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解答の原本PDF
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藤原進之介です。このページでは法政大学2009年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
とする。
における の最小値を、定数 の値で場合分けして求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
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- 問題PDF 9（全ページ）
解答
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- 解答PDF 2（全ページ）
- 解答PDF 3（全ページ）
- 解答PDF 4（全ページ）
- 解答PDF 5（全ページ）
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今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：2次関数の最小値を「軸の位置で場合分け」する型。平方完成して軸を見つけ、それが区間のどこにあるかだけを問う——場合分けの根拠はこれ1つです。
1. なぜその一手を選ぶのか
f(x) = x2 − 2ax + a2 + 5 は、前3項がそのまま (x − a)2 なので f(x) = (x − a)2 + 5 。軸は x = a、頂点の y は 5 と一目で分かります。
下に凸の放物線の最小値は、軸が区間の中にあれば頂点、外にあれば近いほうの端で取ります。だから場合分けは「軸 a が 2 より左か、2 以上 6 以下か、6 より右か」の3通りだけ。グラフを3枚描けば終わりで、計算はほとんど要りません。
2. 解答
- 平方完成：f(x) = (x − a)2 + 5 。軸は x = a 。
- (i) a < 2 のとき（軸が区間の左外）：区間内では単調増加なので、最小は左端 x = 2 。f(2) = (2 − a)2 + 5 。
- (ii) 2 ≦ a ≦ 6 のとき（軸が区間内）：頂点が区間に入るので最小は頂点の値 5 。
- (iii) a > 6 のとき（軸が区間の右外）：区間内では単調減少なので、最小は右端 x = 6 。f(6) = (6 − a)2 + 5 。
答え： a < 2 のとき (2 − a)2 + 5 ／ 2 ≦ a ≦ 6 のとき 5 ／ a > 6 のとき (6 − a)2 + 5
3. 検算
境界で繋がるか見る：a = 2 を (i) の式に入れると (2 − 2)2 + 5 = 5 で、(ii) の値と一致します。a = 6 でも同様。場合分けの答えは境界で必ず一致するので、ここがズレたら立式ミスです。この確認を省くと、不等号の向きを1つ間違えたまま提出することになります。
この型の一般化：「軸が動く・区間が固定」なら軸の位置で3分割、「軸が固定・区間が動く」なら区間の位置で3分割。最大値を聞かれたら分け方が変わる——下に凸の最大は区間の両端のうち軸から遠いほうなので、境界は区間の中点と軸の大小になり、2分割です。最小と最大で場合分けの境界が違うことを混同しないでください。第6章 関数で整理しています。
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- 法政大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
- 法政大学 国語の対策——現代文・古文を型で崩す手順
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法政大学 2009年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 確率・場合の数
- 関数・グラフ
- 微分・積分
- 方程式・不等式
- 整数
- 数列
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2009年度の問題PDFでは、図形・三角関数、確率・場合の数、関数・グラフ、微分・積分、方程式・不等式に関する語句や設問を確認できました。法政大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は29年度、微分・積分は29年度、方程式・不等式は29年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 方程式・不等式、確率・場合の数、関数・グラフ、図形・三角関数
(1) 放物線ッー*ー2ァ一1上にあり, 座標が7である点をPとし, 放物線
ッーァ?十83z十4上にあり, x座標がー#である点をQとする。ただし, 7は0
以上の実数の定数とする。
(1) PQの最小値とそのときの, の値を求めよ。
(12) 線分PQ を3 : 2 に内分する点の軌跡を図示せよ。
(I) 2個のさいころを同時に投げて, 2つの目え YORIX-Y| を確かめる。
それを以下のように最大 3 回おこなって得点が決められるものとする。
・ 1 回目で異なる目が出たときにはその差を得点として 2 回目と 3 回目は投げ
ず, 同じ目が出たときには得点を未定として 2 回目を投げる。
・2 回目で異なる目が出たときにはその差の 2 倍を得点として3 回目は投げ
ず, 同じ目が出たときには得点を未定として 3 回目を投げる。
+ 回目を投げたときには出た目の差の 4 倍を得点とする。
このとき, 得点が次のようになる確率をそれぞれ求めよ。
111 OR 2 4点 (3) 10点未満
(HW) *の2次方程式
**二g(5十1)x十(5十2)三0...(*)
について次の問いに答えよ。
(1) bD=1OES, (*)が実数解をもつような実数 z の値の範囲を求めよ。
(2) すべての実数 ) に対して(*) が実数解をもつような, 実数の値の範囲を求
めよ。
mee = ©M29(031—769)
ッーァ?十83z十4上にあり, x座標がー#である点をQとする。ただし, 7は0
以上の実数の定数とする。
(1) PQの最小値とそのときの, の値を求めよ。
(12) 線分PQ を3 : 2 に内分する点の軌跡を図示せよ。
(I) 2個のさいころを同時に投げて, 2つの目え YORIX-Y| を確かめる。
