上智大学 2012年度 過去問・解答

上智大学2012年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[1](1) 三角関数の合成（0 ≦ x ≦ π）

y = sin x + 2cos(x − π/6) の最大値・最小値を求めます。

加法定理で展開してから合成する

2cos(x − π/6) = 2(cos x cos(π/6) + sin x sin(π/6)) = 2{(√3/2)cos x + (1/2)sin x} = √3 cos x + sin x

したがって

y = sin x + sin x + √3 cos x = 2sin x + √3 cos x

位相のずれた三角関数は、まず加法定理で展開して sin x と cos x に統一してから改めて合成します。この2段階が定石です。

合成する

√(2² + (√3)²) = √7 なので

y = √7 sin(x + α)

ここで α は sinα = √3/√7、cosα = 2/√7 を満たす角。sinα > 0、cosα > 0 より 0 < α < π/2。

最大値・最小値

0 ≦ x ≦ π のとき α ≦ x + α ≦ π + α。

最大：sin(x + α) = 1 となるのは x + α = π/2、すなわち x = π/2 − α。0 < α < π/2 よりこの x は定義域内にあります。最大値は √7。

最小：区間 [α, π + α] で sin が最も小さくなるのは右端 π + α（そこで sin(π+α) = −sinα）。したがって x = π のとき。

このとき y = sin π + 2cos(π − π/6) = 0 + 2cos(5π/6) = 2(−√3/2) = −√3

検算：0 ≦ x ≦ π で数値計算したところ、最大 2.645751（= √7 ✓）が x ≒ 0.857 で、最小 −1.732051（= −√3 ✓）が x = π で実現しました。
また π/2 − α を計算すると 0.85707 で、数値計算の最大点 0.85707 と一致 ✓
−√7 が最小値でない点に注意。定義域が [0, π] に限られているため、sin(x+α) = −1 となる点（x + α = 3π/2）には届きません。

[1](2) xy = 4x − y + 28 の正の整数解

y について解く

xy + y = 4x + 28　⇔　(x + 1)y = 4x + 28

x = −1 とすると左辺 0、右辺 24 で矛盾するので x ≠ −1。両辺を x + 1 で割ります。

y = (4x + 28)/(x + 1)

帯分数の形に直す

4x + 28 = 4(x + 1) + 24 なので

y = 4 + 24/(x + 1)

y が整数 ⇔ 24/(x + 1) が整数 ⇔ x + 1 が 24 の約数。

正の整数 x を数える

x ≧ 1 より x + 1 ≧ 2。24 の約数で2以上のものは

2, 3, 4, 6, 8, 12, 24　→　x = 1, 2, 3, 5, 7, 11, 23（7個）

それぞれ y = 4 + 24/(x+1) は 16, 12, 10, 8, 7, 6, 5 でいずれも正の整数。

検算：x を 1〜199 で総当たりしたところ、条件を満たす (x, y) は
(1,16), (2,12), (3,10), (5,8), (7,7), (11,6), (23,5) の 7組でした ✓
x + 1 = 1（x = 0）は「正の整数」でないので除外します。この条件の確認を忘れないでください。

この年の学習ポイント

(1) は「展開してから合成する」2段階の処理と、定義域が限られているときの最小値の扱いが主題でした。

合成後の角の範囲 [α, π + α] を書き出し、その中で sin がどこで最大・最小になるかを図で確認する — この一手を省くと、機械的に「最小は −√7」としてしまいます。

(2) は整数問題の王道で、「分数を（整数）＋（定数/1次式）に分解する」という一手がすべてです。この形にすれば「分母が定数の約数」という条件に翻訳でき、候補が有限個に絞れます。

2つの設問は分野が違いますが、どちらも「そのままでは扱えない式を、扱える標準形に書き換える」という同じ思想でできています。

上智大学2012年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。