関西大学 2007年度 過去問・解答

関西大学2007年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

〔II〕二等辺三角形になる条件と、内接円の半径

3辺の長さが 2x − 2、x + 3、x² − 3x + 6 である三角形を考えます。

(1) 二等辺三角形になる x

まず三角形の成立条件を整理する

3辺 a, b, c が三角形をなす条件は

[条件①] a > 0、b > 0、c > 0　／　[条件②] |a − b| < c < a + b（他の2組も同様）

条件①を調べます。

2x − 2 = 2(x − 1) > 0 ⇔ x > 1
x + 3 > 0 ⇔ x > −3
x² − 3x + 6 = (x − 3/2)² + 15/4 > 0（つねに成立）

したがって x > 1　…③

どの2辺が等しいかで場合分けする

(i) 2x − 2 = x² − 3x + 6 のとき

x² − 5x + 8 = 0 ⇔ (x − 5/2)² + 7/4 = 0

左辺はつねに正なので、実数解をもちません。不適。

(ii) 2x − 2 = x + 3 のとき

x = 5。このとき3辺は 8, 8, 16。ところが 16 = 8 + 8 なので条件②（c < a + b）を満たさず、つぶれた三角形になってしまいます。不適。

(iii) x + 3 = x² − 3x + 6 のとき

x² − 4x + 3 = 0 ⇔ (x − 1)(x − 3) = 0。③より x > 1 なので x = 3。

このとき3辺は 2·3 − 2 = 4、3 + 3 = 6、9 − 9 + 6 = 6。すなわち 4, 6, 6。

4 < 6 + 6、6 < 4 + 6 なので条件②を満たします。

(ii) の x = 5 を「答え」にしてしまう誤答が非常に多い設問です。3辺の長さが出たら、必ず三角不等式を確認すること。等号が成り立つ場合（16 = 8 + 8）は3点が一直線上に並び、三角形になりません。

(2) この三角形の面積と、内接円の半径

3辺 4, 6, 6 の二等辺三角形です。底辺を4とすると、頂点から底辺への垂線は底辺を2等分するので、高さは

h = √(6² − 2²) = √32 = 4√2

S = (1/2) × 4 × 4√2 = 8√2

次に内接円の半径 r を求めます。三角形の面積は「(1/2) × 周の長さ × r」でも表せるので

S = (1/2)(4 + 6 + 6)r = 8r

8r = 8√2 より

S = rs（s は周の半分）は、内心から3辺に下ろした垂線がすべて半径 r であることから導けます。面積を2通りに表して等式を作るという、この年の他の設問とも共通する発想です。

この年の学習ポイント

(1) は「方程式を解いて終わり」ではない問題の典型です。3つの候補のうち2つが不適で、しかもその理由が「実数解をもたない」「三角形にならない」と異なります。

三角形の辺の長さが文字式で与えられたら、次の順序で必ずチェックしてください。

(あ) 各辺が正であること／(い) 三角不等式（いちばん長い辺 < 他の2辺の和）／(う) 問題固有の条件。

特に (い) は、等号が成り立つケースを排除できるかどうかで差がつきます。

関西大学2007年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。