それを以下のように最大 3 回おこなって得点が決められるものとする。
・ 1 回目で異なる目が出たときにはその差を得点として 2 回目と 3 回目は投げ
ず, 同じ目が出たときには得点を未定として 2 回目を投げる。
・2 回目で異なる目が出たときにはその差の 2 倍を得点として3 回目は投げ
ず, 同じ目が出たときには得点を未定として 3 回目を投げる。
+ 回目を投げたときには出た目の差の 4 倍を得点とする。
このとき, 得点が次のようになる確率をそれぞれ求めよ。
111 OR 2 4点 (3) 10点未満
(HW) *の2次方程式
**二g(5十1)x十(5十2)三0...(*)
について次の問いに答えよ。
(1) bD=1OES, (*)が実数解をもつような実数 z の値の範囲を求めよ。
(2) すべての実数 ) に対して(*) が実数解をもつような, 実数の値の範囲を求
めよ。
mee = ©M29(031—769)
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、数列、確率・場合の数、整数、微分・積分
〔I〕. C1), GR)
文学部は[T [TL [文学部自]
経営学部は[1], (1), [経営学部自]
なお, 指定された問題以外は採点の対象としない。
[ ] 1から 15 までの数が 1 OT ORM Ne 15 枚の札から同時に 5 枚を取り出して
得られる 5 つの数について, 次の確率を求めよ。
(1) 5 つの数の最大公約数が 2 となる確率。
(2) 5 つの数の最小公倍数が 72 となる確率。
(I) ょと)に関する不等式
x+y? — 2ax—2m(a—2)y + (m?+1)a?—4m'a +2 (2m?—1)S0
の表す領域を ) とおく。ただし, aE mISKKOHRKETS,
(1) のの面積を求めよ。
(2) 1 とする。の値がー1ミz生3において変化するときにの通過す
る領域を図示し. その面積を求めよ。
(3) 不等式**二%ー6y十7仁0の表す領域をなとおく。c の値が実数全体に
おいて変化するときにのの通過する領域ととが共有点をもつような, MO
値の範囲を求めよ。
== i= M10(031—295)
〔法学部四]および[〔文学部和]
AB=3, AD三4である直方体ABCD-EFGH において, 球$が三角柱
ABC-EFG のすべての面に内接するとき, 次の問いに答えよ。
(1) 辺AE の長さを求めよ。
(2) 球$の中心と, 頂点F との間の距離を求めよ。
(3) 三角柱の 3 DOM ABFE, BCGF, EFG と, 球$のいずれにも接する球の半
径を求めよ。
(経営学部和]
{4計は初項2, 公差 3 の等差数列とする。 また. WH, 公比3の等比数列
の, 初項から第を項までの和を S, とおくとき, 次の問いに答えよ。
(1) {an} の第 Sy 項ををで表せ。
(2) {an} の第(S4-ュ十 1 )項から第 S, 項までの和をょで表せ。ただし, RZIE
する。
= BY M10 (031—296)
文学部は[T [TL [文学部自]
経営学部は[1], (1), [経営学部自]
なお, 指定された問題以外は採点の対象としない。
[ ] 1から 15 までの数が 1 OT ORM Ne 15 枚の札から同時に 5 枚を取り出して
得られる 5 つの数について, 次の確率を求めよ。
(1) 5 つの数の最大公約数が 2 となる確率。
(2) 5 つの数の最小公倍数が 72 となる確率。
(I) ょと)に関する不等式
x+y? — 2ax—2m(a—2)y + (m?+1)a?—4m'a +2 (2m?—1)S0
の表す領域を ) とおく。ただし, aE mISKKOHRKETS,
(1) のの面積を求めよ。
(2) 1 とする。の値がー1ミz生3において変化するときにの通過す
る領域を図示し. その面積を求めよ。
(3) 不等式**二%ー6y十7仁0の表す領域をなとおく。c の値が実数全体に
おいて変化するときにのの通過する領域ととが共有点をもつような, MO
値の範囲を求めよ。
== i= M10(031—295)
〔法学部四]および[〔文学部和]
AB=3, AD三4である直方体ABCD-EFGH において, 球$が三角柱
ABC-EFG のすべての面に内接するとき, 次の問いに答えよ。
(1) 辺AE の長さを求めよ。
(2) 球$の中心と, 頂点F との間の距離を求めよ。
(3) 三角柱の 3 DOM ABFE, BCGF, EFG と, 球$のいずれにも接する球の半
径を求めよ。
(経営学部和]
{4計は初項2, 公差 3 の等差数列とする。 また. WH, 公比3の等比数列
の, 初項から第を項までの和を S, とおくとき, 次の問いに答えよ。
(1) {an} の第 Sy 項ををで表せ。
(2) {an} の第(S4-ュ十 1 )項から第 S, 項までの和をょで表せ。ただし, RZIE
する。
= BY M10 (031—296)
問3画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、方程式・不等式、確率・場合の数、微分・積分、関数・グラフ
(1) 正しいマークの何 Q 悪いマークの例
| 枠外にはみださないこと。
| | Oでかこまないこと。
| 2 解答を訂正する場合は消しレゴムでよく消してから, あらためてマークするとと。 |
3. WEMBELOLKD, 折りまげたりしないこと。
4 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
srプル ーー M7 (031—148)
ーーリ
(数 学)
受験学部により, 解答する問題は以下の通り。
文学部は【T〕. (TI],〔文学部)
経営学部は〔T〕. CL), RAM)
なお, 指定された問題以外は採点の対象としない。
CI) 関数/x)=ニ|テー11ー 1| について, 次の問いに答えよ。
(1) 方程式/G)=ニ#がちょうど3 個の実数解をもつような実数をの値を求め
よ。
2) fst lel fe) = の実数解をすべて求めよ。
[ HI 〕 三角形ABCについて, 次の問いに答えよ。ただし, WBC, CA, ABの長さ
をそれぞれ2, b, <とおき, 外接円の半径をとおく。
(1) sim4ー simゼールー3のとき, <の値を求めよ。
Q ces4ニ=, cosB=t, < 5 のとき, と6の値を求めよ。
ー56一 のM7(031一203)
OCF AB ID
8 個のさいころを同時に投げて, HKAOMENETS.
