京都大学 2009年度 過去問・解答

※ 問題文は京都大学が公表した2009年度（平成21年度）入学試験問題を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した一般的な解答例そのものではありません。作成にあたっては大学公表の解答と全6問を突き合わせて一致を確認し、さらに 問2 は厳密分数での第30項までの逐次計算、 は数式処理による恒等式の検証、 は57,600 点の格子で不等式と条件式の判定が完全一致することを確認、 は実際に座標を作って折り返しを再現し面積比を実測、 は階乗を直接計算して 進付値を測定して独立に検算しています。

空間の垂線の足／袋の中身が変わる反復試行

分野：空間ベクトル・確率　難易度：標準〜やや難　目標時間：22分

問 1　垂線の足 H の座標

【型】H は 上だから助変数 で表し、 で を決める

【なぜこうするか】
空間の「垂線の足」を求める問題は、次の 2 条件を式にするだけです。

1. H は直線 上　→　（未知数は の 1 個だけ）
2. CH 　→　（ の 1 次方程式）

未知数 1 個・方程式 1 本なので、必ず一意に決まります。空間でも平面でもまったく同じ手順で、これ以上の工夫は要りません。
計算のコツは方向ベクトルを先に求めておくこと。 と成分が小さいので、以降の内積計算が軽くなります。

。H は直線 上にあるから、実数 を用いて

と表せる。このとき

CH より だから

したがって

検算。。内積を確かめると

で確かに垂直 ✓　また H が 上にあることも から確認できます ✓　計算機でも 、、内積 と一致しました。

【定石】「直線上の点」は助変数 1 個、「垂直」は内積 。この 2 つで が決まる、というのが垂線の足の求め方の全て。点と直線の距離を聞かれたら、そのまま を計算すればよい（本問なら ）。

【よくあるミス】 の を と取り違えること。方向ベクトルは直線 上の 2 点から作る（C は直線上にありません）。また と向きを逆にしても内積 は変わらないので、そこは問題ありません。

問 2　 回失敗して 回目に成功する確率

【型】まず「 回目の袋の中身」を確定 → 各回の成功・失敗確率を の式で書く → 積を階乗で約分

【なぜこうするか】
この問題の第一歩は「袋の中身がどう変化するか」を正確につかむことです。失敗したときは取り出した 2 球を戻し、さらに赤球を 1 個加える。つまり

• 白球はずっと 2 個のまま（減りません）
• 失敗のたびに赤球が 1 個ずつ増える

最初は白 2・赤 1（計 3）。 回失敗した後、すなわち 回目の直前は

白 個、　赤 個、　計 個

成功は「2 個とも白」だから、確率は 。
そして失敗確率は引き算して 。この形が重要で、分子も分母も 1 次式の積なので、 の積を取ると階乗の比になって次々に約分されるのです。
この「連続する項が打ち消し合って端だけ残る」構造（望遠鏡積）を見抜けるかどうかが本問の勝負どころです。

袋の中身。失敗のたびに赤球が 1 個増え、白球は 2 個のまま。よって 回失敗した後（ 回目の直前）は白 2 個・赤 個・計 個である。

各回の確率。 回目に成功する（2 球とも白）確率は

したがって 回目に失敗する確率は

求める確率。 回目から 回目まで失敗し、 回目に成功するのだから

積の部分を書き下すと

分子・分母を階乗でまとめると

部分	積	階乗表示
分子の
分子の
分母の
分母の

したがって積は

よって

検算（厳密分数での逐次計算）。失敗確率と成功確率を分数のまま順に掛けて求めた値と、公式の値を比較すると

	1	2	3	4	5	6	7
逐次計算

から まですべて厳密に一致 ✓　 を手で確かめると、1 回目失敗が 、2 回目成功が で、積は ✓

もうひとつの検算。 となり、1 にはなりません。これは「いつまでも成功しない」ことが確率 で起こるという意味で、赤球が際限なく増えていく設定と整合しています（数値計算でも までの和が ）✓

【定石】「試行のたびに条件が変わる」確率は、まず 回目の状態を の式で表す。各回の確率が のように1 次式の積の比になれば、積は階乗でまとまって大量に約分できます。

【よくあるミス】「取り出した 2 球に赤球を 1 個加えてもどす」を「赤球 1 個だけを入れる（2 球は戻さない）」と誤読すること。白球は減らず、総数が 1 ずつ増えるのが正しい読み方です。また 回目の直前の赤球を 個としてしまうこと（ 回失敗しているので 個）。

