東京農工大学 2017年度 過去問・解答

東京農工大学2017年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

[1][1] 平行条件と整数条件を同時に満たす m, n

整数 m, n について AB = (n − m − 2, −n − 2m − 3, 0)、OC = (8, 9, 0) とします。AB ≠ 0、OC ≠ 0 かつ AB // OC、さらに m + n ≧ 100 のもとで m が最小となるときの m, n を求めます。

平行条件を式にする

2つのベクトルが平行 ⇔ 一方が他方の実数倍。実数 k を用いて AB = k·OC と書けます。

(n − m − 2, −n − 2m − 3, 0) = (8k, 9k, 0)

成分ごとに

n − m − 2 = 8k　…①
−n − 2m − 3 = 9k　…②

①+② で n が消えて −3m − 5 = 17k、すなわち

m = (−17k − 5)/3

①に戻して n = 8k + m + 2 = 8k + (−17k − 5)/3 + 2 = (24k − 17k − 5 + 6)/3

n = (7k + 1)/3

m + n ≧ 100 から k の範囲を出す

m + n = (−17k − 5 + 7k + 1)/3 = (−10k − 4)/3 ≧ 100

−10k − 4 ≧ 300　⇔　−10k ≧ 304　⇔　k ≦ −30.4

m, n が整数になる条件

m, n が整数 ⇔ −17k − 5 と 7k + 1 がともに3の倍数。

3で割った余りで考えると −17 ≡ 1、−5 ≡ 1（mod 3）なので

−17k − 5 ≡ k + 1（mod 3）

また 7 ≡ 1 なので 7k + 1 ≡ k + 1（mod 3）。どちらも同じ条件に帰着します。

条件は k + 1 が3の倍数、すなわち k を3で割った余りが2。

2つの条件が結果的に同じものになる — こういうときは「片方だけ確かめれば十分」と気づけると時間が節約できます。係数を mod 3 に落として比べるのがコツです。

m を最小にする k を決める

m = (−17k − 5)/3 で k の係数は −17/3 < 0。したがって m は k について減少関数で、m が最小になるのは k が最大のときです。

条件は「k ≦ −30.4」かつ「k を3で割った余りが2」。

−30.4 以下で3で割ると2余る最大の整数を探します。−31 = 3 × (−11) + 2 ✓ で −31 ≦ −30.4 を満たします。次に大きい −28 は −30.4 より大きく不適。

k = −31

m, n を求める

m = {−17 × (−31) − 5}/3 = (527 − 5)/3 = 522/3 = 174

n = {7 × (−31) + 1}/3 = (−217 + 1)/3 = −216/3 = −72

検算：m + n = 174 − 72 = 102 ≧ 100 ✓
AB = (n − m − 2, −n − 2m − 3, 0) = (−72 − 174 − 2, 72 − 348 − 3, 0) = (−248, −279, 0)。
OC = (8, 9, 0) の −31 倍は (−248, −279, 0) ✓ 確かに平行です。

この年の学習ポイント

ベクトルの問題に見えますが、実質は整数問題です。手順は次のとおり。

(あ) 平行条件を「実数倍」で表し、成分比較で連立方程式にする
(い) 媒介変数 k で m, n を表す
(う) 不等式条件から k の範囲を絞る
(え) 整数条件を合同式（mod）に翻訳する
(お) 単調性から最適な k を選ぶ

特に (え) の「分数が整数 ⇔ 分子が分母の倍数」という言い換えと、(お) の「m は k の減少関数だから、m の最小は k の最大」という判断が要点です。

「範囲の条件」と「整数の条件」の両方を満たす最大値を探すとき、まず範囲で上限を出し、そこから条件を満たすものを下向きに探すという進め方を身につけてください。

東京農工大学2017年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。