藤原進之介です。このページでは会津大学2010年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：「2辺の長さ＋その挟角」が与えられた型。面積なら sin、内積なら cos。使い分けはそれだけで、公式を2つ覚える必要はありません。
1. なぜその一手を選ぶのか
与えられているのは |OA| = 4 、|OB| = 10 、挟角 135° の3つ。2辺と挟角が揃った瞬間に、面積も内積も確定します——どちらも「2辺の積 × 挟角の三角比」の形だからです。
内積の図形的な意味は「|OA| × （OB を OA の向きに落とした影の長さ）」です。今回は挟角が 135° の鈍角なので、影は OA と逆向きに伸びます。だから内積は負になります。
2. 解答
- 面積：S = 12 |OA||OB| sin 135° = 12 × 4 × 10 × √22 = 10√2 。
- 内積：OA · OB = |OA||OB| cos 135° = 4 × 10 × −√22 = −20√2 。
答え： 面積 = 10√2 、 OA · OB = −20√2
3. 検算（符号と大きさを別々に見る）
符号：面積は必ず正。内積は挟角が鋭角なら正、鈍角なら負、直角なら 0。今回は 135° = 鈍角なので内積は負で、答えの符号と合っています。
大きさ：内積の絶対値は |OA||OB| = 40 を超えません（cos の絶対値が 1 以下だから）。また sin 135° = sin 45° なので、面積は挟角 45° のときと同じ値になります。
この型の一般化：成分が与えられて挟角が分からない場合は、先に内積を成分計算し、S = 12 √( |OA|²|OB|² − (OA·OB)² ) を使います。角を求めてから面積に行くのは遠回りです。始点の置き方と式の読み方は第8章 ベクトル、平面に落とす判断は第9章 空間図形で扱っています。
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会津大学の数学の過去問は12年度ぶんを公開しています。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
問題PDFをテキストでも確認
会津大学 2010年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 微分・積分
- 方程式・不等式
- ベクトル
- 関数・グラフ
- 指数・対数
- 図形・三角関数
- 空間図形
- 整数
この年度の出題範囲と傾向
2010年度の問題PDFでは、微分・積分、方程式・不等式、ベクトル、関数・グラフ、指数・対数に関する語句や設問を確認できました。会津大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は12年度、微分・積分は11年度、関数・グラフは8年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 微分・積分、方程式・不等式、ベクトル、関数・グラフ、指数・対数
(1) 次の積分を求めよ。ただし, 積分定数は省略してもよい。
(0 /zegxg=[イ|
(i) /smxeoszg=[| ロ |
@ y=¥2x-Toee, 2-[_] でぁゃ。
(8) 方程式2“ー!4*2ー8*での解は*ー である。
(4 APB logs (x 5)ニ2 一 logs(x +3) の解は*ー である。
©) 2直線ヶー3*とヶー-のなす角を9とするとき, tan92=| へ |
である。ただし, 0<O<- EFS,
(6) 座標平面上で次の連立不等式
居 +lyl <2
ty? 22
の表す領域の面積は である。
G@t HA ©
ーー OM2 (899-33)
Gt & 用 紙)
= 2 M2 (699-34)
36 b
exorntina~ (7 j.e-(? | ccprromWk和きた
6 6
REL, ヶ を自然数とし, a#0, D40ETS,
() ABM! を求めよ。
@ Ua») ews. [Co]
8 3
(3) P(ABTM!)* = [ | が成り立つとき, 行列のを求めよ。
Gt 算 用 ©
= 3 M2 (899-35)
Gt 算 用 紙)
ーー一 M2899一36)
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@ 2ONybWE=U, 2), BHC, 38)について, |2at eB) td
‘= のとき最小値 | ロ | をとる。
Q) 零ベクトルでない 2 つのベクトル4, 5 について, |2a+ tbl tt
『 一| ハ | のとき最小値| ニ | をとる。
計算 用 ®
ー 5 — M2 (899-37)
計算 用 紙)
ー 6 >一 ぐM2(899一38)