sm = oni
i=1
とおく。 ん 1 のとき, Sapo, Sou-1, Sop はいずれもょの多項式
で, それぞれのょんの1 次の項の係数は Sop, Sour, Soe の順に
[a]. [>]. CBB. KL, Sapa, San, Sop は共通
の因数 (な [*]) をもつ。
Su
(4) tm Vn - La であぁる。
|
|
|
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| ー7ー AK-H-07