法政大学 2025年度 過去問・解答

※ 問題文は法政大学が公表した2025年度入学試験問題（文学部A方式I日程・経営学部A方式I日程・人間環境学部A方式・GIS A方式／数学）を、解説のために引用したものです。解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したものです。当解説の答え（全8問）はすべて一般的な解答例と突き合わせて一致を確認しています。加えて、〔Ⅰ〕は の1681通りを総当たりで判定、〔Ⅱ〕は玉の取り出し方 通りの全数列挙、〔Ⅲ〕は数式処理システムでの厳密積分と400万分割の極大値の実測で独立に検算しました。

〔Ⅰ〕【記述】2つの判別式条件と、整数の組の個数

分野：2次方程式（判別式）・整数　難易度：やや難　目標時間：20分

〔Ⅰ〕(1)　 のときの

【型】2つの判別式を先に整理してから、値を代入する

【なぜこうするか】
条件を2本の式にしておくと、(1)(2)(3) すべてがその使い回しで解けます。まず先に整理しましょう。

条件①（重解）： の判別式を とすると

すなわち または 。

条件②（実数解）：判別式を とすると

を代入します。条件①より または 。条件②より 。

なので不適。よって。

【検算】 のとき、第1式は で重解 ✓ 第2式は で判別式 より実数解あり ✓ 一般的な解答例とも一致。

【定石】複数の設問がある問題は、共通の条件を最初に一度だけ整理する。ここでは「 または 」と「」の2本。これを作った時点で (1)(2)(3) はすべて代入と読み取りの作業になります。

〔Ⅰ〕(2)　 と のとり得る値の範囲

【型】「 の場合」と「 の場合」に分け、最後に合併する

【なぜこうするか】
条件①は「または」なので、素直に2つに場合分けします。

[1] のとき：条件②は 、すなわち 。解の公式から

[2] のとき：条件②は 。両辺を2倍して整理すると

このとき は を動きます。

合併します。 に注意すると はおよそ 、 はおよそ 。

の範囲： と の合併。左端は （）、右端は （）。2区間は重なっているので途切れず

の範囲： と の合併。 は後者に含まれるので

【よくあるミス】2つの区間の合併が「途切れないか」を確かめないこと。もし重なっていなければ答えは2区間のままになります。 の大きさを と評価して端点の大小を必ず比較してください。

【定石】「または」でつながれた条件は、必ず 平面（パラメータ平面）に図示する。この問題では条件を満たす点が2本の線分としてはっきり見え、(3) の整数点の数え上げもその図の上で行えます。図にすれば重複も一目で分かります。

〔Ⅰ〕(3)　整数の組 の個数

【型】2つの場合それぞれで数え、重複を引く（包除原理）

【なぜこうするか】
[1] のとき： を満たす整数 。 より

したがって の7個。

[2] のとき： も整数になるには が偶数である必要があります。 の偶数は の3個（対応する は ）。

重複を確認します。[1] と [2] の両方に現れるのは、 かつ 、すなわち の1個だけ。よって

答えは9個。具体的には 。

【検算】 の 通りすべてについて、2つの判別式条件を直接判定したところ、条件を満たす整数の組はちょうど上の9個 ✓ 一般的な解答例とも一致。

【よくあるミス】 と答えてしまうこと。2本の線分は原点 で交わっており、その点は両方で数えられています。「または」で場合分けしたら、最後に必ず重なりを確認する——これが包除原理の最も基本的な使い方です。

【定石】 の形で「両方整数」なら、分母を払って —— は偶数。分数係数の関係式で整数条件を課すときは、まず分母を払って整除条件に直すのが確実です。

〔Ⅱ〕【記述】4色の玉で動く点の確率

分野：確率（反復試行）　難易度：標準　目標時間：15分

〔Ⅱ〕(1)　2回で原点に戻る確率

【型】2回で戻るには「逆向きの1組」——並べ方まで数える

【なぜこうするか】
玉を戻すので毎回どの色も等確率 。2回の取り出し方は 通りで、これらは同様に確からしいので「原点に戻る取り出し方が何通りか」を数えれば済みます。

2回の移動の和が になるのは、打ち消し合うペアのとき。すなわち

• 青（ に ）と白（ に ）を1回ずつ：順序が2通り
• 黒（ に ）と赤（ に ）を1回ずつ：順序が2通り

合わせて4通り。よって

【検算】 通りをすべて列挙して終点を計算したところ、原点に戻るものは4通り ✓ 一般的な解答例と一致。

【定石】各回が等確率なら「確率」ではなく「場合の数」を数えるほうが速い。分母は と決まっているので、分子だけに集中できます。同様に確からしいことを一言添えるのを忘れずに。