積分方程式——微分して整式の形を突き止める

分野：定積分と関数決定　難易度：標準　目標時間：20分

　 と の決定

【型】 は定数。展開して の多項式に整理 → で微分して の形を得る

【なぜこうするか】
2 種類の積分が混ざっているのがポイントです。

• ：上端が なので の関数。微分すると になる（微分積分学の基本定理）
• ：積分区間は定数。 と展開して を外に出せば、係数はすべて定数

そこで

とおくと、与式は の形。両辺を で微分すると積分記号が消えて

つまり は必ず 1 次以下の式だと判明します（「整式 」としか言われていないのに次数が確定するのが気持ちいい）。あとはこれを の定義に代入して連立するだけ。
は元の式に を代入すれば一発で出ます（微分すると の情報が消えるので、別途この一手が必要）。

準備。 と展開すると

そこで 、、 とおくと、与式は

　……①

の決定。①で とすると だから

　……②

の形。①の両辺を で微分すると

　……③

の決定。③を の定義に代入する。

第 2 式から 、すなわち 。これを第 1 式に代入して

よって 。③に戻して

の値。②より

したがって

検算（元の式に戻して恒等式か確認）。 として左辺を計算すると

足すと となり、右辺 と完全に一致 ✓　数式処理でも「左辺 右辺 」（恒等式）が確認できました ✓

【定石】積分方程式の 2 大パターン——「上端が 」なら微分、「区間が定数」ならその積分を文字でおく。両方混ざったら両方使います。微分で消えた定数は、元の式に都合のよい値（多くは ）を代入して回収するのを忘れずに。

【よくあるミス】 を「 の関数だから微分できない」と思って手が止まること。展開すれば の 2 次式で、係数が定数になります。また を求め忘れること（ だけでは半分の答えです）。

対数不等式の表す領域を図示する

分野：対数・不等式の表す領域　難易度：難　目標時間：24分

　不等式の表す領域

【型】底を に統一して と置換 → 分母を払うときに の符号で場合分け

【なぜこうするか】
底がバラバラ（ 底、 底）なので、底の変換公式で 1 つの底に統一するのが出発点。底を にすると

と、すべてが 、 だけで書けます（ より ）。不等式は

ここが最大の関門。分母を払いたくなりますが、 の符号がわからないので不等号の向きが決まりません。そこで「移項して 1 つの分数にまとめ、分子と分母の符号で議論する」のが安全な処理：

きれいに因数分解できました。あとは分母 の符号で 2 通りに分けるだけ。

• （ が の同じ側）なら分子 、すなわち
• （ が の反対側）なら分子 、すなわち

最後に なので、。直線 と が境界になるわけです。

底の統一。 より 、。底の変換公式で与式は

右辺を移項して通分すると

　……（）

(i) のとき（ の一方が より大、他方が より小）。（）の分子が負、すなわち

だから 、すなわち

(ii) のとき（ がともに より大、またはともに より小）。（）の分子が正、すなわち

したがって または 、すなわち

領域の図示。以上をまとめると、求める領域は次の 4 つの部分の合併である。

	の位置	追加条件	実際の範囲
①		または	単位正方形の中の 2 つの三角形
②		または	の上側／ の下側
③
④

（③では より は自動的に成立し、条件は のみ。④では より が自動で、条件は のみ。）境界線 および直線 は含まない。

▲ 求める領域（青＝①②： が の同じ側で または ／橙＝③④： が の反対側で ）。境界線 、および破線 は含まない。②は の上側・ の下側にそれぞれ無限に伸びる。

検算（57,600 点の格子で総当たり）。 をそれぞれ 〜 と 〜 から 240 点ずつ取り（ 組）、元の不等式を実数値で直接判定した結果と、上で導いた条件（ の符号と の大小）による判定を突き合わせたところ、57,600 組すべてで一致（不一致 0） ✓

	元の不等式	導いた条件	位置
	成立	成立	ともに より大・（②）
	成立	成立	をまたぐ・（③）
	不成立	不成立	をまたぐが

【定石】底の異なる対数が混ざったら、まず底を統一して 1 文字ずつに置換。分数不等式は「移項して 1 つの分数にまとめ、（分子）÷（分母） 分子と分母が同符号」で処理するのが安全（分母を払うのは符号が確定しているときだけ）。

【よくあるミス】 の符号を考えずに両辺に を掛けてしまい、 の側しか答えないこと。領域の半分を落とします。また図示で境界を含むかどうかの明記を忘れること（本問は なのですべて含みません）。 が除外されることも図に明示しましょう。

