藤原進之介です。このページでは香川大学2008年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
今日の一問
曲線 と直線 で囲まれた部分の面積を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：放物線と直線で囲まれた面積。交点を求めてから積分するのは遠回りです。被積分関数が因数分解された形になることを使います。
1. なぜその一手を選ぶのか
囲まれた部分の面積は（上の関数）−（下の関数）の積分です。ここでは直線が上、放物線が下なので、被積分関数は (4x + 1) − x2 。これは x2 − 4x − 1 の符号を変えたものですから、交点の x 座標を α, β とすると −(x − α)(x − β) と書けます。
この形の積分は (β − α)3 / 6 になります（いわゆる 6 分の 1 公式）。つまり α, β を個別に求める必要はなく、差だけ分かればよい。差は解と係数の関係から出ます。ここが選択のポイントです。
2. 解答
- 交点：x2 = 4x + 1 すなわち x2 − 4x − 1 = 0 。解を α, β とすると α + β = 4 、αβ = -1 。
- (β − α)2 = (α + β)2 − 4αβ = 16 + 4 = 20 。よって β − α = 2√5 。
- 面積 S = 16 (β − α)3 = 16 × 20√20 。
答え： S = 20√53
3. 検算（大きさの見当をつける）
交点は x = (4 ± 2√5) / 2 、幅は 2√5 ≒ 4.47 。面積の概算は 幅3/6 ≒ 14.91 で、答えと一致します。6 分の 1 公式は「幅の3乗を6で割る」だけなので、この概算がそのまま検算になります。
この型の一般化：（上）−（下）が k(x − α)(x − β) の形なら、面積はつねに |k|(β − α)3 / 6 。放物線どうしで囲む場合も、引き算した時点で 2 次式になるので同じ式が使えます。展開して原始関数を作るのは、この形を見落としたときだけです。積分区間の取り方と面積の型は第15章 微積分にまとめています。
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香川大学 2008年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 微分・積分
- 図形・三角関数
- 関数・グラフ
- 数列
- 方程式・不等式
この年度の出題範囲と傾向
2008年度の問題PDFでは、微分・積分、図形・三角関数、関数・グラフ、数列、方程式・不等式に関する語句や設問を確認できました。香川大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は18年度、微分・積分は18年度、関数・グラフは18年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 微分・積分、関数・グラフ、図形・三角関数、数列、方程式・不等式
平成 20 年 度
(教育学部・農学部)
教 科 | 科 _4A ページ数
] |数学1 ・数学A
問題還子 | (Eel 。
試験開始の合図があるまで, 問題冊子を開かないこと。
解答の書き方
1. 問題(1〕, (2), 〔3]は全問解答すること。問題【4], [5]は. このうちか
5, 1 題を選択し. 選択した問題の番号を解答用紙の〔 〕内に記入してから, 解
答すること。
2. 解答は すべて別紙解答用紙の所定摺に. はっきりと記入すること。
3. 答案には, 解答の過程を書き, 結論を明示すること。
4. 解答を訂正する場合には. されいに消してから記入すること。
5. 解答用紙には, 解答と志望学部及び受験番号のほかは, いっさい記入しないこ
Ee
1. 試験開始の合図の後, 解答用紙に志望学部及び受験番号を必ず書くこと。
2. 下書き用紙は, 片面だけ使用すること。
3. 用事があるときは, だまって手をあげて, 監督者の指示を受けること。
4 試験終了時には, 解答用紙を必ずページ順に重ね, 机上の右側に置くこと。
5. 試験終了後, 問題同子及び下書き用紙は持ち帰ること。
OM2(796—13)
[ 1 〕 AOABに対し, 2=0A, 》』=O0B とおく。へOAB の重心Gを通る直線2
は辺 04 と交わり, その交点をCとする。ただし, 点Cは頂点 0 とは異なると
する。 直線 /と直線OBが交わるとき, その交点をDとし, OC=ra,
0D 5》 とする。このとき, 次の問に答えよ。
1. OG を a, b を用いて表せ。
2. 0G & r,s, OC, OD を用いて表せ。
a 24+ の値を求めよ。
4. AOCD の面積と へOAB の面積が等しいとき, ァ の値を求めよ。
5. OC:CA=3:1 のとき, OD : DB を求めよ。
(2) BA {ay} を次のように定める。ただし, ヵ, 7 は定数とする。
a=p
Gn+2=34n41—2an (n=1, 2, 3,%+)
また, 数列 (6。} Eby =aysi—a, (#=1, 2,3) と定める。
このとき, 次の問に答えよ。
1. ax as as ee を求めよ。
2. by by by by を求めよ。
3. dn Ein, p, 9 を用いて表せ。
4 Se =3 a, &n, p,q を用いて表せ。
一まま = やM2(796一13)
(3) tie Cry =Fxt &, K B(0.9) を中心とする半径 の円(ただし.