(1) WVが偶数になる確率を求めよ。
(2) のとり得る値のうち, 奇数であるものは全部でいくつあるか。
(3) 2SNS9 となる確率を求めよ。
(経営学部和]
F(x)= 3x? + 2ax-@ EBS. KEL, は正の定数とする。
(1) 方程式/(*)三 0 が1より小さい 2 つの異なる実数解をもつようなogの値の
範囲を求めよ。
(2) 2が(1)の範囲にあるとき, げ(ヶ)三0 の解をZ,。 @とおく。ただし, egぐ8と
する。放物線ゞニア(x) と*軸とで囲まれた図形の面積を $, 放物線ゞ7(y)
のァ三8の部分とx軸および直線+ー 1 とで囲まれた図形の面積を7とおく
LS, アー $ のとり得る値の範囲を求めよ。
ー57 一 M7 (031—204)
| 枠外にはみださないこと。
| | Oでかこまないこと。
| 2 解答を訂正する場合は消しレゴムでよく消してから, あらためてマークするとと。 |
3. WEMBELOLKD, 折りまげたりしないこと。
4 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
srプル ーー M7 (031—148)
ーーリ
(数 学)
受験学部により, 解答する問題は以下の通り。
文学部は【T〕. (TI],〔文学部)
経営学部は〔T〕. CL), RAM)
なお, 指定された問題以外は採点の対象としない。
CI) 関数/x)=ニ|テー11ー 1| について, 次の問いに答えよ。
(1) 方程式/G)=ニ#がちょうど3 個の実数解をもつような実数をの値を求め
よ。
2) fst lel fe) = の実数解をすべて求めよ。
[ HI 〕 三角形ABCについて, 次の問いに答えよ。ただし, WBC, CA, ABの長さ
をそれぞれ2, b, <とおき, 外接円の半径をとおく。
(1) sim4ー simゼールー3のとき, <の値を求めよ。
Q ces4ニ=, cosB=t, < 5 のとき, と6の値を求めよ。
ー56一 のM7(031一203)
OCF AB ID
8 個のさいころを同時に投げて, HKAOMENETS.
(1) WVが偶数になる確率を求めよ。
(2) のとり得る値のうち, 奇数であるものは全部でいくつあるか。
(3) 2SNS9 となる確率を求めよ。
(経営学部和]
F(x)= 3x? + 2ax-@ EBS. KEL, は正の定数とする。
(1) 方程式/(*)三 0 が1より小さい 2 つの異なる実数解をもつようなogの値の
範囲を求めよ。
(2) 2が(1)の範囲にあるとき, げ(ヶ)三0 の解をZ,。 @とおく。ただし, egぐ8と
する。放物線ゞニア(x) と*軸とで囲まれた図形の面積を $, 放物線ゞ7(y)
のァ三8の部分とx軸および直線+ー 1 とで囲まれた図形の面積を7とおく
LS, アー $ のとり得る値の範囲を求めよ。
ー57 一 M7 (031—204)
問4画像OCR
検出分野: 微分・積分、関数・グラフ、確率・場合の数、図形・三角関数、方程式・不等式
(1) 正しいマークの例 (1220 悪いマークの例
|e gowanuee
枠外に| ださないこと。
|
2 解答を訂正する場合は.消レゴムでよく清してから. あらためてマークすること。
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
ms de 一 M19 (031—483)
(数 学)
受験学部により, 解答する問題は以下の通り。
経済学部は〔1], GERARD, [経済学部自〕
社会学部は【T), GERARD, [社会学部血]
スポーツ健康学部は〔T). 〔スポーツ健康学部T〕. 〔スポーツ健康学部息]
BS, 指定された問題以外は採点の対象としない。
CI) 0の位置から始めて, 数直線上を点が移動する。コインを投げて, 表が出た
5, 点は有(プラスの向き) に 1 動き, 裏が出たら, 点は左(マイナスの向き)に1
動く。
(1) コインを5 回投げたとき, 点が最後に 1 で止まる確率を求めよ。
Q) コインを5回投げたとき, 点が途中で少なくとも1回は 一1の位置にあ
り, 最後に 1 で止まる確率を求めよ。
(13 コインを7 回投げたとき, 点が途中で少なくとも1回は一1の位置にあ
り, かつ少なくとも 1 回は 2 の位置にあり, 最後に 1 で止まる確率を求めよ。
— 56一 - ぐM19(031一538)
(経済学部 〕および〔スポーツ健康学部]
2 次関数/(*)王gw*十婦十< について, つぎの問いに答えよ。ただし,
g> 0 とする。
(1) 任意の実数*. 4に対して, 不等式
Fath)-f@)ZSK (xh
が成立することを証明せよ。
(2) 7を任意の実数とする。ぇの関数
te — f(x)
を最大にする * とその最大値 z(7) を求めよ。
(3) を任意の実数とする。# の関数
サー (の
の最大値を 9(x) とするとき, g(x) ニア(*) となることを証明せよ。
〔経済学部 ルJおよび〔スポーツ健康学部息]
ヶ を自然数。S。 三光(1)* LTS,
(1) 数学的帰納法を用いて, つぎの等式を証明せよ。
Sunt Snr =(— 1)"*) (a +1)
(2) WS, を求めよ。
om Sf em M19(031—539)
〔祉会学部II]
原点O を中心とする半径1の円どがある。点 P(ヵ, g)を円Cの外部の点と
し, 点Pから円どへ 2 本の接線を引き, その接点を A, B とする。
(1) p=5, 9三5 とするとき, 2本の接線の方程式を求めよ。
