学習院大学 2024年度 過去問・解答

学習院大学2024年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

問1　条件つき最小値を「解の存在条件」に翻訳する

x > 0 の実数 x, y が (x + 2y)(x − y) = 2 を満たすとき、x + y の最小値と、そのときの (x, y) を求めます。

方針：x + y = k とおいて、「k が実現できる条件」に読み替える

求めたいのは x + y の最小値なので、x + y = k とおきます。すると問題は

「条件を満たす (x, y) が存在するような k の最小値はいくつか」

という解の存在条件の問題に変わります。

1文字を消去して2次方程式にする

y = k − x を (x + 2y)(x − y) = 2 に代入します。

{x + 2(k − x)}{x − (k − x)} = 2　⇔　(2k − x)(2x − k) = 2

展開して整理すると

4kx − 2k² − 2x² + kx = 2　⇔　2x² − 5kx + 2k² + 2 = 0　…①

f(x) = 2x² − 5kx + 2k² + 2 とおくと、求める条件は

f(x) = 0 が x > 0 の実数解をもつこと

解の配置を調べる

判別式は

D = (5k)² − 4·2·(2k² + 2) = 25k² − 16k² − 16 = 9k² − 16

軸は x = 5k/4、f(0) = 2k² + 2。

下に凸の放物線が x > 0 で x 軸と交わる条件は、次のいずれかです。

[A] f(0) < 0（原点で負なら、必ず正の側に解が1つある）
[B] D ≧ 0 かつ 軸 > 0 かつ f(0) ≧ 0（2解とも正）

ここで f(0) = 2k² + 2 > 0 は k によらずつねに成立するので、[A] は起こりえません。したがって [B] を調べます。

D ≧ 0 ⇔ 9k² − 16 ≧ 0 ⇔ k ≦ −4/3 または k ≧ 4/3
軸 > 0 ⇔ 5k/4 > 0 ⇔ k > 0

両方を満たすのは

k ≧ 4/3

最小値と、そのときの (x, y)

k = x + y のとりうる値の範囲が k ≧ 4/3 なので、最小値は 4/3。

このとき D = 0 で重解になります。①に k = 4/3 を代入すると

2x² − (20/3)x + 50/9 = 0　⇔　x² − (10/3)x + 25/9 = 0　⇔　(x − 5/3)² = 0

x = 5/3（> 0 を満たす）。y = k − x = 4/3 − 5/3 = −1/3。

検算：(x + 2y)(x − y) = (5/3 − 2/3)(5/3 + 1/3) = (3/3)(6/3) = 1 × 2 = 2 ✓　x + y = 5/3 − 1/3 = 4/3 ✓　x = 5/3 > 0 ✓　すべての条件を満たしています。

この年の学習ポイント

この問題の核心は「最大・最小を、解の存在条件に読み替える」という発想です。

(あ) 求めたい量を k とおく
(い) 条件式と連立し、1文字を消去して方程式にする
(う) 「その方程式が（指定された範囲に）解をもつ k の範囲」を求める
(え) その範囲の端が最大・最小

この手法は逆像法と呼ばれ、「相加相乗が使えない」「微分すると煩雑」という場面で威力を発揮します。

そして (う) で使うのが解の配置の条件です。下に凸の2次関数が x > 0 に解をもつ条件は

f(0) < 0（またぐ場合）または D ≧ 0 かつ 軸 > 0 かつ f(0) ≧ 0（両方正の場合）

この問題では f(0) > 0 が自動的に成り立つため、前者が消えて場合分けが1つになりました。条件を書き出したあと、自明に成立・不成立のものを先に整理すると、見通しが良くなります。

学習院大学2024年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。