一橋大学 2007年度 過去問・解答

※ 問題文は一橋大学が公表した平成19年度（2007年度）前期日程入学試験問題を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した一般的な解答例そのものではありません。作成にあたっては大学公表の解答と全9設問を突き合わせて一致を確認し、さらに は の全数探索で数式処理により整数解を判定、 は厳密分数での第12項までの逐次計算、 は数式処理による記号積分、 は300万点の数値走査、 は から までの 通り全数列挙で独立に検算しています。

整数解をもつ 3 次方程式と共役な虚数解

分野：複素数と方程式・整数　難易度：やや難　目標時間：22分

(1)　条件をみたす をすべて求める

【型】実数係数だから虚数解は共役とペア。残り 1 つは実数解 → 解と係数の関係で 3 本の式

【なぜこうするか】
まず「実数係数の方程式が虚数解 をもてば、共役 も解」という基本事実を使います。3 次方程式なので、残る 1 つの解は必ず実数。これを とおくと、解と係数の関係が 3 本立ちます。

　……（和）

　……（積）

ここで と実数になるのがポイント。和の式から 、これを積の式に入れると

整数どうしの積が ——この形に持ち込めれば勝ちです。しかも より なので 、つまり両方とも正の約数に限られます。
あとは の約数の組を全部調べ、 が正の平方数になるかを確認するだけ。 は残りの関係式（2 つずつの積の和）から求まります。

解と係数の関係。実数係数なので が解なら共役 も解。残る解を実数 とおくと

	解と係数の関係	整理すると
和
2 つずつの積の和
積

和の式より 。これを積の式に代入して

より だから 。よって は積が となる正の整数の組：

各組について を出し、 が正の平方数になるかを調べる。

				判定
1	30			×（平方数でない）
2	15			×
3	10			〇（）
5	6			×
6	5			〇（）
10	3			×
15	2			×
30	1			×

それぞれの 。 に代入する。

• ：、
• ：、

したがって

検算。 を から まで動かし、数式処理で の解を求めて「実部・虚部がともに整数で虚部が でない解」をもつ を探したところ、該当したのは と の 2 つだけ ✓

【定石】実数係数の方程式の虚数解は共役とペア／3 次方程式なら残り 1 つは実数解。 が実数になることを利用して、解と係数の関係を整数の積の形に持ち込むのが王道です。

【よくあるミス】 の根拠（ より ）を書かず、負の約数の組まで調べて時間を失うこと。また が平方数かどうかの確認を怠り、（）などを解に含めてしまうこと。

(2)　各 に対する方程式の解

【型】(1) で実数解 と虚数解 がすでに出ている——因数分解で確認して書き下す

【なぜこうするか】
(1) の過程で3 つの解がすべて求まっています。 と 。したがって (2) はそれを整理して書くだけ。
ただし答案としては、実際に因数分解して確かめるのが親切です。虚数解 を解にもつ 2 次式は

（和が 、積が ）。これと の積が元の 3 次式になることを確認すれば、計算ミスも同時に検出できます。

のとき。虚数解は 、実数解は 。実際

で、 を解くと 。よって

のとき。虚数解は 、実数解は 。実際

で、 を解くと 。よって

検算。数式処理による因数分解の結果は および で、解はそれぞれ 、 ✓　また定数項の確認として ✓、 ✓（積の式 と整合）。

【定石】虚数解 をもつ 2 次式は 。3 次式を と（その2次式）の積 と書いて展開して係数が合うか確認すれば、それが最良の検算になります。

【よくあるミス】 の を反映せず、解を 1 つだけ書くこと。虚数解は必ず 2 つ（共役ペア）です。また ごとに解が違うので、両方の について書くのを忘れないように。

