北海道大学 2016年度 理系数学｜全5問の解答・解説

※ 問題文は北海道大学が実施した2016年度（平成28年度）前期日程 入学試験問題（数学・文系）を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した公式解答そのものではありません。ただし答えは解答例（Hokkaido_2016_mat_A_01.pdf）と全4問・全小問について一致を確認しています。

第1問｜3次関数の接線が平行になる条件と、中点が曲線上にあることの証明

分野：微分（3次関数と接線）　難易度：標準　目標時間：20分

(1)　接線は「傾き」と「通る点」の2つだけで決まる

【前提知識】①微分の公式 、定数の微分は 。②接線の傾きは微分係数、すなわち における接線の傾きは 。③点 を通り傾き の直線は 。

【型】接線は「接点の 座標を1文字で置き、傾き と通る点 を代入する」型

【なぜこうするか】直線を決めるのに必要な情報は「傾き」と「通る点」の2つだけです。接線という言葉が出た瞬間、その2つが両方とも と だけで書けることが確定します。だからやることは代入だけで、考える余地はほとんどありません。ここで迷うとしたら「答えを の形まで整理すべきか」ですが、(2)(3)で傾きだけを使うことを見越すと、傾きの部分 を塊のまま残した形で書いておくのが後々効きます。

まず を微分します。

よって における接線の傾きは です。接点は なので、求める接線は

と書けます。ここに と を代入します。

右辺を展開します。まず の部分は

となるので、定数項をまとめると

となります。 が打ち消し合う点に注意してください。したがって求める接線は

です。

【検算】 を代入して、 が に戻るかを確かめます。

右辺を整理すると

確かに と一致しました。さらに具体値でも確認します。、すなわち で とすると、公式からは 。実際 の での接線は傾き 、点 を通るので で一致します。

【定石】接線の問題は「接点の 座標を文字で置く」ところから始まる。傾き 、通る点 を に入れれば終わり。

【よくあるミス】 を求めるつもりで を微分してしまい、 としてしまう誤り。先に を出してから を代入するという順序を守れば起きません。もう一つは展開時の符号ミスで、 を と書いてしまう例が目立ちます。

(2)　「平行」を数式に翻訳すると「傾きが等しい」

【前提知識】①2直線が平行 傾きが等しい。②因数分解 。③ ならば または 。この③を使うときは、片方が でないことを明示して切り捨てます。

【型】平行条件は「傾きを等号で結び、差を因数分解して を括り出す」型

【なぜこうするか】「平行」は図形の言葉なので、まず式の言葉に置き換えます。傾きが等しい、つまり です。ここで移項して と差の形にするのが要点で、 と が対等に入っているため必ず が因数として出てきます。問題文に「異なる2点」とあるのは、この を堂々と割ってよいという許可証です。条件文のこの一言が伏線になっている、というつくりを読み取れると気持ちよく解けます。

2つの接線の傾きはそれぞれ 、 です。平行であることは傾きが等しいことなので

両辺から を消し、右辺を左辺に移項します。

前の2項を 、後ろの2項を と見ると、共通因数 が括り出せます。

と は異なる2点なので 、すなわち です。したがって

となり、求める条件は

です。

【検算】具体値で確かめます。、つまり とすると、条件は です。 を取ると より 、 で確かに等しく、2本の接線は平行（ともに水平）です。別の組 でも 、 で一致しました。

【定石】「平行」は「傾きが等しい」に翻訳する。 が対等な式の差は必ず で括れる。「異なる2点」は を使わせるための布石。

【よくあるミス】 から、 に触れずにいきなり と書いてしまう答案。結論は合っていても論理の穴として減点されます。「異なる2点だから 」の一文を必ず入れてください。

(3)　中点の座標を出して、 に代入した値と一致するかを見る

【前提知識】①中点の座標は 。②点 が 上にある 。③対称式の変形 、。

【型】「曲線上にあることを示せ」は「 を求め、 を計算し、 と一致することを示す」型

【なぜこうするか】証明すべきことは というただ1本の等式です。ならば左辺と右辺を別々に計算して、同じ式になることを見せるのが最も確実です。ここで不安になるのは「 の値が分からないのに計算できるのか」という点でしょう。実は は途中で必ず消えます。消えるからこそ、 の取り方によらずいつでも同じ点が中点になる——それがこの問題の主張です。「消えてくれるはず」と信じて進むのではなく、なぜ消えるのかを確かめながら進むのが理解を深める道です。