〔Ⅱ〕(2)　3回で点 にある確率

【型】各色の回数を とおいて連立方程式の非負整数解を数える

【なぜこうするか】
青・白・黒・赤の回数をそれぞれ （ 以上の整数）とおくと、終点が である条件は

の値で場合分けするのが手早いです（ が偶数なので候補が絞れます）。

• ： より 。並べ方は 通り
• ： より 。青・黒・赤を1回ずつなので 通り
• ： となり不適

合わせて 通り。取り出し方の総数は 通りなので

【検算】 通りの全数列挙で終点が になるものは9通り ✓ 一般的な解答例と一致。

【定石】「終点が指定された移動」は、各方向の回数を文字にして連立方程式に直す。あとは非負整数解を数え上げ、それぞれの並べ方を掛けるだけ。移動の順序を直接追いかけるより、はるかに数え漏らしが起きません。

【よくあるミス】「青2回・白1回」の並べ方を 通りと数えてしまうこと。何回目に何色を引くかまで区別するので、同じものを含む順列 通りです。分母を にした以上、分子も順序込みで数えなければ整合しません。

〔Ⅱ〕(3)　4回で点 にある確率

【型】同じく連立——今度は 両方に の差がつく

【なぜこうするか】
条件は

を第3式に代入すると、一気に絞れます。

したがって または の2通りだけです。

• ：並べ方は 通り
• ：並べ方は 通り

合わせて 通り。総数は 通りなので

【検算】 通りの全数列挙で終点が になるものは24通り ✓ 一般的な解答例と一致。

【定石】「差」の条件は代入して未知数を減らす。 と置き換えれば、4変数の問題が という1本の式になります。場合分けを列挙する前に、まず変数を減らせないか考える——これで数え漏らしがほぼ防げます。

〔Ⅲ〕【記述】3次関数の面積と、極大点の軌跡

分野：微分法・積分法（3次関数）・軌跡　難易度：やや難　目標時間：20分

〔Ⅲ〕(1)　囲まれた部分の面積の和

【型】奇関数だから左右対称——片方を求めて2倍する

【なぜこうするか】
まず因数分解して 軸との交点を出します。 とおくと

交点は の3つ。 は奇関数（ の奇数乗だけ）なので原点対称で、囲まれる2つの部分の面積は等しくなります。

では より 。したがって面積の和 は

ここで より なので 。これが に等しいとして

より 、すなわち（ は となり不適）。

【検算】数式処理システムで を の式として厳密に求めると ✓ の正の解は のみ ✓ 一般的な解答例とも一致。

【よくあるミス】4乗根をとるときに だけを見ること。 の実数解は の2つあり、「 だから」と理由を書いて片方を捨てるのが答案として必要です。

【定石】奇関数 と 軸が囲む2つの部分は合同。片側だけ積分して2倍すればよく、しかも公式 の形で覚えておくと速い。対称性を先に確認するだけで計算量が半分になります。

〔Ⅲ〕(2)　極大点 の軌跡

【型】パラメータ を で表し直し、 の条件を の条件に翻訳する

【なぜこうするか】
まず極大点を求めます。

の係数が正なので小さいほうが極大。 より なので

ここが軌跡の答案の核心です。この式を について解き直すと

「 が正の実数全体を動く」という条件は、そのまま の条件に翻訳できて

次に を だけで表します。 なので 。したがって

よって点 は 上にあり、 の動く範囲は 。求める軌跡は

で、端点 は含みません（ に対応し、 を満たさないため）。

【検算】 の4通りについて を400万分割して極大値を実測したところ、極大点はそれぞれ 。いずれも を満たし（ など）、かつ ✓ 一般的な解答例とも一致。

【よくあるミス】 と答えて範囲を書かないこと。軌跡の答案は「曲線の式」＋「動く範囲」＋「端点を含むか」の3点セット。 が等号を含まないので端点は除外——ここまで書いて初めて完答です。

【定石】軌跡は「パラメータを消去する」＋「パラメータの動く範囲を座標の条件に翻訳する」。 を と逆に解けば、 が に変わります。逆に解けるかどうかが、範囲を正しく出せるかの分かれ目です。