2) A, Bを結ぶ線分の中点をR とするとき, 点R は直線 OP上にあることを示
せ。
(3) RPO, 9)が円*? y? = 36 上を動くとき, 2の点 R の軌跡を求めよ。
社会学部
半径77 の円に内接する台形ABCD において, AD / BC, ABC王60' CH
る。A から辺 BCに垂線を下ろし, BC との交点をH とするとき, つぎの問いに
答えよ。
(1) ACの長さを求めよ。また, AB=2/3 である台形ABCD の面積を求め
よ。
(12 AB=a, AD=DELT, 台形ABCD の面積をgo. 5を用いて表せ。ま
た, 台形ABCD の面積と三角形ACH の面積の比を最も簡単な形で表せ。
(3 台形ABCD の面積の最大値を求めよ。また, そのときの AB の長さを求め
a
— 58 — M19 (031—540)
|e gowanuee
枠外に| ださないこと。
|
2 解答を訂正する場合は.消レゴムでよく清してから. あらためてマークすること。
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
ms de 一 M19 (031—483)
(数 学)
受験学部により, 解答する問題は以下の通り。
経済学部は〔1], GERARD, [経済学部自〕
社会学部は【T), GERARD, [社会学部血]
スポーツ健康学部は〔T). 〔スポーツ健康学部T〕. 〔スポーツ健康学部息]
BS, 指定された問題以外は採点の対象としない。
CI) 0の位置から始めて, 数直線上を点が移動する。コインを投げて, 表が出た
5, 点は有(プラスの向き) に 1 動き, 裏が出たら, 点は左(マイナスの向き)に1
動く。
(1) コインを5 回投げたとき, 点が最後に 1 で止まる確率を求めよ。
Q) コインを5回投げたとき, 点が途中で少なくとも1回は 一1の位置にあ
り, 最後に 1 で止まる確率を求めよ。
(13 コインを7 回投げたとき, 点が途中で少なくとも1回は一1の位置にあ
り, かつ少なくとも 1 回は 2 の位置にあり, 最後に 1 で止まる確率を求めよ。
— 56一 - ぐM19(031一538)
(経済学部 〕および〔スポーツ健康学部]
2 次関数/(*)王gw*十婦十< について, つぎの問いに答えよ。ただし,
g> 0 とする。
(1) 任意の実数*. 4に対して, 不等式
Fath)-f@)ZSK (xh
が成立することを証明せよ。
(2) 7を任意の実数とする。ぇの関数
te — f(x)
を最大にする * とその最大値 z(7) を求めよ。
(3) を任意の実数とする。# の関数
サー (の
の最大値を 9(x) とするとき, g(x) ニア(*) となることを証明せよ。
〔経済学部 ルJおよび〔スポーツ健康学部息]
ヶ を自然数。S。 三光(1)* LTS,
(1) 数学的帰納法を用いて, つぎの等式を証明せよ。
Sunt Snr =(— 1)"*) (a +1)
(2) WS, を求めよ。
om Sf em M19(031—539)
〔祉会学部II]
原点O を中心とする半径1の円どがある。点 P(ヵ, g)を円Cの外部の点と
し, 点Pから円どへ 2 本の接線を引き, その接点を A, B とする。
(1) p=5, 9三5 とするとき, 2本の接線の方程式を求めよ。
2) A, Bを結ぶ線分の中点をR とするとき, 点R は直線 OP上にあることを示
せ。
(3) RPO, 9)が円*? y? = 36 上を動くとき, 2の点 R の軌跡を求めよ。
社会学部
半径77 の円に内接する台形ABCD において, AD / BC, ABC王60' CH
る。A から辺 BCに垂線を下ろし, BC との交点をH とするとき, つぎの問いに
答えよ。
(1) ACの長さを求めよ。また, AB=2/3 である台形ABCD の面積を求め
よ。
(12 AB=a, AD=DELT, 台形ABCD の面積をgo. 5を用いて表せ。ま
た, 台形ABCD の面積と三角形ACH の面積の比を最も簡単な形で表せ。
(3 台形ABCD の面積の最大値を求めよ。また, そのときの AB の長さを求め
a
— 58 — M19 (031—540)
問5画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、関数・グラフ、数列、整数
(1) 正しいマークの例 @ 悪いマークの例 |
je |
にはみださないこと。
|
2. 解答を訂正する場合は. 消しレゴムでよく症してから, あらためてマークすること。
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
si Les M13 (031-333)
(数 学)
受験学部により, 解答する問題は以下の通り。
経済学部は〔T], GERRI, CEERI)
社会学部は(T), (社会学部 GSA)
現代福祉学部は(T], [現代福視学部), (現代福視学部]
なお, 指定された問題以外は採点の対象としない。
CI) a, <は0. 1, 2, 3. 4のいずれかの値を5は1, 2, 38, 4, 5のい
ずれかの値をそれぞれ独立に確率--でとる。このとぎき, つぎの確率を求めよ。
(1) Sk ab <が成り立つ確率
(2) 不等式が一4gc0が成り立つ確率
8) WR ar? + bx + 0 = 0 RREME DISS LS 1 DB ORER
ht M13 (031—386)
[経済学部 LT 〕 ヵは自然数とする。 (a) は初項 」 =1, 公比/の等比数列,ただ
L, 7は実数とする。また, by nay $= TH ETS.