3 つの数列で作る放物線と 軸との交点

分野：数列・2次方程式（判別式）　難易度：やや難　目標時間：22分

(1)　 が 軸と 2 点で交わること

【型】判別式 を作って漸化式に代入すると ——一般項は不要

【なぜこうするか】
素直にやるなら の一般項をすべて求めて判別式を計算——ですが、 の一般項がかなり面倒（ という 2 種類の等比が混ざった漸化式になります）。
そこで発想を変えます。本当に必要なのは だけ。ならば 自体の漸化式を作ってしまえばよい：

これを展開すると も もきれいに打ち消し合って だけが残ります。つまり は によらず一定。
なので、すべての で 。あとは （2 次関数であること）を確認すれば完成です。
「一般項を求めずに、必要な量の漸化式だけ作る」——この発想は数列の問題で非常に強力です。

準備。 より 。とくに なので は放物線である。

判別式の漸化式。（、すなわち判別式の ）とおくと

右辺を展開すると

よって は によらず一定。初項は

したがってすべての で 。判別式が正だから、 は 軸と異なる 2 点で交わる。（証明終）

検算。漸化式から を厳密分数で第 12 項まで計算し、 を求めると から まですべて ✓　参考までに （）、（）となっています。

【定石】必要な量（判別式・内積・面積など）そのものの漸化式を作れないか考える。一般項を全部求めるより圧倒的に速いことが多い。 と の係数が偶数の形なら、 を使うのが定石です。

【よくあるミス】 の一般項を求めようとして時間を溶かすこと（求まりますが不要）。また （放物線であること）の確認を落とすこと—— なら「 軸と 2 点で交わる」は成立しません。

(2)　

【型】2 解の差 。ここでは となり等比数列の和に

【なぜこうするか】
の 2 解は

（(1) で と分かっているので、根号が外れてきれいな形になります。）
2 点間の距離は 座標の差だから

なので ——公比 の等比数列！ あとは等比数列の和の公式そのままです。
(1) で判別式を求めさせた意味が、ここで効いてくる構成になっています。

2 次方程式 の 2 解は、(1) より だから

よって（ に注意して）

したがって、初項 、公比 の等比数列の和として

検算。厳密分数で を計算すると で確かに公比 ✓　部分和は

	1	2	3	4	5	6
直接の和
公式の値

すべて厳密に一致 ✓　 では に収束します。

【定石】2 次方程式の 2 解の差は （ 軸との 2 交点間の距離）。 型なら 。(1) の結果を (2) でそのまま使うのが誘導問題の基本姿勢です。

【よくあるミス】2 解の差を としてしまうこと（解の公式の分母 に引きずられがち）。正しくは差なので 。 で を実際に確かめると安全です（ の 2 解は で差は ✓）。

放物線と線分で囲まれた面積・三角形の面積比

分野：積分（面積）・2次関数の最大　難易度：標準　目標時間：20分

(1)　面積が 倍となる の関係

【型】線分 OQ と の面積は 公式で 。 は

【なぜこうするか】
まず は原点を通る（）ことに注目。だから直線 OQ の傾きは と簡単に出ます。
線分 OQ と で囲まれた面積は

（ 公式：。ここでは 。） が消えるのが気持ちいいところ。
一方 は原点を頂点にもつので 。展開するとここでも が消えて 。
両方から も約分できるので、残るのは だけの2 次同次式——因数分解で終わります。

2 つの面積。、。直線 OQ は だから、線分 OQ と で囲まれた部分の面積 は

また の面積 は

（ より正。）

条件式。 より

で割って整理すると

これを について因数分解して

よって

（どちらも を満たす。）

▲ 線分 OQ と で囲まれた部分（水色、面積 ）と、（緑）。図は （(2) の最大となる位置）で作図。 は によらず一定なのがポイント。

検算。数式処理で を計算すると （ を含まない）✓　条件式 を で割ると と因数分解され、 について解くと 、すなわち ✓

【定石】原点を通る放物線と原点を通る直線で囲む面積は 公式で一発（ が消える）。原点を頂点とする三角形の面積は 。両方から共通因子（ここでは と ）を約分すると、式が一気に軽くなります。