r<d) は, 異なる2点Ai、A。 を共有し, それ以外に共有点をもたないとす
る。ここで, RA, Azは。 それぞれ第 1 象限第 2 殺限にあるとする。このと
き, 次の問に答えよ。
]. 円の中心Bおよび2点Ai Az の座標を ヶ を用いて表せ。さらに. r OF
の範囲を求めよ。
2. r=4 DER, AiBA。 の大きさを求めよ。ただし. 0"くンAiBA,ぐ180*
とする。
3. 2.で求めた AiBA。 に対する弧 AA, と放物線どで胃まれた図形の面積
を求めよ。
(4) 関数/7)ニターテ* について, 次の問に答えよ。
1. Fe) の極値を求め曲線 y ニア(x) の概形をかけ。
2. t>0 のとき, MAG, パーの) における曲線 =f) の接線の方程式を
求めよ。
3. 2.で求めた接線と曲線 ヵーア(x) の共有点のうち, 接点A と異なる点Bの
座標を 7 を用いて表せ。
4. 原点を 0 とするとき, へOAB の面積を / を用いて表せ。
(5) MHOC WORE 2a の立方体がある。その立方体の4 つの頂点が円
雛の底面にあり, 他の4つの頂点は円雛の側面にある。円凶の底面の半径を x
とするとき, 次の問に答えよ。
1. FASOMS h(x) を a, x を用いて表せ。
2. FIMO Vx) を a, x を用いて表せ。
3. FEO V(x) の最小値とそのときの x OME a を用いて表せ。
4, 円名の体積 /(x) が最小となるとき, 立方体の表面積と円氏の表面積の比
を求めよ。
どー = ©M2(796—15)
(教育学部・農学部)
教 科 | 科 _4A ページ数
] |数学1 ・数学A
問題還子 | (Eel 。
試験開始の合図があるまで, 問題冊子を開かないこと。
解答の書き方
1. 問題(1〕, (2), 〔3]は全問解答すること。問題【4], [5]は. このうちか
5, 1 題を選択し. 選択した問題の番号を解答用紙の〔 〕内に記入してから, 解
答すること。
2. 解答は すべて別紙解答用紙の所定摺に. はっきりと記入すること。
3. 答案には, 解答の過程を書き, 結論を明示すること。
4. 解答を訂正する場合には. されいに消してから記入すること。
5. 解答用紙には, 解答と志望学部及び受験番号のほかは, いっさい記入しないこ
Ee
1. 試験開始の合図の後, 解答用紙に志望学部及び受験番号を必ず書くこと。
2. 下書き用紙は, 片面だけ使用すること。
3. 用事があるときは, だまって手をあげて, 監督者の指示を受けること。
4 試験終了時には, 解答用紙を必ずページ順に重ね, 机上の右側に置くこと。
5. 試験終了後, 問題同子及び下書き用紙は持ち帰ること。
OM2(796—13)
[ 1 〕 AOABに対し, 2=0A, 》』=O0B とおく。へOAB の重心Gを通る直線2
は辺 04 と交わり, その交点をCとする。ただし, 点Cは頂点 0 とは異なると
する。 直線 /と直線OBが交わるとき, その交点をDとし, OC=ra,
0D 5》 とする。このとき, 次の問に答えよ。
1. OG を a, b を用いて表せ。
2. 0G & r,s, OC, OD を用いて表せ。
a 24+ の値を求めよ。
4. AOCD の面積と へOAB の面積が等しいとき, ァ の値を求めよ。
5. OC:CA=3:1 のとき, OD : DB を求めよ。
(2) BA {ay} を次のように定める。ただし, ヵ, 7 は定数とする。
a=p
Gn+2=34n41—2an (n=1, 2, 3,%+)
また, 数列 (6。} Eby =aysi—a, (#=1, 2,3) と定める。
このとき, 次の問に答えよ。
1. ax as as ee を求めよ。
2. by by by by を求めよ。
3. dn Ein, p, 9 を用いて表せ。
4 Se =3 a, &n, p,q を用いて表せ。
一まま = やM2(796一13)
(3) tie Cry =Fxt &, K B(0.9) を中心とする半径 の円(ただし.