線分 の中点を とおきます。

(2)より なので、 はただちに決まります。

まず右辺、つまり を計算しておきます。

各項を順に計算すると 、、、 です。第1項と第2項をまとめます。

したがって

次に左辺 を計算します。 を対称式の形に整理すると

ここで 、 とおき、基本対称式で書き換えます。

これらを代入します。

を含む項だけを取り出すと です。ところが(2)の条件は そのものでしたから、この括弧の中身が になります。つまり 、すなわち を含む項がまとめて消えます。

ここに を代入します。、、 なので

これを で割れば が得られます。

先に求めた と完全に一致しました。よって であり、線分 の中点 は曲線 上にあります。

【検算】、すなわち で確かめます。条件は です。 とすると 、 なので中点は 。一方 で、確かに中点は曲線上にあります。 が変わる別の組 でも 、 より中点は でまったく同じ点。公式 とも一致しました。 が消えるという計算結果が、この「どちらの組でも同じ点になる」という現象として目に見えます。

【定石】「曲線上にあることを示せ」は を示すこと。対称式は で書き換え、条件式が の係数を にしていないかを疑う。

【よくあるミス】 の値を求めようとして手が止まる。本問では は決まらず、決まらなくてよいのです。「消えるかどうか」を先に確認する習慣があれば止まりません。もう一つは の計算で を としてしまう符号ミスで、2乗すれば正になることの見落としです。

第2問｜絶対値2つの関数のグラフと定積分

分野：絶対値付き関数・定積分　難易度：標準　目標時間：22分

(1)　絶対値は「中身の符号が変わる点」で区間を割るだけ

【前提知識】①絶対値の外し方は 、。②2次式 は と で正、 で負。③絶対値が2つあるときは、符号の変わり目を数直線上に全部並べてから区間を切る。

【型】絶対値付き関数は「中身が になる をすべて求め、その点で区間を分割する」型

【なぜこうするか】絶対値は場合分けさえ済めばただの多項式です。逆に言えば、場合分けの区切りを1つでも落とすと全部が崩れる。だから最初にやるのは「中身が になる を全部書き出す」ことです。本問では から 、 から 。定義域が なので は右端と一致し、実質の区切りは の3つ、区間は4つになります。表を書いて機械的に埋めるのが確実です。

2つの絶対値の中身の符号を、区間ごとに整理します。

のとき、 かつ なので 。また かつ なので 。よって両方そのまま外せて

のとき、 なので符号を変えて外し、 はそのまま外します。

ここで の項も の項も打ち消し合い、この区間だけ は定数 になります。本問で最も面白い箇所です。

のとき、、 なので両方とも符号を変えて外します。

のとき、 はそのまま、 は符号を変えて外します。

まとめると、 は次の4つの式をつないだ関数です。

グラフの形をつかむため、各区間の式を平方完成しておきます。 は下に凸、 は上に凸です。端の値は 、、、、 となり、隣り合う区間でつながっていることが確認できます。

次に 軸との交点を、区間ごとに調べます。

では 、すなわち より 。この区間にあるのは だけです。

では で一定なので、 になることはありません。

では 、両辺を で割って 。判別式は なので実数解はありません。

では より 。 なので区間内にあります。

よって交点は2つで、 より

です。

【検算】元の式に直接代入して確かめます。 のとき で確かに 。 のとき、、 なので、。こちらも です。また区間の境目 で、左の式は 、右の式は と一致し、 では 、 と一致しました。境目で値がつながることの確認は、場合分けミスを見つける最短の方法です。

