藤原進之介です。このページでは京都大学2006年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：円と直線の共有点の個数 → 中心と直線の距離と半径の大小に翻訳する型。連立して判別式でも解けますが、距離のほうが速くて間違えにくい。
1. なぜその一手を選ぶのか
円 x2 + y2 = 81 は中心が原点、半径 √81 = 9 。直線 y = x + c は傾き固定で、c だけが上下に動きます。
異なる2点で交わる ⟺ 中心と直線の距離 < 半径。連立して2次方程式を作り判別式を見る方法もありますが、係数が増えて計算が重くなります。中心が原点にあるときは距離の公式が圧倒的に速い——この見極めがこの型の判断です。
2. 解答
- 直線を x − y + c = 0 と整理する。
- 原点との距離 d = |c|√(1 + 1) = |c|√2 。
- 2点で交わる条件は d < 半径、すなわち |c|√2 < 9 。
- 両辺を払って |c| < 9√2 。
答え： −9√2 < c < 9√2（≒ ±12.728）
3. 検算
c = 0 を入れてみる：直線が原点を通るので必ず2点で交わります。答えの範囲に 0 が入っていることを確認（−9√2 < 0 < 9√2 ✓）。
極端な c：|c| が大きいと直線は円から離れて交わらないはずで、答えが有界なのは正しい挙動です。境界の等号は「接する」場合なので、「異なる2点」では等号を含めません——ここを含めてしまうのがこの型の最頻出ミスです。
この型の一般化：共有点の個数は 距離 < 半径 → 2点、= → 1点（接する）、> → 0点。中心が原点でない円 (x−p)2 + (y−q)2 = r2 でも同じで、点と直線の距離の公式に中心を入れるだけです。判別式を使うのは、交点の座標そのものが必要なときに限ります。第7章 座標で整理しています。
京都大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 京都大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
- 京都大学 国語の対策——記述で問われる力を型から
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京都大学の数学の過去問は25年度ぶんを公開しています。そのうち6年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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京都大学 2006年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 関数・グラフ
- 微分・積分
- 図形・三角関数
- 空間図形
- 整数
この年度の出題範囲と傾向
2006年度の問題PDFでは、関数・グラフ、微分・積分、図形・三角関数、空間図形、整数に関する語句や設問を確認できました。京都大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は25年度、整数は24年度、空間図形は22年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、微分・積分、空間図形、図形・三角関数
平成18年度入学試験問題
数 OF (文系)
150 点満点
配点は, 学生募集要項に記載のとおり.タ
(注 意)
1. 問題冊子および解答冊子は係員の指示があるまで開かないこと.
2. 解答冊子は表紙のほかに 16 ページある.
3. 問題は全部で5 題ある(1 ページから 2 ページ).
4 筆答開始後, 解答冊子の表紙所定欄に学部名・受験番号・氏名をはっきり記入
すること. 表紙にはこれら以外のことを書いてはならない.
5. 解答は解答冊子の指定された解答用ページに書くこと. REL, 続き方をはっ
きり示して計算用ページに解答の続きを書いてもよい. この場合に限って計算
用ページに書かれているものを解答の一部として採点する. それ以外の場合,
計算用ページは採点の対象としない.
6. 解答のための下書き, 計算などは, 計算用ページに書くこと.
7. 解答に関係のないことを書いた答案は, 無効にすることがある.
8. 解答冊子は, ホッチキスをはずしたりページを切り離したりしてはならない.
9. 問題冊子は持ち帰ってもよいが, 解答冊子は持ち帰ってはならない.
でM3(063一23)
ee
唱 0
放物線ど:ッーァと2直線族:yー婦一1, 7:yッニーャーヵ十4は1点で交
わるという. このとき実数かヵの値を求めよ.
[2] 0
座標空間に4点A(2,1,.0), B(1,0,1), C(0,1, 2), D(1, 3, 7)a8
ある. 3 点A, B, Cを通る平面に関して点D と対称な点をとするとき, RE
の座標を求めよ.
PO
9)を2次式とする. BRP) Q(x)では割り切れないが, (PO)
の(<)で割り切れるという. このとき 2 次程式 の(ヶ) 0 は重解れ持つことを示
せ.
ce 7 ewe M3 (063—24)
[4] (30.8)
関数ターニア(ぶ)のグラフは, 座標平面で原点に関して点対称である. さらにこ
のグラフのヶミ0の部分は、 直がッ軸に平行で. A(-+, Lemaec,
原点を通る放物線と一致している. このときァニー 1 におけるこの関数の接線
とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ.
[] 0 #0
n, RIUGRECRSn LTS, 穴のあいた 2ヵ個の白玉と 2ヵー 2k MORE
にひもを通して輸を作る. このとき適当な 2 箇所でひもを切ってヵ個ずつの2
MCA, どちらの組も白玉ぁ個, 県玉ヵール個からなるようにできることを
問題は このページで終わりである.
ー2 一 でM3(068一25)
a ne ne
問2画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、図形・三角関数、整数、微分・積分、空間図形
で
平成18年度入学試験問題
数 学 (理系)
200 点満点
る配点は, 学生募集要項に記載のとおり.タ
注意)
1. 問題冊子および解答冊子は係員の指示があるまで開かないこと.
2. 解答冊子は表紙のほかに 16 ページある.
3. 問題は全部で 6 BS (1 ページから 2 ページ).
4. 筆答開始後, 解答冊子の表紙所定欄に学部名・受験番号・氏名をはっきり記入
すること. 表紙にはこれら以外のことを書いてはならない.
5. 解答は解答冊子の指定された解答用ページに書くこと. ただし, 続き方をはっ
きり示して計算用ページに解答の続きを書いてもよい. この場合に限って計算 ・
用ページに書かれているものを解答の一部として採点する. それ以外の場合
計算用ページは採点の対象としない.
6. 解答のための下書き, 計算などは, 計算用ページに書くこと.
7. 解答に関係のないことを書いた答案は, 無効にすることがある.
8. 解答冊子は, ホッチキスをはずしたりページを切り離したりしてはならない.
9. 問題冊子は持ち帰ってもよいが, MATES to THR SEM,
やM5(063一29)
| (0.40
9 G)を2 次式とする葬式の7)はの(*) TAMO MAA, (POD
(<)で割り切れるという. COLE DKA O (*)ー0 は重解を持つことを
(35 80
点Oを原点とする座標空間の3点をA(0, 1, 2), BC2, 3, 0),
POS +t, O42t, 5十3りとする. 線分 OP と線分 AB が交点を持つような実
数:が存在することを示せ. またそのとき, 交点の座標を求めよ.
[3] (30.0
My =f OFT 7S, MAE CRAIL TAMHTHS. さらにこ
のグラフの* る0 の部分は。 Mary HITT, &(-, 上を頂点とし、
原点を通る放物線と一致している. このときャーー 1 におけるこの関数のグラフ
の接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ.
oe ae るやM5(063一30)
[4] (35 点)
2 以上の自然数ヵに対し. ヵとヵ"十2がともに素数になるのはヵー3の場合
に限ることを示せ.
[5] (35.0
AABC に対し, 辺AB上に点Pを, 辺BC上に点Qを, 辺CA上に点Rを,
頂点とは異なるようにとる. この3 点がそれぞれの辺上を動くとき, この 3 点を
頂点とする三角形の重心はだのような範囲を動くか図示せよ.
[] G5 #0
0 くg く-今- として, 関数がを
なが(の= xseキの
で定める. 9 が| 0 -全|の幸男を動くとき, の最大値を求めよ.
問題は このページで終わりである.
—« 2 aw でMs (063—31)