r<d) は, 異なる2点Ai、A。 を共有し, それ以外に共有点をもたないとす
る。ここで, RA, Azは。 それぞれ第 1 象限第 2 殺限にあるとする。このと
き, 次の問に答えよ。
]. 円の中心Bおよび2点Ai Az の座標を ヶ を用いて表せ。さらに. r OF
の範囲を求めよ。
2. r=4 DER, AiBA。 の大きさを求めよ。ただし. 0"くンAiBA,ぐ180*
とする。
3. 2.で求めた AiBA。 に対する弧 AA, と放物線どで胃まれた図形の面積
を求めよ。
(4) 関数/7)ニターテ* について, 次の問に答えよ。
1. Fe) の極値を求め曲線 y ニア(x) の概形をかけ。
2. t>0 のとき, MAG, パーの) における曲線 =f) の接線の方程式を
求めよ。
3. 2.で求めた接線と曲線 ヵーア(x) の共有点のうち, 接点A と異なる点Bの
座標を 7 を用いて表せ。
4. 原点を 0 とするとき, へOAB の面積を / を用いて表せ。
(5) MHOC WORE 2a の立方体がある。その立方体の4 つの頂点が円
雛の底面にあり, 他の4つの頂点は円雛の側面にある。円凶の底面の半径を x
とするとき, 次の問に答えよ。
1. FASOMS h(x) を a, x を用いて表せ。
2. FIMO Vx) を a, x を用いて表せ。
3. FEO V(x) の最小値とそのときの x OME a を用いて表せ。
4, 円名の体積 /(x) が最小となるとき, 立方体の表面積と円氏の表面積の比
を求めよ。
どー = ©M2(796—15)
問2画像OCR
検出分野: 微分・積分、図形・三角関数、数列、関数・グラフ、方程式・不等式
(1) AOABに対し. メーO4, #ー0B とおく。へ0AB の重心Gを通る直線 /
は辺 OA ERD, その交点をCとする。ただし, 点Cは頂点 0 とは異なると
FS. 直線 /と直交OBが交わるとき, その交点をDとし, OC=ra,
OD = 5 とする。このとき, 次の問に答えよ。
1. 0G & a, ? を用いて表せ。
2. 0G #r, s, OC, OD を用いて表せ。
3 24+ の値を求めよ。
4, AOCD の面積と へOAB の面積が等しいとき, ヶ の値を求めよ。
5 OC:CA=3:1 0&8, OD : DB を求めよ。
(2) 数列 1g。} を次のように定める。ただし, ヵ, は定数とする。
a=?
@n+2=3an+1—2a, (n=1, 2, 3,---)
また, 数列 8計をj王gmコーg。 (n=1, 2, 8,...) と定める。
このとき, 次の問に答えよ。
1. a3, a4 a5, ge を求めよ。
2. bi, b2, bs 5。を求めよ。
3. a, En, p, 9 を用いて表せ。
4 Sa =るる en. の. 9 を用いて表せ。
me a やM3(796一1?)
[ 3 〕 放物線 でターオデ と, 点 B(0.5) を中心とする半径 の円(ただし.
ヶぐ?) は, 異なる2点Ai Azを共有し、それ以外に共有点をもたないとす
る。ここで, 点A Ald, それぞれ第 1 象限第2 象限にあるとする。このと
き. 次の問に答えよ。
1. 円の中心Bおよび2点Ai, Azの座標を 7 を用いて表せ。さらに, ヶ の値
の範囲を求めよ。
2. r=4 のとき,ンAiBA。の大きさを求めよ。ただし, 0° マンAiBAsぐ180"
とする。
3. 2.で求めた ArBA。 に対する弧 ALA, と放物線 Cで囲まれた図形の面生
を求めよ。
(4) 関数げ(*)ニx*%ー* について, 次の問に答えよ。
1. f(x) の極値を求め、曲線 y =F (x) の概形をかけ。
2. 7 0 のとき, RAG, おーー) における曲線 yゞニナ(ヶ) の接線の方程式を
求めよ。
3. 2.で求めた接線と曲線 yニア(x) の共有点のうち, 接点A と異なる点Bの
座標を 7 を用いて表せ。
4. 原点を 0 とするとき, へOAB の面積を 7 を用いて表せ。
— 2 "em M3 (796—18)
は辺 OA ERD, その交点をCとする。ただし, 点Cは頂点 0 とは異なると
FS. 直線 /と直交OBが交わるとき, その交点をDとし, OC=ra,
OD = 5 とする。このとき, 次の問に答えよ。
1. 0G & a, ? を用いて表せ。
2. 0G #r, s, OC, OD を用いて表せ。
3 24+ の値を求めよ。
4, AOCD の面積と へOAB の面積が等しいとき, ヶ の値を求めよ。
5 OC:CA=3:1 0&8, OD : DB を求めよ。
(2) 数列 1g。} を次のように定める。ただし, ヵ, は定数とする。
a=?