【定石】絶対値は中身が になる点で区間を割る。割ったら隣り合う区間の境目で値が一致するかを必ず確認する。これが最強の検算。

【よくあるミス】区切りを だけ、あるいは だけにして、2つの絶対値を別々に処理してしまう誤り。4つの区切り候補を1本の数直線に集めてから区間を作れば防げます。また の解 を、区間 の外なのに採用してしまう誤りも頻出です。求めた解がその区間に入っているかを毎回確認してください。

(2)　区間ごとに積分して足すだけ。分け方は(1)がすでに教えてくれている

【前提知識】①積分の区間加法性 。②。③関数の式が途中で変わるなら、変わる点で積分区間を切る。

【型】区分的に定義された関数の定積分は「定義の変わり目で区間を分割して足す」型

【なぜこうするか】 は1本の式では書けないので、そのままでは原始関数が作れません。しかし各区間では普通の多項式なので、区間を切ってしまえばどれも教科書レベルの計算になります。積分区間は から 。この間に定義の変わり目 がすべて含まれるので、4つに分割します。切る場所を自分で考える必要はなく、(1)で作った場合分けをそのまま使えばよい——ここが「誘導に乗る」ということです。

積分区間 を、定義の変わり目 で4つに分けます。

に、残りの2区間を加えたもの、すなわち

です。

第1項を計算します。原始関数は です。

第2項は定数の積分なので、幅 の区間に高さ を掛けるだけです。

第3項の原始関数は です。 での値は 、 での値は なので

第4項の原始関数は です。 での値は 、 での値は なので

4つを足し合わせます。

よって求める定積分の値は です。

【検算】符号の妥当性から確かめます。 と は 軸との交点で、その間では （、 がすべて負）でした。したがって積分値は負でなければおかしく、 は符号が合っています。大きさも見積もれます。区間の幅は 、その間の はおおむね から の間を動くので、面積の目安は 程度。 はこの見積もりとよく合います。さらに、区間 の寄与がちょうど （幅 、高さ の長方形）であることも図と一致します。

【定石】区分的に定義された関数の積分は、定義の変わり目で区間を切って足す。(1)で作った場合分けが、そのまま(2)の分割になる。

【よくあるミス】上端を や にしてしまう誤り。積分区間は から 、つまり から であって、定義域の端ではありません。もう一つは第4項の上端 の代入で、 とすべきところを などとする計算ミスです。

第3問｜正弦定理で角を決め、外心を位置ベクトルで表す

分野：三角比・図形と計量／平面ベクトル　難易度：標準〜やや難　目標時間：25分

(1)　辺2つと向かい合う角1つ。この組み合わせは正弦定理

【前提知識】①正弦定理 。②辺 と向かい合うのは 、辺 と向かい合うのは 。③2倍角の公式 。

【型】「2辺とその一方に向かい合う角」が与えられたら正弦定理

【なぜこうするか】三角形の計量では、与えられた情報の並びで使う定理が決まります。2辺と挟む角なら余弦定理、2辺と向かい合う角なら正弦定理です。本問は 、 と 。 は と向かい合っているので正弦定理の出番です。そして を の後に問うているのは、 を使えば だけから求まるという誘導です。 を経由すると符号の場合分けが必要になりますが、この形なら不要——出題者はそこまで見て公式を選ばせています。

は辺 と向かい合い、 は辺 と向かい合います。正弦定理より

数値を入れます。 です。

左辺は なので

分母を有理化します。分子・分母に を掛けて

次に です。2倍角の公式 を使います。まず を計算します。

を使いました。これを代入します。

よって 、 です。

【検算】 は 。これは の値としてよく知られたもので、確かに 以下に収まっています（ の値が を超えたら計算ミスです）。また なら で 。求めた値と一致します。念のため でも 、 で同じ値になり、こちらも矛盾しません。

【定石】2辺と向かい合う角なら正弦定理、2辺と挟む角なら余弦定理。 から へは が最短。

【よくあるミス】 と対応を逆にしてしまう誤り。図を描いて対辺を確認するだけで防げます。また を としてしまう展開ミスも多く、 の項を落とさないよう注意してください。