折り返しを 3 回——3 倍角の公式に帰着

分野：平面幾何・三角関数（3倍角）　難易度：やや難　目標時間：22分

　 の値

【型】折り返しで O のまわりに角 ずつ進む＝。面積比から 3 倍角の方程式へ

【なぜこうするか】
折り返し（線対称移動）で変わらないものを押さえるのが第一歩です。 を OB で折り返すと

• （対応する辺の長さは不変）
• （対応する角も不変）

これを繰り返すので、。つまりO を中心に、A から出発して ずつ 4 回まわった先が E。半径は 、 と交互に同じになります。
すると求める 2 つの面積は

と、 が共通になるので比を取れば長さが消え、 という三角方程式だけが残ります。ここまで来れば 3 倍角の公式 で終わり。
最後に が を超える場合の吟味が必要です（ は 以下の角なので、 なら になります）。ここを書けるかが差のつくところ。

設定。折り返しの性質より であり、 とおくと

は鋭角三角形だから 。なお のときは となって B、O、E が一直線上に並び ができないので、これは除外する。

▲ 折り返しを 3 回行うと、A、B、C、D、E は O のまわりに角 ずつ並ぶ。、。緑が で、。図は実際の解 （）で作図。

(i) のとき。 だから

面積比が だから 、すなわち

3 倍角の公式 を代入して

より だから 、よって

これは （ に対応）を満たすか確認する。、 より適する。

(ii) のとき。このとき だから であり

面積比 より 、すなわち 。同様に代入して

これより となり不適（ も範囲外）。

(i)(ii) より

検算（座標を作って折り返しを再現）。、 として、A、B、C、D、E を極座標 に配置し、外積で面積を実測すると

その比は

これは と小数第 9 位まで一致 ✓　また なので (i) の場合に該当することも確認できます。数式処理で を解いても、解は の 3 つだけでした ✓

【定石】折り返し（線対称）で不変なのは「長さ」と「角」。折り返しを繰り返す問題は「中心のまわりに等角で並ぶ」と読み替えると一気に見通せます。2 つの三角形の面積比で共通の辺の積が消えるように組み合わせを選ぶのがコツ。

【よくあるミス】 としてしまうこと（ が 、 は ）。また の場合の吟味を省くこと——結果的に不適でも、「調べた上で不適」と書くのが京大の記述では重要です。 で三角形がつぶれることにも触れられると完璧。

は で何回割り切れるか

分野：整数（素因数の個数）　難易度：やや難　目標時間：20分

　 に含まれる の個数

【型】「 の倍数の個数」「 の倍数の個数」…を全部足す（重ねて数える）

【なぜこうするか】
の中に素因数 が何個含まれるかを数えます。ここで大事なのは「 の倍数は を 2 個持っている」という点。単純に の倍数の個数を数えるだけでは足りません。
そこで「段に分けて数える」のが定石です。

• 1 段目： の倍数を 1 個ずつ数える → 個
• 2 段目： の倍数をもう 1 個ずつ追加で数える → 個
• …以下同様に の倍数（ 自身の 1 個）まで

たとえば の倍数は 1 段目・2 段目・3 段目でそれぞれ 1 回ずつ数えられ、合計ちょうど 3 回——うまく帳尻が合う仕組みです。
本問が易しいのは がちょうど の累乗なので、割り算がすべて割り切れてガウス記号が不要になること。答えは等比数列の和として一発でまとまります。
（一般の については となり、ルジャンドルの定理と呼ばれます。）

解答。 から までの 個の整数のうち、（）で割り切れるものの個数は

　（個）

（ は の倍数なので、割り切れて端数は出ない。）具体的には

条件	個数
で割り切れる数	個
で割り切れる数	個
で割り切れる数	個
で割り切れる数	個

ここで、ちょうど で割り切れる（ では割り切れない）数は、上の表の 1 段目から 段目まででちょうど 回数えられる。したがってこの表の個数をすべて足したものが、 に含まれる素因数 の総数に等しい。よって求める回数は

（初項 、公比 、項数 の等比数列の和。）

具体例で確かめる。 のとき、 から までの 5 の倍数を並べて「何回 5 で割れるか」を縦に積むと

段	対象	個数
1 段目	（5 の倍数）	個
2 段目	（25 の倍数）	個
3 段目	（125 の倍数）	個

合計 ✓

検算（階乗を直接計算して 進付値を測定）。実際に を計算し、 で何回割り切れるかを数えた結果

		の 進付値（実測）
2	3	7	7
2	4	15	15
3	2	4	4
3	3	13	13
5	2	6	6
7	2	8	8

すべて一致 ✓

【定石】階乗に含まれる素因数 の個数は （ルジャンドルの定理）。「末尾に 0 が何個並ぶか」型の問題もこれで解けます（ なので 5 の個数を数える）。本問は なのでガウス記号が外れ、等比数列の和になります。

【よくあるミス】 の倍数の個数 だけを答えてしまうこと。 の倍数は を複数個持つので、段を重ねて数える必要があります。また和を までまとめずに で止めるのは減点されませんが、閉じた形にするほうが答案として丁寧です。