大阪大学 2015年度 過去問・解答

※ 問題文は大阪大学が公表した2015年度前期日程の入学試験問題を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した公式解答ではありません。

第1問（配点率30%）不等式の証明

分野：三角関数／不等式の証明　難易度：標準　目標時間：20分

第1問　 の証明

【型】 と がセットで出たら と置く

【なぜこうするか】
式の中に と が同時に現れています。これは とまったく同じ形の関係で、 と置けば になり、根号が消えるのです。
このとき角の範囲を に取るのがポイントで、こうすると が保証され、 と絶対値を外すところで場合分けが不要になります。
置き換えたあとは、目標が 、つまり「何かの2乗で、しかも1以下」ですから、 を の形に因数分解できないかを狙います。実際、加法定理の を2乗した形がぴったり現れます。

より、

とおくことができる。このとき だから

である。よって は

ここで前半3項をまとめる。 を2つに分けて配ると

となるから

すなわち

は実数であり だから、その2乗について

したがって が成り立つ。（証明終）

【定石】置き換えを使わない直接証明も可能です。左側は 右側は と2乗の和に書けることを示せば終わりです。ただしこの分解を「思いつく」のは難しいので、本番では 置換のほうが確実です。

【よくあるミス】 と無条件に書いてしまうこと。正しくは であり、 と範囲を宣言してはじめて と外せます。範囲を に取るなら と置くこと。置換と角の範囲はセットで書くと減点されません。

第2問（配点率35%）円と放物線の共通接線・面積

分野：図形と方程式／積分　難易度：標準　目標時間：25分

第2問(1)　共通接線を決定する

【型】円との接触は「中心と直線の距離＝半径」、放物線との接触は「判別式＝0」

【なぜこうするか】
「接する」という同じ日本語でも、相手が円か放物線かで立てるべき式が変わります。
円は「中心からの距離が半径に等しい図形」という定義そのものがあるので、点と直線の距離の公式を使うのが最短です。連立して判別式でもできますが、計算量が増えます。
放物線には「距離＝一定」という便利な性質がないので、素直に連立して重解条件（判別式＝0）を使います。
この2式を連立すれば未知数2つ が決まる、という設計です。
なお を消去する方向で進めると の2次方程式になり、きれいに解けます。

(i) と接する条件。 と を連立して

これが重解をもてばよいから、判別式について

(ii) と接する条件。 を と書く。中心 と の距離が半径 に等しいので

(2)より だから、これを(3)に代入して

のとき(2)より 、すなわち となり に反する。
のとき(2)より 、 より 。

このとき(1)は となり、接点の 座標は である。

【定石】共通接線の問題では接点をおく解法（ 上の点 における接線を作り、それが円に接する条件を書く）も有効です。どちらでも解けますが、「接線の本数」まで問われたら接点パラメータ で管理するほうが安全です。

【よくあるミス】距離の公式を使うとき、直線を のまま代入して分母を と書き忘れる／分子を ではなく にする符号ミス。必ず と「＝0」の形に直してから公式に入れましょう。また の条件を最後に確認せず の両方を答えてしまうミスも頻出です。

第2問(2)　囲まれた図形の面積

【型】接する直線と2次曲線の差は必ず の形になる

【なぜこうするか】
面積は「上の関数－下の関数」を積分するだけですが、差の式を展開してから積分してはいけません。
は に で接しているので、差「（直線）－（放物線）」は を重解にもつ2次式、つまり必ず の形になります。
この形のまま を使えば、展開も因数分解も不要で一発です。
積分区間は、左端が接点 、右端が 軸すなわち です。

区間 において は の上側にある（接点以外では が上）。求める面積を とすると

被積分関数は(1)の左辺の 倍だから、 を重解にもち

より

【定石】いわゆる「1/3公式」：放物線 とその接線が囲む図形（接点から まで）の面積は （ は接点の 座標） 本問なら で 。検算に使えます。

【よくあるミス】円 も図に描かれているため、円の分を引かなければいけないと勘違いすること。問われているのは「、、 軸で囲まれた図形」であり、円は無関係です。また を や としてしまう計算ミスも多いので注意。

第3問（配点率35%）円と三角形の面積の最大・ベクトル表示

分野：図形と計量／ベクトル　難易度：標準〜やや難　目標時間：30分

第3問(1)　 の面積を で表す

【型】直径に対する円周角は 。二等辺三角形と組み合わせて角を に集約する

【なぜこうするか】
面積を出すには2辺とその間の角があれば十分（）。ここでは 、、 を で書くのが目標です。
まず AB は直径なので 。よって直角三角形 PAB から 、条件より がすぐ出ます。
残るのは と 。ここで効くのが が二等辺三角形だという条件です。頂角が なので底角は 。
すると となり、円周角の定理（弧 BR に対する角）から 。
AR も再び直径 AB に対する円周角 を使えば 。これで材料がそろいます。
「直径を見たら 」を2回使うのがこの問題の骨格です。

AB は円 の直径だから 。直角三角形 PAB において

また は の二等辺三角形で頂角が だから

よって

弧 BR に対する円周角は等しいから

さらに AB は直径だから であり、直角三角形 RAB において

Q は線分 AB 上にあるので 。したがって の面積 は

だから

【定石】円の問題で長さを求めるときは、直径に対する円周角＝ を最優先で探すこと。直角三角形さえ作れれば、長さは 一発で書けます。本問では と の2つが直角三角形になっています。

【よくあるミス】 を だと思ってしまうこと。R は P と AB について反対側にあるので、 です。図を正確に描き、P と R が直線 AB の反対側にあることを確認してから角度を拾いましょう。

第3問(2)　面積最大時の

【型】2倍角で最大値を出す → 具体的な が決まったら座標を設定して成分計算

【なぜこうするか】
(1)の は2倍角の公式で と書けます。 すなわち なので、 が最大となるのは 、つまり のときです。
ここからが後半戦。 が具体的な値に確定したら、無理に幾何的な議論を続けず、座標を入れてしまうのが最短かつ最も安全です。A を原点、AB を 軸にとれば、P も R もただの点になり、 は連立1次方程式に落ちます。
と は平行でない（P は直線 AB 上にない）ので、この表し方はただ一通りに定まります。

最大となる 。2倍角の公式より

より であり、。等号は 、すなわち

座標の設定。A を原点、直線 AB を 軸の正の向きにとり、P が 軸の上側にあるとしてよい。すなわち

のとき だから

R の座標。直線 PQ 上の点を、P を始点として の実数倍で表す（ は実数）：

これが円 上にある条件は

を代入して整理すると

は点 P に対応するから、R に対応するのは

このとき

よって

（実際 で、確かに円 上にある。）

ベクトルで表す。 は平行でないから、 と一意に表せる。成分を比べて

第2成分より 。第1成分に代入して

したがって

【定石】座標を使わない純ベクトル解法も知っておくと強いです。 のとき は直角二等辺三角形で、AB に関する P の対称点を とすると四角形 は正方形。 で R は の二等分線上にあるので と書け、、および すなわち から が定まります。「角の二等分線＝単位ベクトルの和の実数倍」は頻出の型です。

【よくあるミス】(1)の答えを に直さず、 のまま微分して混乱すること。積の形を見たら2倍角で1つの にまとめるのが定石です。もう一つは、R の 座標を正としてしまうミス。R は P と AB の反対側なので 、したがって の係数は負になります。