(D 7の= Srdr を求めよ。
2 2(7ニ= [Sidr とする。 fe) をg (2) で割った余りを求めよ。
(33) 5。をヵ ヶで表せ。ただし, ヶ地1 とする。
[経済学部 四] へABCにおいて, 外接円の半径が1, 辺BCの長さが/2, また
ABの大きさをそれぞれ4, ぢとする。cos(4 B= でであるとき,
つぎの値を求めよ。
(1) 辺ABの長き
2 4の値
(3) sinB
— ーー M13 (031—387)
〔社会学部 〕)および[現代福祉学部L] 放物線:ッニーと放物線
Priy=— va —2bx— cH, 放物線 P。の頂点は放物線,、上にあるも
のとする。
(1) 5とcが満たす式を求めよ。
Q) ニー 2 のときアとで囲まれる領域をのとする。点(xyゅ)がのを動く
とき, Bx ty の最大値と最小値を求めよ。
8) 戸とP,が2つの交点をもつとき, その交点を結ぶ線分の中点を Q とする。
放物線 P, の頂点が放物線 」 上を動くとき, 点 Q の軌跡を求めよ。
〔社会学部四]および[【現代福祉学部四〕] AB=3, BCニ8.6の長方形
ABCD の紙がある。 この長方形の紙からつぎのそれぞれの条件を満たすように
三角形を切りとるとき, 各問いに答えよ。
A D
.
aaa
B Q (8
(1) 面積が最大となる三角形を切りとる :
辺AB上(ただしBを除く)に点P 辺BC上(ただしCを除く)に点Q, 辺
CD 上(ただしD を除く) に点 R をとる。BPニx。BQ ニッCR 王々として,
三角形 PQR OME x, vy, z を用いて表せ。また, 三角形PQR の面積が最大
となるときの, x の値およびその最大値を求めよ。
(7 辺の長さが 3 の正三角形を5 枚切りとる :
切りとり方およびそれが可能な理由を示せ。
— 56 - ぐM13(031一388)
je |
にはみださないこと。
|
2. 解答を訂正する場合は. 消しレゴムでよく症してから, あらためてマークすること。
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
si Les M13 (031-333)
(数 学)
受験学部により, 解答する問題は以下の通り。
経済学部は〔T], GERRI, CEERI)
社会学部は(T), (社会学部 GSA)
現代福祉学部は(T], [現代福視学部), (現代福視学部]
なお, 指定された問題以外は採点の対象としない。
CI) a, <は0. 1, 2, 3. 4のいずれかの値を5は1, 2, 38, 4, 5のい
ずれかの値をそれぞれ独立に確率--でとる。このとぎき, つぎの確率を求めよ。
(1) Sk ab <が成り立つ確率
(2) 不等式が一4gc0が成り立つ確率
8) WR ar? + bx + 0 = 0 RREME DISS LS 1 DB ORER
ht M13 (031—386)
[経済学部 LT 〕 ヵは自然数とする。 (a) は初項 」 =1, 公比/の等比数列,ただ
L, 7は実数とする。また, by nay $= TH ETS.
(D 7の= Srdr を求めよ。
2 2(7ニ= [Sidr とする。 fe) をg (2) で割った余りを求めよ。
(33) 5。をヵ ヶで表せ。ただし, ヶ地1 とする。
[経済学部 四] へABCにおいて, 外接円の半径が1, 辺BCの長さが/2, また
ABの大きさをそれぞれ4, ぢとする。cos(4 B= でであるとき,
つぎの値を求めよ。
(1) 辺ABの長き
2 4の値
(3) sinB
— ーー M13 (031—387)
〔社会学部 〕)および[現代福祉学部L] 放物線:ッニーと放物線
Priy=— va —2bx— cH, 放物線 P。の頂点は放物線,、上にあるも
のとする。
(1) 5とcが満たす式を求めよ。
Q) ニー 2 のときアとで囲まれる領域をのとする。点(xyゅ)がのを動く
とき, Bx ty の最大値と最小値を求めよ。
8) 戸とP,が2つの交点をもつとき, その交点を結ぶ線分の中点を Q とする。
放物線 P, の頂点が放物線 」 上を動くとき, 点 Q の軌跡を求めよ。
〔社会学部四]および[【現代福祉学部四〕] AB=3, BCニ8.6の長方形
ABCD の紙がある。 この長方形の紙からつぎのそれぞれの条件を満たすように
三角形を切りとるとき, 各問いに答えよ。
A D
.
aaa
B Q (8
(1) 面積が最大となる三角形を切りとる :
辺AB上(ただしBを除く)に点P 辺BC上(ただしCを除く)に点Q, 辺
CD 上(ただしD を除く) に点 R をとる。BPニx。BQ ニッCR 王々として,
三角形 PQR OME x, vy, z を用いて表せ。また, 三角形PQR の面積が最大
となるときの, x の値およびその最大値を求めよ。
(7 辺の長さが 3 の正三角形を5 枚切りとる :
切りとり方およびそれが可能な理由を示せ。
— 56 - ぐM13(031一388)
問6画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、整数、微分・積分
(1)
(]) 直線ヵー2*二|ア| は= [4] において放物線タニー*9十2*十8と接す
る。
(2) 2D@OthBy = |x? -2e- 3) Ly =|2e +a] (Zは定数)が 3 つの共有点
をもつときの の値は小さい順に - [5], - |[エ| , [a]. となる。
(3) 2つの曲線ッー|z?ー2x一3| Ly =|4x +b] (》 は定数)が 2 つの共有点
をもつのは1 ミ |キ| または1 = |ク| のときである。
ただし, |キ] [2 については以下のつこ9からそれぞれ1 つを選べ。
© -16 © -12 @ -s @ -4
@ -2 @ 0 © 2 © 4
の2 8 ® 12 9 16
っ A ome M15 (031—410)
Gt 算 用 紙)
— 5 — M15 (031-411)
(0)
人AABC の 3 つの角の大きさを4. B, Cで表し. それらの角の対する辺の
長きをそれぞれg, 6, <で表すとき,g寺5十c王3十372,
sin4十sinガー sinCが成り立つものとする。また, AABC の面積をSと
する。
(1 <=レ| ces.
