藤原進之介です。このページでは静岡大学1997年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：「2辺の長さ＋その挟角」が与えられた型。面積なら sin、内積なら cos。使い分けはそれだけで、公式を2つ覚える必要はありません。
1. なぜその一手を選ぶのか
与えられているのは |OA| = 10 、|OB| = 12 、挟角 135° の3つ。2辺と挟角が揃った瞬間に、面積も内積も確定します——どちらも「2辺の積 × 挟角の三角比」の形だからです。
内積の図形的な意味は「|OA| × （OB を OA の向きに落とした影の長さ）」です。今回は挟角が 135° の鈍角なので、影は OA と逆向きに伸びます。だから内積は負になります。
2. 解答
- 面積：S = 12 |OA||OB| sin 135° = 12 × 10 × 12 × √22 = 30√2 。
- 内積：OA · OB = |OA||OB| cos 135° = 10 × 12 × −√22 = −60√2 。
答え： 面積 = 30√2 、 OA · OB = −60√2
3. 検算（符号と大きさを別々に見る）
符号：面積は必ず正。内積は挟角が鋭角なら正、鈍角なら負、直角なら 0。今回は 135° = 鈍角なので内積は負で、答えの符号と合っています。
大きさ：内積の絶対値は |OA||OB| = 120 を超えません（cos の絶対値が 1 以下だから）。また sin 135° = sin 45° なので、面積は挟角 45° のときと同じ値になります。
この型の一般化：成分が与えられて挟角が分からない場合は、先に内積を成分計算し、S = 12 √( |OA|²|OB|² − (OA·OB)² ) を使います。角を求めてから面積に行くのは遠回りです。始点の置き方と式の読み方は第8章 ベクトル、平面に落とす判断は第9章 空間図形で扱っています。
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静岡大学の数学の過去問は24年度ぶんを公開しています。そのうち1年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
静岡大学 1997年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- ベクトル
- 整数
- 空間図形
- 図形・三角関数
- 指数・対数
- 数列
- 微分・積分
- 方程式・不等式
この年度の出題範囲と傾向
1997年度の問題PDFでは、ベクトル、整数、空間図形、図形・三角関数、指数・対数に関する語句や設問を確認できました。静岡大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は23年度、微分・積分は23年度、整数は19年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 整数、ベクトル、空間図形、図形・三角関数
(2) 11のょの範囲において, 円1と直線2が 2 点で交わるようにんが動くと
き, 直線2の通りうる領域を図示せよ。 6
(配点 25 %)
[2] 次の問いに答えよ。
(1) 正の整数 m が奇数のとき, w* は 8 で割ると1余ることを示せ。
(2) 互いに素な正の整数!, と正の整数ヵ々がだ二 2 = nr を満たしている。
このとき7 と 7 のいずれか一方は偶数で, 他方は奇数となることを示せ。
(配点 25 %)
| 3 | 2次可s+gr+ち0 は, ?2つの突数角 e、 8(gく2) をもつとす
る。このとき, 次の問いに答えよ。
a ak E に
(0 [Cat + gr + bax ニーバ(2と)* であることを示せ。
@) (es Trらち)dzニ0 となる 7(?く8) を @,8 を用いて表せ。
(配点25%)
素数>に関する等式
fzetiltl|z2-i] =2JS2 oD
について, 次の問いに答えよ。
() <が1を半たすとき, = も1を満たすことを示せ。
(2) z=xtyi が1を満たすとき,、ゅ=ニツ2x+キは|ゅ|ニマ2 を満たす
ことを示せ。
(Bs 25 96)
旧教育課程履修者用選択問題(新教育課程履修者は選択できません。)
At=B, AXE (BL X2の単位行列) を満たす行列 4 THEN |
る座標平面上の 1 次変換を考える。このとき, 次の問いに答えよ。 |
(1) ADS が となるベクトル p KML, ベクトル9, m neG= |
Ap. m=PEL, B= p- MERCER, ベクトル 4 およ |
UAn Emme n を用いて表せ。
(2) この1次変換によって点 (1, 2 ) が点 (2,ー 1) に移されるとき,
行列 4 を求めよ。
(配点25 %)
問2画像OCR
検出分野: ベクトル、空間図形、指数・対数、図形・三角関数、数列
2) (1のをの範囲において円〇と直線2が 2 点で交わるようにたが動くとき,
直線2の通りうる領域を図示せよ。
(配点 25 %)
[2] wate. 1% ga = 1. es) <tr as — rages (r>0。
1さぁミー1)を満たしているとき, 次の問いに答えよ。
(1) 一般項g。 をとo, を用いて表せ。
(20 ay=0D2%, a, を求めよ。
(配点25%)
[3] 次の問いに答えよ。ただし, MMAAMMETS,
(1) 曲線ッー 1og x, 直線* = 2ゾ2 およびx軸によって囲まれた部分 S の面
積を求めよ。
(2) (1)で定めた部分ぐさをy 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。
(3) 曲線ターlog x(1ミァSミ2?)の長さを求めよ。
(配点 25 %)
HK 2 DIF 5 HL
Jztiltle—i|] =2V2 D
について, 次の問いに答えよ。
人1 >が1を満たすとき, z も1を満たすことを示せ。
(2 >ニャ二yjが1を満たすとき,ゅーヅ2x十ygは|ニダ2 を満たす
ことを示せ。
3 (配点25 %)
旧教育課程履修者用選択問題(新教育課程必修者は選択できません。)
A2=E, AXE (EUk2 X2の単位行列)を溢たす行列 4 で表される
座標平面上の 1 次変換を考える。このとき, 次の問いに答えよ。
(0 4きのとなるベクトルp に対し,。 ベクトル99, m neqa
| Ap, カーーのテテーー遍とおくとき, ベクトル AMBE
UWAn&eme n を用いて表せ。
(2) この1 次変換によって点 (1, 2 ) が点 (2.一1) に移されるとき,
・ 行列4を求めよ。
. (配点 25 %)