一橋大学 2017年度 過去問・解答

一橋大学2017年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

[1] 和が一定のもとでの対数の最大・最小

実数 a, b が a ≧ 1、b ≧ 1、a + b = 9 を満たすとします。

b = 9 − a ≧ 1 より a ≦ 8。したがって a の動く範囲は

1 ≦ a ≦ 8　…②

(1) log₃a + log₃b の最大値・最小値

対数の和は積の対数なので

log₃a + log₃b = log₃(ab) = log₃{a(9 − a)}

底 3 > 1 なので log₃ は単調増加。したがって真数 a(9−a) の最大・最小を調べればよいことになります。

f(a) = a(9 − a) = −a² + 9a = −(a − 9/2)² + 81/4

軸 a = 9/2 = 4.5 は範囲 [1, 8] の内部にあるので、そこが最大。

f(9/2) = 81/4

最小は軸から遠いほうの端点ですが、9/2 は 1 と 8 の中点（(1+8)/2 = 4.5）にちょうど一致するので、両端で同じ値になります。

f(1) = 1 × 8 = 8、f(8) = 8 × 1 = 8

したがって 8 ≦ a(9−a) ≦ 81/4。対数をとって

最大値：log₃(81/4) = log₃81 − log₃4 = 4 − 2log₃2

最小値：log₃8 = log₃2³ = 3log₃2

a と b が対称なので、最大は a = b = 9/2、最小は端点 — と予想できます。軸が区間の中点に一致するという美しい構造に気づけば、計算前に答えの形が見えます。

(2) log₂a + log₄b の最大値・最小値

底が 2 と 4 で異なるので、まず底をそろえます。

log₄b = log₂b / log₂4 = (1/2)log₂b

したがって

log₂a + log₄b = log₂a + (1/2)log₂b = (1/2)(2log₂a + log₂b) = (1/2)log₂(a²b)

b = 9 − a を代入して、真数を g(a) = a²(9 − a) とおきます。

今度は a と b が対称ではありません（a だけ2乗されている）。微分して調べます。

g(a) = 9a² − a³　⇒　g'(a) = 18a − 3a² = −3a(a − 6)

1 ≦ a ≦ 8 では a > 0 なので、g’ の符号は −(a − 6) で決まります。

g(1) = 1 × 8 = 8、g(6) = 36 × 3 = 108、g(8) = 64 × 1 = 64。

したがって最小は g(1) = 8、最大は g(6) = 108。

最小値：(1/2)log₂8 = (1/2) × 3 = 3/2

最大値：(1/2)log₂108。108 = 4 × 27 = 2²·3³ なので

= (1/2)(log₂2² + log₂3³) = (1/2)(2 + 3log₂3) = 1 + (3/2)log₂3

(1) と (2) を比べると、係数が対称かどうかで最大値を与える点が 9/2 から 6 へずれるのが分かります。a の重みが大きいので、a を大きめにとるほうが有利になるわけです。
検算：108 = 2²·3³ より log₂108 = 2 + 3log₂3 ≒ 2 + 4.755 = 6.755。半分で 3.377 ≒ 1 + 1.5 × 1.585 ✓

この年の学習ポイント

対数の最大最小は、「対数関数は単調だから、真数の最大最小に帰着できる」という一点に尽きます。底が1より大きければそのまま、1より小さければ逆転する — この確認だけ忘れなければ、あとは真数の最大最小というふつうの関数の問題になります。

(2) では底が違う対数が混ざっていました。底の変換公式で1つにそろえてから、対数の性質でまとめるという手順を、迷わず実行できるようにしてください。

一橋大学2017年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。