Q) $をで表すと
ee Ee
MEEIEEMEEコEZ
tno, イレ| 2たき 5は最大仁王 をとる。
(3 $=2simでのとき, ab = | セ| となり. sail Ci aad
Oa M15 (031—412)
Gt 算 用 a)
ご ー M15 (031—413)
(]) 直線ヵー2*二|ア| は= [4] において放物線タニー*9十2*十8と接す
る。
(2) 2D@OthBy = |x? -2e- 3) Ly =|2e +a] (Zは定数)が 3 つの共有点
をもつときの の値は小さい順に - [5], - |[エ| , [a]. となる。
(3) 2つの曲線ッー|z?ー2x一3| Ly =|4x +b] (》 は定数)が 2 つの共有点
をもつのは1 ミ |キ| または1 = |ク| のときである。
ただし, |キ] [2 については以下のつこ9からそれぞれ1 つを選べ。
© -16 © -12 @ -s @ -4
@ -2 @ 0 © 2 © 4
の2 8 ® 12 9 16
っ A ome M15 (031—410)
Gt 算 用 紙)
— 5 — M15 (031-411)
(0)
人AABC の 3 つの角の大きさを4. B, Cで表し. それらの角の対する辺の
長きをそれぞれg, 6, <で表すとき,g寺5十c王3十372,
sin4十sinガー sinCが成り立つものとする。また, AABC の面積をSと
する。
(1 <=レ| ces.
Q) $をで表すと
ee Ee
MEEIEEMEEコEZ
tno, イレ| 2たき 5は最大仁王 をとる。
(3 $=2simでのとき, ab = | セ| となり. sail Ci aad
Oa M15 (031—412)
Gt 算 用 a)
ご ー M15 (031—413)
問7画像OCR
検出分野: 整数、確率・場合の数
(1)
1 から 10k COBMETACHARMESBA, HAG=1, 2, ...。10)
の数を g, とする。さらに, g: gi+ュである7 (1SiS9) OMREr FS,
たとえば. 順列
1 3 5 8 10 2 4 6 7 9
に対してはァヶー1, 順列
3 5 8 10 2 4 6 1 7 9
に対してはァヶー 2 である。
WM a=1, a=3, a=6, gp王10である順列は | アイウ | 通り存在す
る。
Q 4ー1,ァー1である順列は | エオ | 通り存在する。
8) a=1, a=10, r=2 である眼列は | カキク | 通り存在する。
4 10, gzキ1 ァー2 cH Sona | ケコサ | 通り存在する。
= = M21 (031—562)
Gt & 用 紙)
MM M21 (031—563)
(Hi)
PO)ELOBREL, Pxdes7-1 CHOKES ORO Mx +7,
P(*)をやー3xー4で割ったときの余りが — 3x4 10であるとする。
(D) ア@を*%ー5z十4で割ったときの余りをwwとすると, a=[F],
2 = |イレ| であぁる. EK, PW) Ex 5x44 CHORES ORDE
な二すとすると, e=[9], 4= |エ| cas.
ただし, [ア| ~ |[エ| については, 以下の6-9からそれぞれ1つを選
© 0 1 1 @ 2 @ 3 @ 4
© 5 © -1 7 -2 ® -3 9 -4
」 ((T〕の問題は次ページに続く。)
= 6 = M21 (031—564)
(2) ぁを正の整数とする。 (P(*)}* を2ー5ァ十4で割ったときの余りは
|| + B+ S| -- B
である。また, BPG) Ex? — 5ェ二4で割ったときの余りは
rat
yl +c |
である。
rev, |ヶ| [| については, 以下の106て9からそれぞれ1つを選
べ。
Ok @ k+1 2 rt+2 @ kt+3 4 k+4
5 k+5 © ぁー1 @ k-2 8 k-3 @Rr-4
ik ean M21 (031—565)
1 から 10k COBMETACHARMESBA, HAG=1, 2, ...。10)
の数を g, とする。さらに, g: gi+ュである7 (1SiS9) OMREr FS,
たとえば. 順列
1 3 5 8 10 2 4 6 7 9
に対してはァヶー1, 順列
3 5 8 10 2 4 6 1 7 9
に対してはァヶー 2 である。
WM a=1, a=3, a=6, gp王10である順列は | アイウ | 通り存在す
る。
Q 4ー1,ァー1である順列は | エオ | 通り存在する。
8) a=1, a=10, r=2 である眼列は | カキク | 通り存在する。
4 10, gzキ1 ァー2 cH Sona | ケコサ | 通り存在する。
= = M21 (031—562)
Gt & 用 紙)
MM M21 (031—563)
(Hi)
PO)ELOBREL, Pxdes7-1 CHOKES ORO Mx +7,
P(*)をやー3xー4で割ったときの余りが — 3x4 10であるとする。
(D) ア@を*%ー5z十4で割ったときの余りをwwとすると, a=[F],
2 = |イレ| であぁる. EK, PW) Ex 5x44 CHORES ORDE
な二すとすると, e=[9], 4= |エ| cas.