(2)　角の範囲を先に押さえてから、 の方程式を解く

【前提知識】①三角形の内角の和は 。② となる は の範囲で と 。③「すべて求めよ」は候補が複数あることの予告。

【型】三角方程式は「未知の角が動ける範囲を先に確定させてから解く」型

【なぜこうするか】 からではなく から を求めるのがこの誘導の狙いです。 だけでは、 が をまたいで同じ値を2回取るため と の判別に手間がかかります。ところが にすると と というはっきり違う2つの角に分かれ、機械的に処理できます。ここで大事なのは、解く前に の動ける範囲を決めておくこと。範囲を決めずに解くと、余計な解を拾うか、必要な解を落とすかのどちらかになります。

まず の範囲を押さえます。三角形の内角の和より で、これが正でなければならないので

したがって

この範囲で となる を探します。 が になるのは基準として と で、どちらも に入っています。

それぞれ で割って

を得ます。どちらも をみたすので、両方とも解です。

【検算】2つの が本当に三角形として成立するかを、辺の長さで確かめます。外接円の直径は です。 のとき で、 となり与えられた長さと一致。 のときは で、 なので は同じく 。どちらも条件をみたす三角形が実在することが確認できました。

【定石】三角方程式は角の動く範囲を先に書く。 の方程式なら範囲も 倍してから解く。「すべて求めよ」は複数解の予告と読む。

【よくあるミス】 の範囲を と誤り、 を落として だけを答えてしまう。 の範囲を2倍するのを忘れないことです。逆に範囲を と広げすぎて 以上の不適な解を拾う誤りもあります。

(3)　外心は「中心からの距離が等しい点」。内積で を1つずつ取り出す

【前提知識】①外心から3頂点までの距離はすべて外接円の半径 。②円周角と中心角の関係：中心角は円周角の2倍。③内積 、および 。

【型】ベクトルの係数決定は「両辺に基準ベクトルとの内積を取る」型

【なぜこうするか】未知数が の2つなので、式が2本必要です。ベクトルの等式1本から2本の式を取り出す標準手段が、両辺に との内積、 との内積をそれぞれ取ることです。しかもこの問題は条件が非常によく、 すなわち なので、各式に未知数が1つずつしか残りません。連立を解く手間すらなく、割り算だけで答えが出ます。座標を設定して成分計算する手もありますが、内積を使うほうが計算量は明らかに少なくて済みます。

まず を確定させます。(2)より または でしたが、 は鈍角なので鋭角三角形になりません。よって

このとき 、 で、3つとも 未満なので確かに鋭角三角形です。

次に外接円の半径 を求めます。正弦定理より

よって で

続いて中心角を求めます。円周角と中心角の関係より、それぞれの中心角は向かい合う円周角の2倍です。

3つの和は となり、外心が三角形の内部にあることと整合します。これらから内積が計算できます。

ここで の両辺と との内積を取ります。

左辺は 、右辺は なので

同様に両辺と との内積を取ります。

左辺は 、右辺は なので

よって 、 です。

【検算】求めた を使って を計算し、 になるかを確かめます。

確かに と一致しました。座標でも確認できます。 を原点、、 より とすると、。その大きさの2乗は で一致し、 とのなす角の余弦は すなわち で、 とも合致します。

【定石】外心が出たら外心を始点に取る。係数を求めたいときは両辺と基準ベクトルの内積。内積が になる組があれば、連立せずに1つずつ求まる。

【よくあるミス】「鋭角三角形」の条件を使い忘れ、 と の両方で答えを出してしまう。あるいは中心角を円周角と同じにしてしまい、 として計算する誤り。中心角は円周角の2倍です。3つの中心角の和が になるかを確かめれば、その場で気づけます。

第4問｜分数式が自然数になる条件を、範囲で挟んで絞る

分野：整数　難易度：標準〜やや難　目標時間：23分

(1)　「自然数である」を「1以上の整数である」と読み替え、上から押さえる

【前提知識】①自然数は 以上の整数。② より大きく より小さい数は自然数ではない。③2次不等式 の解は または 。

【型】分数式が整数になる条件は「値の範囲を挟んで、候補を有限個にする」型

【なぜこうするか】整数問題で最も使う武器は「範囲で挟む」です。 は無限にありますが、 は分母が2次で分子が1次なので、 が大きくなるとどんどん小さくなり、やがて を下回ります。 より大きく より小さい範囲に自然数は存在しないので、その瞬間から候補は消えます。つまり「値が 以上でいられる は何か」を調べるだけで、無限の候補が有限個に落ちるわけです。約数を書き出す方針でも解けますが、本問は分母が で因数分解できないため、挟み込みのほうがはるかに素直です。

