神戸大学 2005年度 過去問・解答

神戸大学 2005年度（平成17年度）前期日程 数学の全問解説です。神戸大学は文科系（3題・75点）と理科系（5題・150点）で問題冊子が分かれており、この年度は共通問題がありません。合わせて全8題20小問です。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（2万通りの で条件を直接判定・数列を1200項追跡して極限を確認・袋の中身を全探索・数値積分との照合） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 文科系は3題とも「場合分けを正確にやり切る」タイプです。【2】は軸の位置で3通り、【3】は と1の大小で2通り。どこで場合が変わるかを先に決めてから計算に入ると、手戻りがありません。
• 理科系の【4】は「正射影」がテーマです。 という式は「 方向の成分を取り除く」操作。(4) はその意味を知っていれば、計算せずとも結論が読めます。
• 【8】は「じゃんけんのように強弱が巡回する」有名な設定です。期待値はすべて等しいのに は に、 は に、 は に、そして は に強い。確率の「推移律が成り立たない」例として知られています。

文科系（3題・75点）

【1】ベクトルと垂線の足（文科系1）

(1)　点 の位置

【型】「直線 上」は と1文字で置く。垂直条件を内積 で書けば が決まります。

これは何をしている操作か： は から直線 に下ろした垂線の足、つまり の 方向への正射影です。理科系の【4】でも同じ式が主役になります。

(2)　点 の位置

【型】「直線 上」も1文字で表す。 と置けば、垂直条件1本で が決まります。

【なぜこうするか】 には「直線 上」と「」の2条件があります。1つ目で文字を1つに減らし、2つ目で決めるという手順は、この種の問題では常に同じです。 を先に代入しておくと式が短くなります。

なので

整理すると 、すなわち

に代入して

検証： の3通りについて、 を実際に座標で置いて を計算しました。 はいずれも 程度（＝0）、また が直線 上にあることも外積が になることで確認しました。

【2】2次関数の条件（文科系2）

(1)　条件をみたす の範囲

【型】2つの条件は別々に処理してから共通部分。まず簡単なほう（ここでは (ii)）から片づけます。

【なぜこうするか】 と因数分解できるので、 の零点は と 。(ii) は「もう1つの零点が正の側にない」という条件に翻訳でき、すぐに の範囲が出ます。先に (ii) で範囲を絞ってから (i) を調べると、場合分けが減ります。

条件 (ii) について　 で より下に凸。 で となるのは、もう1つの零点 が 以下のとき、すなわち

条件 (i) について　 の軸は 。①のもとで軸は 以下です。軸が区間 に入るかどうかで分けます。

(ア) 軸が区間内（、すなわち ）　最小値は頂点の値。

(イ) 軸が区間の左外（）　区間内で増加なので最小は 。

なので、(イ) の範囲には解がありません。

①と (ア) の共通部分をとって（ は より大きいので条件をみたします）

検証： を から まで2万通りに刻み、各 について を細かく動かして条件 (i)(ii) を直接判定しました。条件をみたす の範囲は 〜 で、、 と一致します。

【3】絶対値つき関数の定積分（文科系3）

(1)　グラフ

【型】 を含む関数はまず偶関数かどうかを確かめる。偶関数なら だけ描いて折り返せます。

【なぜこうするか】 を に変えても も も変わらないので、この関数は偶関数。 軸対称と分かれば、実質 での のグラフを描くだけです。

では で、 では上に凸の山（頂点 ）、 では下に凸。これを 軸で折り返した形です。

(2)　 を求める

【型】偶関数の積分は。絶対値は と1の大小で場合分けします。

(ア) のとき　 なので 。

(イ) のとき　 で符号が変わるので2つに分けます。

(3)　 の最小値

【型】場合分けされた関数の最小はそれぞれの区間で調べて比べる。

では は増加で、最小は 。

では なので、 で最小。

なので

　 の最小値は

検証： について を数値積分し、公式の値と小数第7位まで一致することを確認しました。最小値 は のときで、数値計算でも同じでした。

理科系（5題・150点）

【4】空間ベクトルと正射影（理科系1）

(1)　点 の座標

【型】与えられた式に数値を代入するだけ。 と を先に計算しておきます。

この式の意味： は の 方向の成分（正射影）。それを引いた は と垂直になります。実際 ✓ この事実が (4) の鍵です。

(2)　 を固定したときの最適な

【型】2変数の最小はまず1文字を固定して1変数の2次関数とみる（予選決勝法）。

についての下に凸の2次関数なので、頂点で最小。

(3)　最小にする

【型】(2) を代入して今度は だけの2次関数に。

で最小、そのとき 。

(4)　正射影の分解の証明

【型】両辺を成分で計算して一致を見せる。意味が分かっていれば計算は確認作業です。

【なぜこうするか】 は「平面 上で にいちばん近い点」、つまり をこの平面に正射影した点です。一方 と は (1) で見たとおり互いに直交し、この平面を張ります。直交する2方向に分けて射影すれば、その和が平面への射影になる——これが示すべき等式の中身です。

右辺は より

両辺が一致するので、等式が成り立ちます。（証明終）

検証： を細かく動かして を総当たりで計算すると、最小 を与えるのは で と一致。(4) の両辺も数値で完全一致しました。

【5】放物線と点列・極限（理科系2）

(1)　 を で表す

【型】放物線と直線の交点は2次方程式の解と係数の関係を使うと、片方の解が分かっているときに速い。

【なぜこうするか】交点の一方が と分かっているので、解と係数の関係（積）を使えば、もう1つの解 が割り算1回で出ます。直線の式を代入して展開・因数分解しても同じですが、こちらのほうが短いです。

直線 の傾きは なので、交点の 座標は

解の1つが なので、積の関係より 。

(2)　 の一般項

【型】 のような分数型は逆数を取ると1次式になります。

【なぜこうするか】問題が と置きかえを指定しているのは、この形にすると等差数列になるからです。実際に逆数を取ると

公差 、初項 の等差数列なので