ただし, [ア| ~ |[エ| については, 以下の6-9からそれぞれ1つを選
© 0 1 1 @ 2 @ 3 @ 4
© 5 © -1 7 -2 ® -3 9 -4
」 ((T〕の問題は次ページに続く。)
= 6 = M21 (031—564)
(2) ぁを正の整数とする。 (P(*)}* を2ー5ァ十4で割ったときの余りは
|| + B+ S| -- B
である。また, BPG) Ex? — 5ェ二4で割ったときの余りは
rat
yl +c |
である。
rev, |ヶ| [| については, 以下の106て9からそれぞれ1つを選
べ。
Ok @ k+1 2 rt+2 @ kt+3 4 k+4
5 k+5 © ぁー1 @ k-2 8 k-3 @Rr-4
ik ean M21 (031—565)
問8画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、数列、方程式・不等式、確率・場合の数、関数・グラフ
(1) [必答問題]つぎの問いの答えをそれぞれの解答杉に書き入れよ(答えのみでよ
We
(1) (2+ /6 の小数部分をィとするとき, (Ze) + EC
を求めよ。
12 34次方程式(%%ーゃ(22ー2ァー1)三6を解け。
(3) 2sin29一5cos9一4詞0を満たす9の範囲求めよ。ただし, 0S0<
2とする。
4) 3個のさいころを同時に投げるとき, 目の和が 6 となる確率を求めよ。
5) 実数g, bc, 9がg?十のニーc?二プー1, act bd=adt be =0 SHE
TER, Mabed の値を求めよ。
© 3, a, 5がこの順で等比数列となり, a, b, 18 がこの順で等差数列となる
ような., 実数ヶ. b OM (a, 9) をすべて求めよ。
17 ゅ=ニー3z2十2z十6, <ニャィ十1とする。 1生生7のとき, t=logsy
ー 2 1ogsz のとり得る値の範囲を求めよ。
ー2 一 ぐM24(031一625)
(1) [青択問題]つぎの問題〔A〕. (B), 〔C〕より 2 問を選んで答えよ。選択する問
題記号を解和用紙の | | 内に明記すること。ただし, 答えだけでなく。 途中経
通も必ず示せ。
(A) 関数/(*)ニァ*?ー2ァ一g?十1 について, 次の問いに答えよ。ただし, a
は0 ミgミ1を満たす定数とする。
(1) gzニ1 のとき, ッーリ/(*) | のグラフをかけ。
(の 5ー/ 7 1 とおくとき, Sをgで表せ
(3) 前問2の.$ について, そのとり得る値の範囲を求めよ。
(B) 座標平面において. 2点0(0, 0), ACB, 3)からの距離の比が1 : 1
である点の軌跡を C, とし, EKO, A からの距離の比が 1 : 2 である点の
軌跡を C, とする。
(1) のとC。 の方程式をそれぞれ求めよ。
2) KA を通る直線のうち, C。 とちょうど1 つの共有点をもつものすべて
について, その方程式および C との共有点の座標を求めよ。
(3) 線分OAを2 : 3に内分する点をBとおく。前問2の条件を満たすす
べての直線と C」 および C。 を境界線として座標平面全体を分けて得られ
る領域のうち, 点 B の属する領域の面積を求めよ。
(C] 1辺の長さが6 の正四面体0ABC において, 辺OA を1 : 3に内分する
MED, 辺OBを2 : 3に内分する点をE, 辺BCを1 : 2に内分する点を
FEDS. Ek, 線分 AE と線分 BD の交点を G とする。
(1) 0Gを0AとOB で表せ。
Q) 三角形 OFG の面積を求めよ。
(13) 線分OF上の点Hが, AOCH ニ AFGH を満たすとき, OHをOBと
OC で表せ。
—3= M24 (031—626)
We
(1) (2+ /6 の小数部分をィとするとき, (Ze) + EC
を求めよ。
12 34次方程式(%%ーゃ(22ー2ァー1)三6を解け。
(3) 2sin29一5cos9一4詞0を満たす9の範囲求めよ。ただし, 0S0<
2とする。
4) 3個のさいころを同時に投げるとき, 目の和が 6 となる確率を求めよ。
5) 実数g, bc, 9がg?十のニーc?二プー1, act bd=adt be =0 SHE
TER, Mabed の値を求めよ。
© 3, a, 5がこの順で等比数列となり, a, b, 18 がこの順で等差数列となる
ような., 実数ヶ. b OM (a, 9) をすべて求めよ。
17 ゅ=ニー3z2十2z十6, <ニャィ十1とする。 1生生7のとき, t=logsy
ー 2 1ogsz のとり得る値の範囲を求めよ。
ー2 一 ぐM24(031一625)
(1) [青択問題]つぎの問題〔A〕. (B), 〔C〕より 2 問を選んで答えよ。選択する問
題記号を解和用紙の | | 内に明記すること。ただし, 答えだけでなく。 途中経
通も必ず示せ。
(A) 関数/(*)ニァ*?ー2ァ一g?十1 について, 次の問いに答えよ。ただし, a
は0 ミgミ1を満たす定数とする。
(1) gzニ1 のとき, ッーリ/(*) | のグラフをかけ。
(の 5ー/ 7 1 とおくとき, Sをgで表せ
(3) 前問2の.$ について, そのとり得る値の範囲を求めよ。
(B) 座標平面において. 2点0(0, 0), ACB, 3)からの距離の比が1 : 1
