山梨大学 2024年度 過去問・解答

山梨大学2024年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

[1](1) 漸化式で定まる数列の和と、その極限

a₁ = 2、a_n+1 = (1/2)a_n + 3 で定まる数列 {a_n} について、S_n = Σ_k=1ⁿa_k と lim_n→∞(S_n/n) を求めます。

一般項を求める

特性方程式 x = (1/2)x + 3 を解くと x = 6。したがって

a_n+1 − 6 = (1/2)(a_n − 6)

{a_n − 6} は初項 a₁ − 6 = −4、公比 1/2 の等比数列なので

a_n − 6 = −4 · (1/2)ⁿ⁻¹ = −(1/2)ⁿ⁻³

（4 = (1/2)⁻² なので、4 × (1/2)ⁿ⁻¹ = (1/2)ⁿ⁻³ とまとめられます。）

検算：n = 1 で 6 − (1/2)⁻² = 6 − 4 = 2 ✓　n = 2 で 6 − (1/2)⁻¹ = 6 − 2 = 4。漸化式からも a₂ = 2/2 + 3 = 4 ✓

和 S_n

S_n = Σ_k=1ⁿ{6 − (1/2)^k−3} = 6n − Σ_k=1ⁿ(1/2)^k−3

後半は初項 (1/2)⁻² = 4、公比 1/2 の等比数列の和なので

= 6n − 4 · {1 − (1/2)ⁿ}/(1 − 1/2) = 6n − 8{1 − (1/2)ⁿ} = 6n − 8 + 8(1/2)ⁿ

8(1/2)ⁿ = (1/2)ⁿ⁻³ なので

極限

S_n/n = 6 − 8/n + (1/n)(1/2)ⁿ⁻³。n → ∞ のとき第2項も第3項も 0 に収束するので

a_n → 6 なので、その平均も 6 に近づく — 直感どおりの結果です。「数列が α に収束するなら、平均も α に収束する」という一般的な性質（チェザロ平均）の一例になっています。

[1](2) 三角関数による置換積分

∫₀¹ dx/(x² + x + 1) を求めます。

分母を平方完成する

x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4

これは (何か)² + (正の定数) の形なので、tan の置換が使えます。

x + 1/2 = (√3/2)tanθ とおく

両辺を微分して dx = (√3/2) · (1/cos²θ)dθ = √3/(2cos²θ) dθ。

積分区間の対応を確認します。

被積分関数を書き換える

分母は (3/4)tan²θ + 3/4 = (3/4)(tan²θ + 1) = (3/4) · 1/cos²θ

（1 + tan²θ = 1/cos²θ を使いました。）したがって

∫ 1/{(3/4)(1/cos²θ)} · √3/(2cos²θ) dθ = ∫ (4/3)cos²θ · √3/(2cos²θ) dθ

cos²θ がきれいに約分されて、被積分関数は定数 2√3/3 になります。

= (2√3/3)∫_π/6^π/3dθ = (2√3/3)[θ]_π/6^π/3 = (2√3/3)(π/3 − π/6) = (2√3/3)(π/6)

1/(x² + a²) 型の積分は x = a tanθ と置換するのが定石です。1 + tan²θ = 1/cos²θ のおかげで分母と dx の cos²θ が打ち消し合い、必ず定数の積分に帰着します。
公式として ∫dx/(x²+a²) = (1/a)arctan(x/a) + C と覚えておくと、この問題は a = √3/2 として (2/√3){arctan(√3) − arctan(1/√3)} = (2/√3)(π/3 − π/6) = (2/√3)(π/6) = √3π/9 ✓ と即答できます。

この年の学習ポイント

(1) は漸化式・等比数列の和・極限の基本を一本につないだ問題。特性方程式で等比型に直すという第一歩さえ踏めれば、あとは流れ作業です。

(2) は置換積分の典型で、「分母を平方完成して形を見極める」のが出発点です。

(x + p)² + q²（q > 0）の形 → tan で置換
q² − (x + p)² の形 → sin で置換

この2つの使い分けを、平方完成の結果から即座に判断できるようにしておいてください。

山梨大学2024年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。