京都大学 2007年度 過去問・解答

a)
平成19年度入学試験問題
数 OF (OLA)
150 点満点
る配点は 学生募集要項に記載のとおり。タ
(注 意)
1. 問題周子および解答周子は係員の指示があるまで開かないこと。
2. 解答朋子は表紙のほかに 16 ページある。
3. 問題は全部で 5 題ある(1 ページから 2 ページ)。
4, 筆答開始後、解答國子の表紙所定欄に学部名・受験番号・氏名をはっきり記入
すること。 表紙にはこれら以外のことを書いてはならない。
5. 解答は解答冊子の指定された解答用ペベージに書くこと。ただし, 続き方をはっ
きり示して計算用ページに解答の続きを書いてもよい。 この場合に限って計算
用ページに書かれているものを解答の一部として採点する。それ以外の場合,
計算用ページは採点の対象としない。
6. 解答のための下書き, 計算などは, 計算用ページに書くこと。
7. 解答に関係のないことを書いた答案は, 無効にすることがある。
8. 解答団子は. どのページも切り離してはならない。
9. 問題周子は持ち帰ってもよいが, 解答冊子は持ち帰ってはならない。
M3 601—20)

(30 #0
以下の各問にそれぞれ答えよ。
2 4 1 0
mi a= | 民泊| | rses
ー1 -1 0 1
46寺24*十24*十24?二24十3を求めよ。

間 2. 四角形ABCD を底面とする四角雛 0ABCD を考える。点Pは時刻0では
頂点0 にあり. 1 秒ごとに次の規則に従ってこの四角備の5 つの頂点のい
ずれかに移動する。
規則 : 点Pのあった頂点と1つの辺によって結ばれる頂点の1つに, 等し

い確率で移動する。
TOES, n 秒後に点Pが頂点 0 にある確率を求めよ。
G@0
3次関数yゅニャーー2x*ーテ二2のグラフ上の点(1. 0)における接線を?とす

る。 この 3 次関数のグラフと接線 で囲まれた部分を* 軸の周りに回転して立体

を作る。その立体の体積を求めよ。

(35 0)
ヵを 3 以上の素数とする。 4 個の整数 . b, c, d が次の 3 条件
at+b+e+d=0, ad—be+p=0, azb2c2zd

SWKT LE, a, b,c, 9をヵを用いて表せ。

aa’ toon M3 (601-21)

(30 点)
座標空間で点(3 4、0)を通りベクトルgニ(1 1, 1Dに平行な直線を4 点
(2. 一1. 0)を通りベク hve =a, ー2, OPTRARE METS. API
直線?上を, 点Qは直線上をそれぞれ勝手に動くとき, 線分 PO の長さの最
小値を求めよ。
[5] (25)
ヵを 1 以上の整数とするとき, 次の 2 つの命題はそれぞれ正しいか。正しいと
きは証明し, 正しくないときはその理由を述べよ。
命題め: あるヵに対して, Mn Edn FT は共に有理数である。
命題9 : すべてのヵに対して, In +1 — Vn は無理数である。
を
問題は このページで終わりである。
一一 やM3(601一22)

)
平成19年度入学試験問題
数 = (理系・)
200 点満点
る配点は, 学生募集要項に記載のとおり。タ
GE ®)
L MEFS LORS ARE OMRDS SE CMDR &.
2. 解答冊子は表紙のほかに 16 ページある。
3. 問題は全部で6 題ある(1 ページから 2 ページ)。
4, 筆答開始後、解答叶子の表紙所定欄に学部名・受験番号・氏名をはっきり記入
すること。 表紙にはこれら以外のことを書いてはならない。
5. 解答は解答冊子の指定された解答用ページに書くこと。ただし, 続き方をはっ
きり示して計算用ページに解答の続きを書いてもよい。この場合に限って計算
用ページに書かれているものを解答の一部として採点する。それ以外の場合
計算用ページは採点の対象としない。
6. 解答のための下書き, 計算などは, 計算用ページに書くこと。
7, 解答に関係のないことを書いた答案は, 無効にすることがある。
8. 解答冊子は. どのページも切り離してはならない。
9. 問題時子は持ち帰ってもよいが, 解答冊子は持ち帰ってはならない。
M5 (601—26)