である点の軌跡を C, とし, EKO, A からの距離の比が 1 : 2 である点の
軌跡を C, とする。
(1) のとC。 の方程式をそれぞれ求めよ。
2) KA を通る直線のうち, C。 とちょうど1 つの共有点をもつものすべて
について, その方程式および C との共有点の座標を求めよ。
(3) 線分OAを2 : 3に内分する点をBとおく。前問2の条件を満たすす
べての直線と C」 および C。 を境界線として座標平面全体を分けて得られ
る領域のうち, 点 B の属する領域の面積を求めよ。
(C] 1辺の長さが6 の正四面体0ABC において, 辺OA を1 : 3に内分する
MED, 辺OBを2 : 3に内分する点をE, 辺BCを1 : 2に内分する点を
FEDS. Ek, 線分 AE と線分 BD の交点を G とする。
(1) 0Gを0AとOB で表せ。
Q) 三角形 OFG の面積を求めよ。
(13) 線分OF上の点Hが, AOCH ニ AFGH を満たすとき, OHをOBと
OC で表せ。
—3= M24 (031—626)
問9画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、図形・三角関数、空間図形
(1)
ae mmっ 4@ 41 =
(0)を定数とし, 2 次関数ッニーーラーーテ1のグラフをCとする。
以下の空欄に入れるのに最も適切なものを解答群から選べ。
(1]) Cは4の値を変えてグラフを描くと. LA >. pt
。
交わる。
(2) Cがx軸と交わるとき, sean O Raa づ- となるのはcの値が小さい方か -
5 = 6S Hs.
© 9 © 1 @ 2 @ 3 @ 4
@ 5 6 6 @7 ® 8 @ 9
10 一
3) Cの頂点のx座標は = CHS.
@ 0 1 1 @ 2
@a @ 2a ® 4a :
6 2g+1 @ 4at+1 ® a+
9 2a°+1 @ 4a°+1 @ 4a°-1
® 4a°+2a4+1
ー2 一 M26 (031一656)
4 Cの頂点が*軸上にあるとき, =a baw このときのグラフ
eC とする。
6) CORREO, 一1)に移動したときのグラフは
SS 2 1 SS 1
である。
[=] ~ Ee] onset
@6 9 1 1 @ 2 8 3 @4
© 5 © 6 の 7 ® 8 © 9
10 一
mom GS っ M26 (031—657)
LT]
図のように正方形ABCD を 9等分し. 1 9 のマス目のそれぞれを白いタイ
ルか黒いタイルで埋めていろいろな模様をつくる。以下の空欄に入れるのに最も
適切なものを解答若から選べ。
p c
Bon
Ba |
BEE
A B
() 底辺をAB とするとき全部で 通りの模様がある。
2) (において左右対称な模様は 通りである。
(3 正方形ABCD を時計まわり(話)に 90度回転し底辺を BC とするときに, も
とと同じに見える模様は 通りである。
(4) 正方形ABCD を 180度回転し底辺を CD とするときに, もとと同じに見え
る模様は | コサシ | 通りである。 -
Po RI M26 (031一658)
@ 0 1 1 2 2 @ 3 @ 4
© 5 © 6 @7 ® 8 © 9
（続きは問題PDFで確認できます）
ae mmっ 4@ 41 =
(0)を定数とし, 2 次関数ッニーーラーーテ1のグラフをCとする。
以下の空欄に入れるのに最も適切なものを解答群から選べ。
(1]) Cは4の値を変えてグラフを描くと. LA >. pt
。
交わる。
(2) Cがx軸と交わるとき, sean O Raa づ- となるのはcの値が小さい方か -
5 = 6S Hs.
© 9 © 1 @ 2 @ 3 @ 4
@ 5 6 6 @7 ® 8 @ 9
10 一
3) Cの頂点のx座標は = CHS.
@ 0 1 1 @ 2
@a @ 2a ® 4a :
6 2g+1 @ 4at+1 ® a+
9 2a°+1 @ 4a°+1 @ 4a°-1
® 4a°+2a4+1
ー2 一 M26 (031一656)
4 Cの頂点が*軸上にあるとき, =a baw このときのグラフ
eC とする。
6) CORREO, 一1)に移動したときのグラフは
SS 2 1 SS 1
である。
[=] ~ Ee] onset
@6 9 1 1 @ 2 8 3 @4
© 5 © 6 の 7 ® 8 © 9
10 一
mom GS っ M26 (031—657)
LT]
図のように正方形ABCD を 9等分し. 1 9 のマス目のそれぞれを白いタイ
ルか黒いタイルで埋めていろいろな模様をつくる。以下の空欄に入れるのに最も
適切なものを解答若から選べ。
p c
Bon
Ba |
BEE
A B
() 底辺をAB とするとき全部で 通りの模様がある。
2) (において左右対称な模様は 通りである。
(3 正方形ABCD を時計まわり(話)に 90度回転し底辺を BC とするときに, も
とと同じに見える模様は 通りである。
(4) 正方形ABCD を 180度回転し底辺を CD とするときに, もとと同じに見え
る模様は | コサシ | 通りである。 -
Po RI M26 (031一658)
@ 0 1 1 2 2 @ 3 @ 4
© 5 © 6 @7 ® 8 © 9
（続きは問題PDFで確認できます）