※ 問題文は法政大学が公表した2025年度入学試験問題（数学）を、解説のために引用したものです。解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したものです。当解説の答え（全9問）はすべて一般的な解答例と突き合わせて一致を確認しています。加えて、〔Ⅰ〕は300万分割による最大値の実測、〔Ⅱ〕は から までの直接計算、〔Ⅲ〕は数式処理システムでの厳密解と、境界を1100点で折れ線化したシューレース公式による面積の照合で独立に検算しました。

〔Ⅰ〕【記述】球に内接する直円柱の体積の最大

分野：微分法（3次関数の最大）・空間図形　難易度：標準　目標時間：15分

〔Ⅰ〕(1)　球の表面積とその導関数

【型】球の表面積は ——公式をそのまま微分するだけ

【なぜこうするか】
半径 の球の表面積は 。 は定数なので、 で微分して

この結果には意味があります。球の体積は で、これを微分すると 。つまり「体積を半径で微分すると表面積」。半径を だけ増やすと、増える体積が「表面積 厚さ」になる、という直感そのものです。

【定石】「体積を半径で微分すると表面積」「面積を半径で微分すると円周」——半径を少し増やしたときに増える分が、その外側の「皮」の大きさになるからです。公式を忘れたときの復元にも、覚え違いの検算にも使えます。

【よくあるミス】球の表面積 と円の面積 を混同すること。球の表面積は「大円の面積の4倍」と覚えておくと取り違えません。体積 との区別も含めて、次数（ か か）で見分けるのが確実です。

〔Ⅰ〕(2)　内接する直円柱の体積

【型】立体は「中心軸を通る断面」で平面の問題に落とす

【なぜこうするか】
直円柱の中心軸を通る平面で切ると、円に内接する長方形が現れます。円の半径は 、長方形の高さは 。

球の中心から上面の中心までの距離が 、球の中心から上面の縁までの距離が （球面上の点だから）。この2辺は直角をなすので、三平方の定理より底面の半径は

したがって直円柱の体積は「底面積 高さ」で

【定石】球に内接する立体は「中心軸を通る断面」を描く。3次元の情報がそのまま2次元の直角三角形に落ち、三平方の定理1回で関係式が出ます。高さを と最初から2倍で置いているのは、中心から測る で計算させるための出題者の親切です。

〔Ⅰ〕(3)　 のときの最大値

【型】定義域を先に確定させてから、増減表を書く

【なぜこうするか】
まず の動く範囲を押さえます。底面の半径 が実数かつ正であるためには 。（ では底面が点になり円柱になりません。）

(2) に を代入して

では なので、 の符号は の符号で決まります。したがって で増加、 で減少。増減表は次の通り。

• ：（増加）
• ：（極大）
• ：（減少）

よって で最大となり

このときの直円柱の高さは 。

【検算】 を から まで300万分割して を数値計算すると、最大値 を でとりました。理論値は 、 ✓ 一般的な解答例とも一致。

【よくあるミス】「高さを求めよ」に と答えること。問題文で高さは と定義されているので、答えは です。文字が何を表すかを最後にもう一度読み返す——記述式では特にここで点を落とします。

【定石】最大最小の答案は「定義域 微分 増減表 値」の順で書く。定義域を先に書いておけば、 を候補から外す理由が自動的に済みます。増減表を求められている問題では、必ず表の形で書きましょう。

〔Ⅱ〕【記述】等差数列と、その階差数列をもつ数列

分野：数列（等差数列・階差数列）　難易度：標準　目標時間：20分

〔Ⅱ〕(1)　 と の一般項

【型】等差数列の連続3項は「中央項 公差」——和は中央項の3倍

【なぜこうするか】
公差を とすると、連続3項は 。和は になって が消えます。

積が なので3項のどれかが 。 なので または 。

ここで は を意味します。 なので

• とすると ✓
• とすると ✗（単調増加に反する）

よって で

の一般項：階差数列が なので、 のとき

でも成立するか確認します：右辺に を入れると ✓ よってこの式はすべての自然数 で成立します。

【検算】 を から求めると 。和は ✓ 積は ✓ 単調増加 ✓ 一般的な解答例とも一致。

【よくあるミス】階差数列の公式で の断りを書かず、 の確認もしないこと。 は のとき意味をもたないので、「 で成立」と書き、そのあと でも成り立つことを確かめる——これが記述式の作法です。

【定石】等差数列の連続3項は と中央項を軸に置く。和が問われたら 、積が問われたら と、どちらもきれいな形になります。「和 中央項が即決」は反射的に使いたい型です。