[i] (30)
以下の各問にそれぞれ答えよ。
eo:二
問 定本分/ TORE,
問 2 LSC L BERRI 2段のいずれかで階段を昇るとき, 1 歩で2自腹ること
は連続しないものとする。15 段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。
(30.80
1, y RHR SEORMETS, BM ay) を
a =0, のローディタトト (n=1, 2, 3, ...)
によって定めるとき, lim a, MARO MMT SE MTT EO
(x, の範囲を図示せよ。
(35.4)
pEIVEORMETS. 4 個の整数 g、0, <。すが次の3 条件
g十5十c二の=ー0、g49一十カー0, azb2c2d
を満たすとき, a, bc, dep を用いて表せ。

a fo M5 (601—27)

(35 0
点Oを中心とする円に内接するAABCの3辺AB. BC, CAをそれぞれ
2 : 8に内分する点をPQR とする。へPQR の外心が点0と一致すると
き, AABC はどのような三角形か。
(35 0
4を2 次の正方行列とする。列ベクトル*nに対し. WAND bE, ty ...を
Fanti =Aty (2=0, 1, 2. つの
によって定める。ある零ベスクトルではない。 について, 3 以上の自然数で初
OC iy が と一致するとき, FMAM は単位行列であることを示せ。
[6] (35.8)
すべての実数で定義され何回でも微分できる関数/(*)が7(0)=0,
プア"(0)ニ1を満たし. さらに任意の実数g. 0に対して1+了(g)7(17)キ0で
あって
_ fla) + fd)
flat = Ty Fab)
を満たしている。
(]) 任意の実数eに対して, 一 1 ぐ/()ぐ1であることを証明せよ。
(2 ッテア(x*)のグラフはャッ> 0 で上に凸であることを証明せよ。
Ea
問題は。 このページで終わりである。
= 2s M5 (601—28)

[1] (30 A)
KOSBKENENSAL.
2 4 1 0
-1 -1 0 1
4%十24*十243十24*十24十3どを求めよ。
問 2. 得点1, 2、..., ヵが等しい確率で得られるゲームを独立に3回くり返
す。このとき, 2 回目の得点が 1 回目の得点以上であり, さらに 3 回目の得
点が 2 回目の得点以上となる確率を求めよ。

[2] (30 8)
*, を相異なる正の実数とする。数列(z。) を
@,=0, Gas: =xa,+y"*) (n=1, 2, 3, ...う
によって定めるとき, jim gsが有限の値に収束するような座標平面上の点
(x, y) の範囲を図示せよ。

[3] (35 AD
ヵを 3 以上の素数とする。 4 個の整数 g,。 b, c, 9 が次の 3 条件
atb+c+d=0, ad—be+p=0, c2b2cad
を満たすとき, a, b,c, @ をぁを用いて表せ。

(5 上
AABC SAT, 2A の二等分線とこの三角形の外接円との交点で A と異な
BREA とする。 同様にンB, ンCの二等分線とこの外接円との交点をそれぞ
nB, C とする。このとき3直線AA', BB’, CC は1点是で交わり, COR

H は三角形 AEC の垂心と一致することを証明せよ。

[5] (すり

ー 訪-く< ぐ とする座標平面上で原点の周りに 回転する 1 次変換を

FEL, 直線ヶニ(tan e)*について対称移動する 1 次変換を 9とする。合成変換
Fog が*軸について対称移動する 1 次変換と一致するとき, gの値を求めよ。

[e| 5 点)
ッーィe-*とッャニッのグラフで囲まれた部分を*軸の周りに回転してできる立
体の体積を求めよ。