【よくあるミス】 の因数分解で を などと誤ること。定数項の が になることを確認しましょう。また答えを で表すか で表すかを明示しないと減点されます。

(2)　 が最大となる と面積比

【型】 は の 2 次関数——平方完成で

【なぜこうするか】
(1) で求めた を、「 は定数、 が変数」と見直します。 は定数なので

は の下に凸でない（上に凸の）2 次関数。平方完成して

なので、 で最大。 なので変域内にあり、これが答えです（幾何的には「P が弦 OQ から最も遠い点」＝接線が OQ に平行になる点）。
比のほうは、 が に依存しないので、最大値 と並べるだけ。 の比は通分して 。
なお という値はアルキメデスの「放物線の切片の面積は内接三角形の 倍」という古典的な定理そのものです。

最大となる 。 を固定すると、 において

だから、（これは を満たす）で最大となり、そのとき

面積比。(1) より （これは によらない）だから

したがって 、面積比は 。

検算。数式処理で を で微分して零点を求めると ✓　そのときの 、比 ✓　（ も も消えて純粋な比になるのが、この問題の設計の妙です。）

【定石】「一方を固定して他方を動かす」なら、動かすほうの文字の関数と見る。2 次関数なら平方完成。放物線の弦と、それに平行な接線の接点で三角形の面積が最大——そのとき「弓形の面積 : 三角形の面積 」は覚えておく価値のある比です。

【よくあるミス】 が に依存すると思い込み、 を代入し直そうとすること（ は O と Q だけで決まります）。また比を と逆に書くこと——問われている順序（ が先）を確認しましょう。

における 3 次関数の最大値

分野：微分（3次関数の最大値・場合分け）　難易度：やや難　目標時間：22分

　最大値が となる

【型】 の 2 つの零点 の大小で場合分け。候補は「極大値」と「端点 」の 2 つだけ

【なぜこうするか】
まず微分します。

零点は と 。3 次の係数が正なので、 で 。したがって での最大値は「極大値」か「右端 」のどちらかです。
極大値がどこに来るかは の符号で変わります。

• （）： で極大、 で極小。候補は と
• ： で単調増加。最大は
• （）： で極大、 で極小。候補は と

必要な値は 3 つだけ：、、。
大切なのは「候補が 2 つあるとき、どちらが最大かを判定してから とおく」こと。いきなり などとすると、実は極大値のほうが大きかった、という誤答になります。

準備。。 となるのは 。必要な値は

(i) のとき。 より は単調増加。 での最大値は で不適。

(ii) のとき。 なので で極大、 で極小。 での最大値は か 。ここで

• ：最大値は 。 はこの範囲を満たす → 適
• ：最大値は より 。これは に反し不適

(iii) のとき。 なので で極大、 で極小。 での最大値は か 。ここで

なので、これは （または 、ただし今は ）と同値。

• ：最大値は 。整理すると 、因数分解して 。2 次の因子は判別式 で実数解をもたないから 。これは を満たす → 適
• ：最大値は より 。これは に反し不適

以上より

▲ のときのグラフ。 で極大値 、 で極小値 、右端 。緑の縦線 より左側での最大値がちょうど になっている。

検算（300万点の数値走査）。 を から まで 300 万分割して の最大値を求めると

	での最大値（数値）	最大を与える	判定
	105.000000		〇
	105.000000		〇
	2734.000751		×（105 ではない）
	1.000000		×

と だけが最大値 105 を与える ✓　 では確かに極大値 のほうが圧倒的に大きく、不適である理由が数値でも確認できます。因数分解 も数式処理で確認済み ✓

【定石】3 次関数の「範囲つき最大値」は、候補を（極大値）と（端点の値）に絞ってから大小比較。比較の不等式が因数分解できないかを必ず試すこと（本問は ときれいに割れます）。3 次方程式は整数解を代入で探す（ は の約数から見つかります）。

【よくあるミス】極大値と端点の大小比較をせず、両方について を解いて両方とも答えにしてしまうこと。 は「そのとき本当に が最大か」を確かめると弾かれます。また のとき極大が （負の側）に来ることを見落とすこと。

