藤原進之介です。このページでは福島大学2015年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：順列の中で「特定の位置に条件がつく」型。条件のついた場所から先に埋めるのが鉄則です。空いた場所から埋めると、後で数え直しになります。
1. なぜその一手を選ぶのか
1 から 7 までのうち奇数は 4 個（1, 3, …）、偶数は 3 個です。条件は「両端がともに奇数」なので、制約が乗っているのは両端の 2 か所だけ。ここを先に決めてしまえば、残りは何の制約もない普通の順列になります。
逆に「まず 6 個選んでから並べる」と考えると、選んだ組み合わせごとに両端に置ける奇数の個数が変わってしまい、場合分けが増えます。「条件の重い場所から」——これがこの型の判断です。
2. 解答
- 両端を決める：左端に奇数 4 通り、右端は残りの奇数から 3 通り。順序を区別するので 4 × 3 = 12 通り。
- 真ん中の 4 か所を埋める：使える数字は残り 5 個で、そこから 4 個を並べるので 5P4 = 120 通り。
- 積の法則より 12 × 120 = 1,440 通り。
答え： 1,440 通り
3. 検算
全体の並べ方は 7P6 = 5,040 通りなので、答えはこれより小さくなければおかしい。1,440 < 5,040 で条件を満たします。また両端がともに奇数になる確率はおよそ (4/7)×(3/6) ≒ 0.286 で、1,440 ÷ 5,040 ≒ 0.286 と一致します。
この型の一般化：「両端」「隣り合う」「特定の位置」といった場所に関する条件が出たら、その場所を先に固定して残りを自由順列にします。逆に「少なくとも」「含まれない」といった個数に関する条件が出たら、余事象か組み合わせで先に選んでから並べる方が速い。どちらの型かの見分け方は第13章 場合の数で整理しています。
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福島大学の数学の過去問は16年度ぶんを公開しています。そのうち1年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
問題PDFをテキストでも確認
福島大学 2015年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 関数・グラフ
- 微分・積分
- 方程式・不等式
- 指数・対数
- 数列
- 整数
- ベクトル
この年度の出題範囲と傾向
2015年度の問題PDFでは、図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分、方程式・不等式、指数・対数に関する語句や設問を確認できました。福島大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は16年度、微分・積分は16年度、方程式・不等式は12年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、図形・三角関数、方程式・不等式、指数・対数、整数
f(a)=|xl-+|e-1]+le-2| (一1ミミzミ3)
2 fx = 10 のとき, logip + loginy の最大値を求めなさい。
(3) 了7(の)=ニ5sinの9一12cos9 (0ミ9ミ2z) の最大値および最小値を求めな
さい。
[| xomucexmar,
(1) 次の等式が成り立つことを示しなさい。
cos39ニ4cos?9一3cos9
(2) cos 54° の値を求めなさい。
(3) 頂点と重心との距離がァの正石角形の面積を求めなさい。
ー22一 MI(201一23)
次の問いに答えなさい。
1) 8AM x + pr +q=0D3 00K a, 8, y とする。
@ ヵ gをeg, 8, 7を用いて表しなさい。
(D) @B +a’? +P ep, 9を用いて表しなさい。
(2 次の式を因数分解しなさい。
a(y —2z) + y(z—x) + 28 (x —y)
RO 2 つの曲線のどちらにも接する直線の方程式 = ar +d を求めなさい。
y= 2843
— 23 一 M1 (201—24)
実数*をこえない最大の整数を[x]とし, (<) ニェー[x]とする。また, a BE
数として次の方程式を考える。
4 (x)? = (2x)-a=0
ただし, (x)? k(x) の二乗を表すとする。
(1) *=1.7 のとき(ヶ) および(2 *) を求めなさい。
(2) gが上の方程式の解ならば, 任意の整数 ヵ についてoe十ヵも解でもることを
示しなさい。
(3) 上の方程式が解を持つような実数 の範囲を求めなさい。
ー24一 ぐM1201一95)
問2画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、図形・三角関数、微分・積分、指数・対数、方程式・不等式
プ(《16)=ニllテー11キレー2| (-15%83)
(2) vx ty = 10 のとき, lognx + logny の最大値を求めなさい。
(3) 了(の)=5sin9一12cos9 (0ミ9ミ2z) の最大値および最小値を求めな
さい。
[x] 次の問いに答えなさい。
(1) 次の等式が成り立つことを示しなさい。
cos394cos?9一 3cos9
(2) cos 54° の値を求めなさい。
(3) 頂点と重心との距離がァ の正五角形の面積を求めなさい。
ー 25 一 ぐM1(201一26)
次の問いに答えなさい。
(1) 当 衣をRめなさい。
Pa
p
ax
の 定本分 コー一を求めなさい。
(3) 曲線ヶ=ソ2ー1 の1szS2の部分をヶ軸のまわりに回転してできる回
転体の体積を求めなさい。
(4) 曲線ッニォe*十 1の*ニ1に対応する点における接線と法線の方程式を求め
なさい。
空間に4点0(0,0,0), A(1,0,0), BCO,1, 0), C(0,0.一1)がある。
() SRA. B Cを通る平面々の方程式を求めなさい。
(2 平面に垂直になるように原点 0から直線を引いたとき, 平面との交点
の座標を求めなさい。
(3 AABC の面積を求めなさい。
(4) 四面体OABC の体積を求めなさい。
ー326 一 M1 (201—27)
次の問いに答えなさい。
(1) 関数7(*)が
fae? t+ [sp @sintat
をみたすとき, f(@A)EROEREV,
(2) 等式
7の=gャリル 7のamig
をみたす関数7(*)は存在しないことを示しなさい。
ー27 一 M1 @01—28)
問3画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、指数・対数、数列
EEだ
(12 次の不等式を解きなさい。
logas(x +5) < 2logas(x — 1)
8) 次の関数を微分しなさい。
a (-2)G@—-3)
= x—1
(4 次の定積分を求めなさい。
[pie
0 9—x
[a] 3RAC.4), BH1,0), C2, 7を通る2次関数ッニ(の上に
APD. FP) MHS, KIEL, 一 2 くのミー 1 とする。このとき, 次の問いに
答えなさい。
() (な) を求めなさい。
(2) 三角形ACP の面積をかの式で表しなさい。
8) 三角形ACPの面積が最大となる点Pの座標を求めなさい。
ーー = やM4(201一72)
第ヶ項が
ーーー 12,8)
で表される数列 {c。}がある。この数列の第 1 項から第 ヵ BECOME S, で表す
EX, 次の問いに答えなさい。
(1) ヵ計2のとき, $,。をヵの式で表しなさい。また, So の値を求めなさい。
@ s=2 2 の倍を求めなさい。
三角形OAB の辺 0A, AB, BO を共通の比及igに内分する点を, それぞ
れ. R, P、Qとする。OA を4. OBを?) とするとき, 次の問いに答えなさい。
(1) OP, 0Q ORE, それぞれ. m a, a 5 を用いて表しなさい。
@ IGR (Pl? off, BEG, 内積 QR・QP を, それぞれ, m nad
を用いて表しなさい。
@) 三角形0ABの重心Gと三角形PQR の重心HHが一致することを示しなさ
い。
waeの ae ぐM4(201一73)