@n+2=3an+1—2a, (n=1, 2, 3,---)
また, 数列 8計をj王gmコーg。 (n=1, 2, 8,...) と定める。
このとき, 次の問に答えよ。
1. a3, a4 a5, ge を求めよ。
2. bi, b2, bs 5。を求めよ。
3. a, En, p, 9 を用いて表せ。
4 Sa =るる en. の. 9 を用いて表せ。
me a やM3(796一1?)
[ 3 〕 放物線 でターオデ と, 点 B(0.5) を中心とする半径 の円(ただし.
ヶぐ?) は, 異なる2点Ai Azを共有し、それ以外に共有点をもたないとす
る。ここで, 点A Ald, それぞれ第 1 象限第2 象限にあるとする。このと
き. 次の問に答えよ。
1. 円の中心Bおよび2点Ai, Azの座標を 7 を用いて表せ。さらに, ヶ の値
の範囲を求めよ。
2. r=4 のとき,ンAiBA。の大きさを求めよ。ただし, 0° マンAiBAsぐ180"
とする。
3. 2.で求めた ArBA。 に対する弧 ALA, と放物線 Cで囲まれた図形の面生
を求めよ。
(4) 関数げ(*)ニx*%ー* について, 次の問に答えよ。
1. f(x) の極値を求め、曲線 y =F (x) の概形をかけ。
2. 7 0 のとき, RAG, おーー) における曲線 yゞニナ(ヶ) の接線の方程式を
求めよ。
3. 2.で求めた接線と曲線 yニア(x) の共有点のうち, 接点A と異なる点Bの
座標を 7 を用いて表せ。
4. 原点を 0 とするとき, へOAB の面積を 7 を用いて表せ。
— 2 "em M3 (796—18)
問4画像OCR
検出分野: 微分・積分、図形・三角関数、関数・グラフ
平成 20 年 度
工学 部)
a 科 | A 目 | ページ数
問題章子 fe ESBS) 。
数学皿
試験開始の合図があるまで, 問題天子を開かないこと。
解答の書き方
1. 解答は. すべて別紙解答用紙の所定欄に, はっきりと記入すること。
2. 答案には, 解答の過程を書き, 結論を明示すること。
3. 解答を訂正する場合にはは, きれいに消してから記入すること。
4, 解答用紙には, 解答と志望学部及び受験番号のほかは, いっさい記入しないこ
の
注意事項
1. 試験開始の合図の後, 解答用紙に志望学部及び受験番号を必ず書くこと。
2. 下書き用紙は, 片面だけ使用すること。
3. 用事があるときは, だまって手をあげて, 監督者の指示を受けること。
4. 試験終了時には, 解答用紙を必ずページ順に重ね, 机上の右側に置くこと。
5. 試験終了後, 問題冊子及び下書き用紙は持ち帰ること。
M5 (796—22)
[ 1 ] AOAB に対し. @=0A, 5=0B とおく。へOAB の重心でを通る直線7
は辺 0A と交わり, その交点をCとする。ただし, 点Cは頂点 0 とは異なると
する。 直線 /と直線OBが交わるとき, その交点をDとし. 0C=ァ2,
OD=ss EFS. TOLER, 次の問に答えよ。
1 0G を2. ? を用いて表せ。
2 0G er, s, OC, OD を用いて表せ。
3 444 の陸を求めよ。
4 AOCD の面積と へOAB の面積が等しいとき, r の値を求めよ。
5. OC:CA=3:1 のとき, OD: DB を求めよ。
[ 2 ] BA (g』} を次のように定める。ただし, ヵ, 9 は定数とする。
a=p
Qnt2=3ae41—2a, (w=1, 2.3,...)