3 回の抽出で決まる得点 の確率

分野：確率（場合の数の整理・2次関数の最大）　難易度：やや難　目標時間：24分

(1)　 を と で表す

【型】「3 数すべて異なる」「ちょうど 2 つが等しい」「3 つとも等しい」の 3 つに排反に分けて数える

【なぜこうするか】
の総数は 通り（元に戻すので重複あり）。 となる場合を、重複の有無で排反に分類します。
ポイントは「3 つのカードで重複するのは高々 1 種類」ということ。だから (ii) の「重複した値」は一意に定まり、あいまいさがありません。

• すべて異なり が中央値： より小さい値を 1 つ（ 通り）、大きい値を 1 つ（ 通り）選び、3 つの値を 3 か所に並べる（ 通り）→ 通り
• ちょうど 2 つが ： でない値を 1 つ（ 通り）、それがどの位置か（ 通り）→ 通り
• 3 つとも ：1 通り

この 3 つを足せば終わりです。 や のときも式がそのまま使える（ になる）のが気持ちいいところ。
検算は「」で必ずできます。

総数。操作を 3 回行うときのカードの取り出し方は 通りで、すべて同様に確からしい。

となる場合の数。次の 3 つに排反に分けられる（3 枚では、重複する値は高々 1 種類）。

場合	数え方	通り数
がすべて異なり が中央値
ちょうど 2 つが 、残り 1 つは 以外
3 つとも	—

したがって

展開すると 。

検算その 1（確率の総和）。 を用いると

よって ✓

検算その 2（ 通りの全数列挙）。 について を実際にすべて列挙し（最大 通り）、規則どおり を計算して確率を求めたところ、すべての で公式の値と厳密に一致 ✓　たとえば

	（列挙による値）
3
4
5

【定石】重複を許す抽出の数え上げは「すべて異なる／ちょうど 2 つ同じ／3 つ同じ」で排反に分類。並べ方はすべて異なれば 、2 つ同じなら 、3 つ同じなら 。総和が 1 になるかで検算。

【よくあるミス】(ii) で「重複した値」が複数ありうると勘違いすること。3 枚では重複する値は 1 種類だけなので、 は一意に決まります。また「 が中央値」の並べ方を 通りとしてしまうこと（3 つの値がすべて異なるので 通り）。

(2)　 が最大となる

【型】 は の上に凸な 2 次関数。軸は —— の偶奇で「整数かどうか」が変わる

【なぜこうするか】
(1) の式を について平方完成します。

上に凸なので、軸 に最も近い整数で最大になります。
ここで の偶奇が効きます。

• が奇数： は整数。その がただ 1 つの最大点
• が偶数： は半整数（）。軸から等距離にある 2 つの整数 と で同じ値をとる

直感的にも納得できます： は「中央値」なので真ん中の値が出やすい。カードが偶数枚なら真ん中が 2 つある、というわけです。

(1) の式を について平方完成すると

これは について上に凸な 2 次関数で、軸は 。 は の整数だから、軸に最も近い整数で最大となる。

• が奇数のとき： は整数なので、
• が偶数のとき： は整数でなく、軸から等距離の 2 つの整数 、すなわち で最大

したがって

が奇数：　　 が偶数：

検算（全数列挙による最大位置）。 通りを列挙して を求め、最大となる を調べた結果

	3	4	5	6	7
最大となる
公式の予測

すべて一致 ✓　偶数の ではきちんと 2 つの で最大になっており（ なら 、 なら ）、公式どおりです。

【定石】整数変数の 2 次関数の最大は「軸に最も近い整数」。軸が半整数なら両隣の 2 つが同点になります。変域（ここでは ）に軸が入っているかの確認も忘れずに（本問は が で成立）。

【よくあるミス】 の偶奇の場合分けをせず だけ答えること（ が偶数だと整数になりません）。また を と書くのは同じですが、2 つあることを明記しましょう。