〔Ⅱ〕(2)　 となる

【型】 を先に確定 の公式で計算

【なぜこうするか】
。よって（ なので等号込みで が最大）。

を から まで足します。 は定数なので 個分、残りは公式で。

これが に等しいので 、すなわち。

【検算】 として を から まで直接足すと ✓ 一般的な解答例とも一致。

【定石】 の中に定数項があったら「項数 定数」。 であって ではありません。 を分解したら、各項が何個あるかを毎回確認してください。

〔Ⅱ〕(3)　すべての で となる の最小値

【型】「すべての で成立」＝「最小値が 」——最小の を探す

【なぜこうするか】
を平方完成すると

軸は 。 は自然数なので、軸に最も近い と で最小になります（軸からの距離がどちらも で等しい）。

確かに等しく、最小値は 。すべての で となる条件は

は整数なので、最小値は。

【検算】 として から まで を計算すると、負になる は1つもありません ✓ 一方 では で ✓ したがって が最小。一般的な解答例とも一致。

【よくあるミス】軸 を代入して最小値を としてしまうこと。 は自然数なので、軸そのものは代入できません。軸をはさむ2つの整数の値を比べる——今回はたまたま等しくなりました。

【定石】「すべての について不等式が成立」は「左辺の最小値 」に言い換える。数列（ が整数）の場合は、軸の左右の整数を必ず両方調べるのが鉄則です。

〔Ⅲ〕【記述】円と放物線が囲む面積

分野：図形と方程式（円・接線）・面積　難易度：やや難　目標時間：25分

〔Ⅲ〕(1)　 の値と接点 の座標

【型】接点は「接線の公式に原点を代入」で一発

【なぜこうするか】
円 は 。 を通るので

より。よって円 は 、中心 、半径 。

軸との交点は として 、すなわち 、。

接点 を求めます。 とおくと、 における接線は

これが原点を通るので を代入して

また は円 上なので 。 を代入して

よって。

【検算】「 かつ は円上」という条件で数式処理システムに解かせても同じ点が得られ、、 ✓ 一般的な解答例とも一致。

【定石】円 上の点 での接線は 。「接線が通る点を代入するだけで接点の座標が1つ決まる」のが強力で、 で連立するより速いことが多いです。

〔Ⅲ〕(2)　三角形の面積比

【型】「共通の角をはさむ2辺の積の比」——または相似を見抜く

【なぜこうするか】
まず を求めます。直線 上の点は と書けるので、円 の式に代入して

が なので、もう一方の が 。

2つの三角形は を共有しています。 は と 、 は と がその角をはさむ2辺。したがって

それぞれの長さは 、、、 なので

相似を使う別解：方べきの定理から が成り立つので 。これと共通角から と は相似で、相似比は 。面積比はその2乗で ✓

【検算】座標から直接 、 と計算でき、比は ✓ 一般的な解答例とも一致。

【定石】角を共有する2つの三角形の面積比は「はさむ2辺の積の比」（ の が約分される）。座標を出して直接計算してもよいが、この公式なら長さだけで済みます。相似が見えればさらに速い。

〔Ⅲ〕(3)　 の値と、囲まれる領域の面積

【型】曲線が混ざった領域は「垂線で切って、積分できる部分・三角形・扇形に分ける」

【なぜこうするか】
を通るので

面積の求め方がこの問題の核心です。領域の境界は「 軸」「放物線 」「円弧 」の3種類。円弧が入っている以上、積分だけでは終わりません（扇形は角度で求めるほうが速い）。そこで から 軸に下ろした垂線の足を とし、さらに中心 と を結んで3つに切ります。

[1] 軸と 、直線 で囲まれる部分（放物線の下、）

[2] 直角三角形 ：（ の 座標）、 なので

[3] 中心 ・弧 の扇形：中心角を求めます。直角三角形 で

は より左、 は より右なので 。したがって扇形の面積は

3つを足して

【検算】領域の境界（ 軸・円弧・放物線）を合計1100点で折れ線に近似し、シューレース公式で面積を計算すると 。一方 ✓ 小数第5位まで一致。一般的な解答例とも一致。

【よくあるミス】全部を積分で処理しようとすること。円弧の部分を と書いて積分すると三角関数の置換が必要になり、時間内に終わりません。円が絡んだら「扇形＋三角形」で切り分けるのが原則です。

【定石】複数種類の曲線で囲まれた面積は、境界の変わり目から補助線（垂線・半径）を引いて分割する。分割後の各片が「積分できる形」「三角形」「扇形」のいずれかになれば勝ちです。補助線は境界の変わり目（この問題では ）から引く——これが分割の勘所です。