また, BAAD) を =Ansr— an (m= 1, 2, 3....) と定める。
ことのとき. 次の問に答えよ。
Lay gs gs ge を求めよ。
2 by by ba, be を求めよ。
3. g, を ヵ,。 p, 9 を用いて表せ。
4 S,= 3am, pg を用いて表せ。
—1— M5 (796—23)
(3) 放物線Ciyー二“と, 点 B(0.のを中心とする半径/の円ただし,
r<b) は, 異なる2点Ai A SIAL, それ以外に共有点をもたないとす
る。 ここで, MA, A。は, それぞれ第 1 象限. 第2 象限にあるとする。このと
き, 次の問に答えよ。
1. 円の中心Bおよび2 点Ai。 Az の座標を / を用いて表せ。さらに, 7 Ol
の範囲を求めよ。
2 r=4 のとき, 乙AiBA。 の大きさを求めよ。ただし, 0°< ZAiBA2 < 180°
とする。
3. 2. で求めた AiBA。 に対する弧 AVA, と放物線どで囲まれた図形の面積
を求めよ。
(4) Hots 1辺の長さが 2g の立方体がある。その立方体の4つの頂点が円
雛の底面にあり. 他の4 つの頂点は円名の側面にある。円雛の底面の半径を x
とするとき, 次の問に答えよ。
1. FROM h(x) を a, x を用いて表せ。
2. FSBO Vix) を a, x を用いて表せ。
3. FRO V(x) の最小値とそのときの x の値を a を用いて表せ。
4 FER OIKEE V(x) が最小となるとき. 立方体の表面積と円凶の表面積の比
を求めよ。
ョーー.の ee M5 (796—24)
工学 部)
a 科 | A 目 | ページ数
問題章子 fe ESBS) 。
数学皿
試験開始の合図があるまで, 問題天子を開かないこと。
解答の書き方
1. 解答は. すべて別紙解答用紙の所定欄に, はっきりと記入すること。
2. 答案には, 解答の過程を書き, 結論を明示すること。
3. 解答を訂正する場合にはは, きれいに消してから記入すること。
4, 解答用紙には, 解答と志望学部及び受験番号のほかは, いっさい記入しないこ
の
注意事項
1. 試験開始の合図の後, 解答用紙に志望学部及び受験番号を必ず書くこと。
2. 下書き用紙は, 片面だけ使用すること。
3. 用事があるときは, だまって手をあげて, 監督者の指示を受けること。
4. 試験終了時には, 解答用紙を必ずページ順に重ね, 机上の右側に置くこと。
5. 試験終了後, 問題冊子及び下書き用紙は持ち帰ること。
M5 (796—22)
[ 1 ] AOAB に対し. @=0A, 5=0B とおく。へOAB の重心でを通る直線7
は辺 0A と交わり, その交点をCとする。ただし, 点Cは頂点 0 とは異なると
する。 直線 /と直線OBが交わるとき, その交点をDとし. 0C=ァ2,
OD=ss EFS. TOLER, 次の問に答えよ。
1 0G を2. ? を用いて表せ。
2 0G er, s, OC, OD を用いて表せ。
3 444 の陸を求めよ。
4 AOCD の面積と へOAB の面積が等しいとき, r の値を求めよ。
5. OC:CA=3:1 のとき, OD: DB を求めよ。
[ 2 ] BA (g』} を次のように定める。ただし, ヵ, 9 は定数とする。
a=p
Qnt2=3ae41—2a, (w=1, 2.3,...)
また, BAAD) を =Ansr— an (m= 1, 2, 3....) と定める。
ことのとき. 次の問に答えよ。
Lay gs gs ge を求めよ。
2 by by ba, be を求めよ。
3. g, を ヵ,。 p, 9 を用いて表せ。
4 S,= 3am, pg を用いて表せ。
—1— M5 (796—23)
(3) 放物線Ciyー二“と, 点 B(0.のを中心とする半径/の円ただし,
r<b) は, 異なる2点Ai A SIAL, それ以外に共有点をもたないとす
る。 ここで, MA, A。は, それぞれ第 1 象限. 第2 象限にあるとする。このと
き, 次の問に答えよ。
1. 円の中心Bおよび2 点Ai。 Az の座標を / を用いて表せ。さらに, 7 Ol
の範囲を求めよ。
2 r=4 のとき, 乙AiBA。 の大きさを求めよ。ただし, 0°< ZAiBA2 < 180°
とする。
3. 2. で求めた AiBA。 に対する弧 AVA, と放物線どで囲まれた図形の面積
を求めよ。
(4) Hots 1辺の長さが 2g の立方体がある。その立方体の4つの頂点が円
雛の底面にあり. 他の4 つの頂点は円名の側面にある。円雛の底面の半径を x
とするとき, 次の問に答えよ。
1. FROM h(x) を a, x を用いて表せ。
2. FSBO Vix) を a, x を用いて表せ。
3. FRO V(x) の最小値とそのときの x の値を a を用いて表せ。
4 FER OIKEE V(x) が最小となるとき. 立方体の表面積と円凶の表面積の比
を求めよ。
ョーー.の ee M5 (796—24)