関西大学 2006年度 過去問・解答

関西大学2006年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

〔II〕底の異なる対数方程式

log_1/2√(1 + |3x − 4|) + log₄3 = 0 を解きます。

底を4にそろえる

底の変換公式で log_1/2 を log₄ に直します。

log_1/2A = log₄A / log₄(1/2)

ここで log₄(1/2) = log₄4^−1/2 = −1/2 なので

log_1/2A = −2 log₄A

したがって方程式は

−2 log₄√(1 + |3x − 4|) + log₄3 = 0

1つの対数にまとめる

√A = A^1/2 なので、−2 log₄A^1/2 = log₄A^{(1/2)×(−2)} = log₄A⁻¹。

log₄(1 + |3x − 4|)⁻¹ = −log₄3 = log₄3⁻¹

対数関数は1対1なので真数どうしが等しく

(1 + |3x − 4|)⁻¹ = 3⁻¹ ⇔ 1 + |3x − 4| = 3 ⇔ |3x − 4| = 2

絶対値をはずす

3x − 4 = ±2 より 3x = 6 または 3x = 2。

真数条件 1 + |3x − 4| > 0 は絶対値が0以上なのでつねに成り立ちます。
底が 1/2、4、そして √ という3種類の「変形要素」が組み合わさっていますが、すべて log₄ に統一すると一本道になります。底の変換公式は「バラバラなものを1つにそろえる道具」だと考えてください。

〔III〕2つの放物線が囲む面積

C₁ : y = x² + a、C₂ : y = −x² + 2ax − a² + 2a + 1 を考えます。

(1) 異なる2点で交わる a の範囲

連立して y を消去します。

x² + a = −x² + 2ax − a² + 2a + 1 ⇔ 2x² − 2ax + a² − a − 1 = 0　…③

異なる2実数解をもつ条件は D > 0。x の係数が偶数なので D/4 を使います。

D/4 = a² − 2(a² − a − 1) = −a² + 2a + 2 > 0

⇔ a² − 2a − 2 < 0。a² − 2a − 2 = 0 の解は a = 1 ± √3 なので

(2) 囲まれた部分の面積 S

③の2解を α < β とします。C₂（上に凸）が上、C₁（下に凸）が下なので

S = ∫_α^β {(−x² + 2ax − a² + 2a + 1) − (x² + a)}dx

被積分関数は ③ の左辺に −1 を掛けたものなので、−2(x − α)(x − β) と書けます。

S = −2∫_α^β(x − α)(x − β)dx = −2 × (−1/6)(β − α)³ = (1/3)(β − α)³

③の解は x = {a ± √(−a² + 2a + 2)}/2 なので

β − α = √(−a² + 2a + 2)

6分の1公式 ∫_α^β(x−α)(x−β)dx = −(1/6)(β−α)³ を使うため、差の関数を「2次の係数 × (x−α)(x−β)」の形に書くのが要点です。ここでは2次の係数が −2 なので、その分だけ掛けます。

(3) S = 9/8 となる a

(1/3)(−a² + 2a + 2)^3/2 = 9/8 ⇔ (−a² + 2a + 2)^3/2 = 27/8

27/8 = (3/2)³ なので、両辺を 1/3 乗して

(−a² + 2a + 2)^1/2 = 3/2

両辺2乗して −a² + 2a + 2 = 9/4 ⇔ a² − 2a + 1/4 = 0。

a = {2 ± √(4 − 1)}/2 = 1 ± √3/2

(1) の条件を確認します。√3/2 < √3 なので

1 − √3 < 1 − √3/2　かつ　1 + √3/2 < 1 + √3　✓

この年の学習ポイント

〔III〕は6分の1公式を「2次の係数つき」で使えるかが分かれ目です。∫(x−α)(x−β)dx の形に持ち込む際、先頭の係数を忘れると面積が定数倍ずれます。

また (3) で (β − α)³ が (−a²+2a+2)^(3/2) という分数指数になる点も、慣れていないと戸惑うところです。3/2 乗の方程式は「まず 1/3 乗（＝3乗根）をとって 1/2 乗に落とし、それから2乗する」という順序で進めると安全です。

関西大学2006年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。