は自然数なので 、。したがって です。この値が自然数であるためには 以上でなければなりません。そこで 以上になる条件を調べます。

分母は正なので、不等号の向きを変えずに払えます。

よって 。 は自然数なので候補は の2つだけです。逆に では より となり、 なので自然数にはなりません。

残った候補を実際に確かめます。

どちらも という自然数になりました。よって です。

【検算】 から まで実際に値を並べます。、、、、、、、。 以降は単調に減っており、 以上になるのは だけだと目で確認できます。

【定石】分数式が整数になる条件は範囲で挟む。値が より大きく より小さいなら自然数ではない。必要条件で候補を絞ったら、必ず代入して十分性を確認する。

【よくあるミス】 が の約数であることから約数を書き出そうとして、 が を含むため候補が定まらず手が止まる。約数の書き出しは「割る数が定数のとき」の道具で、本問のように文字を含む場合は挟み込みに切り替えます。もう一つは で止めて、代入確認をせずに答えとしてしまうことです。

(2)　和の取り得る範囲を挟み、値が「1か2」しかないことから攻める

【前提知識】①(1)の別解より 。② が自然数なら （最大は ）。③和の範囲が分かれば、取り得る自然数は数個に限られる。

【型】2つの分数の和が整数になる条件は「両方の範囲を足して、和の候補を数え上げる」型

【なぜこうするか】未知数が2つあると手が止まりがちですが、それぞれの取り得る範囲を先に押さえれば、和の範囲も決まるという発想で突破できます。(1)の別解で 、また なので、和は 未満。しかも両方とも正なので和は正。つまり和として許される自然数は か のたった2通りです。あとはこの2つを順に調べればよく、無限の探索が2件の場合分けに変わります。整数問題が「難しい」と感じるのは、範囲を押さえる前に代入を始めてしまうからで、順序を逆にするだけで見通しが立ちます。

とおきます。(1)の別解より、 が自然数のとき

です。また は自然数なので

両者を足すと

したがって が自然数なら、その値は か のいずれかです。

［値が の場合］　 なので が必要です。ところが となるのは 、すなわち より のときだけで、この範囲に自然数はありません。よって に限られ、(1)より または 。このとき より です。

［値が の場合］　このとき

が必要なので 、すなわち自然数では です。このとき

となります。ここで分子を分母で割った形に直します。 なので

したがって

が自然数であるためには が自然数でなければなりません。そこで再び範囲で挟みます。この分数が 以上であるためには 、すなわち

なので 。 と合わせると候補は の3つだけです。順に確かめます。

のとき 、 なので 。自然数でないので不適です。

のとき 、 なので 。自然数なので適します。

のとき 、 なので 。自然数でないので不適です。

よってこの場合は のみ。以上をまとめると

が求める組のすべてです。

【検算】3組すべてを元の式に代入します。 では （自然数）。 では （自然数）。 では （自然数）。3つとも条件をみたしました。除外した組も確認しておきます。 なら で、これが になるには すなわち となり自然数でなく、 になるには で不可能。 なら で 、 で不適。 以降は なので が と の間の非整数になり、やはり不適です。

【定石】複数の分数の和が整数になる条件は、各項の範囲を足して和の候補を数個に絞る。分数を含む式は「整数部分＋真分数」に分離すると、何が整数であればよいかが見える。

【よくあるミス】和が の場合だけを考えて と を落とす、あるいは逆に の場合だけを考えて を落とす。和の範囲を最初に書いておけば、調べるべき値が と の両方だと目に見えます。また の絞り込みで の側を忘れる人がいますが、 との共通部分を取るので影響しません。範囲の共通部分を取る手順を省かないことです。