関西大学 2022年度 過去問・解答

関西大学2022年度の数学について、解答PDFが公開されている日程の大問を、解答と解説つきで掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算済みです。

〔I〕内分点のベクトル表示と、長さの最小値

|a| = 2、|b| = √3、a・b = 1（a = OA、b = OB）。線分AB上に点Pをとり、BP = 1 + 2p、AP = 1 − 2p とします（AB = 2）。OC は a と平行、CP は b と平行、さらに OD = OC + 2CP と定めます。

①② OP をベクトルで表す

PはABを AP : PB = (1−2p) : (1+2p) に内分するので、内分点の公式より

OP = {(1+2p)a + (1−2p)b} / {(1−2p) + (1+2p)} = (1+2p)/2·a + (1−2p)/2·b

内分点の公式は「向こう側の比を掛ける」のが要点です。AP : PB = m : n なら OP = (n·OA + m·OB)/(m+n) で、OAには遠い側の比 n が付きます。

③ OD を求める

OP = OC + CP で、OC は a 方向、CP は b 方向。上の表示と係数比較して OC = {(1+2p)/2}a、CP = {(1−2p)/2}b。よって

OD = OC + 2CP = {(1+2p)/2}a + (1 − 2p)·b

④⑤⑥ |OD| の最小値

|OD|² = {(1+2p)/2}²|a|² + 2·{(1+2p)/2}(1−2p)(a・b) + (1−2p)²|b|²

|a|² = 4、a・b = 1、|b|² = 3 を代入すると

= (1+2p)² + (1+2p)(1−2p) + 3(1−2p)² = (1+4p+4p²) + (1−4p²) + 3(1−4p+4p²) = 12p² − 8p + 5

= 12(p − 1/3)² + 11/3

|OD| > 0 なので |OD|² が最小のとき |OD| も最小。−1/2 < p < 1/2 に p = 1/3 は含まれるので

|a|² の展開で 2(a・b) の係数を落とすミスが多発します。(xa + yb)² = x²|a|² + 2xy(a・b) + y²|b|² と、係数2を先に書いてから代入してください。

〔II〕分数型の漸化式を、置換で公比 −1 の等比数列に

a₁ = 3/2、a_n+1 = −a_n + (2n+3)/{(n+1)(n+2)} で定まる数列に対し、b_n = a_n − 1/(n+1) とおきます。

① b₁

b₁ = 3/2 − 1/2 = 1

②③ b の漸化式と一般項

まず右辺を部分分数に分けます。1/(n+1) + 1/(n+2) = {(n+2)+(n+1)}/{(n+1)(n+2)} = (2n+3)/{(n+1)(n+2)} なので

a_n+1 = −a_n + 1/(n+1) + 1/(n+2)

両辺から 1/(n+2) を引くと a_n+1 − 1/(n+2) = −{a_n − 1/(n+1)}、すなわち b_n+1 = −b_n。

初項1・公比 −1 の等比数列なので b_n = (−1)ⁿ⁻¹。

分子の 2n+3 を「1/(n+1) + 1/(n+2)」に割るのが最大の関門です。b_n = a_n − 1/(n+1) という誘導が与えられているので、ずらした形 1/(n+2) が右辺に出るはずと逆算すれば分解の形が見えます。

④⑤ 奇数番目・偶数番目を分ける

a_n = b_n + 1/(n+1) に戻します。k = 1, 2, 3, … として

a_2k−1 = (−1)^2k−2 + 1/(2k) = 1 + 1/(2k) = (2k+1)/(2k)

a_2k = (−1)^2k−1 + 1/(2k+1) = −1 + 1/(2k+1) = (−2k)/(2k+1)

⑥ 初項から第2k項までの積

a₁a₂ … a_2k を隣どうし2個ずつ組にすると

{(2j+1)/(2j)} × {−2j/(2j+1)} = −1　（j = 1, 2, …, k）

約分でこの組はすべて −1 になるので、積は

実際に 3/2 × (−2/3) × 5/4 × (−4/5) × … と書き出すと、隣接する分数の分子と分母が次々に打ち消し合うのが見えます。この「望遠鏡的な約分」は積の形の数列の定番です。

〔III〕(1) 三角方程式と2次方程式の連立

0 < x < π/2、0 < y < π/2 のもとで cos(x + y) = 0 かつ x² = πy を満たす x, y を求めます。

まず範囲を押さえます。0 < x + y < π なので、この区間で cos(x+y) = 0 となるのは x + y = π/2 ただ1つです。

次に x² = πy より y = x²/π。これを x + y = π/2 に代入して

x + x²/π = π/2　⇔　2x² + 2πx − π² = 0

解の公式より x = (−2π ± √(4π² + 8π²))/4 = (−π ± √3 π)/2。

0 < x < π/2 を満たすのは正号のほうだけで x = (√3 − 1)π/2 ≒ 0.366π。負号は負の値なので不適です。

y = π/2 − (√3−1)π/2 = (2 − √3)π/2。

cos(x+y) = 0 の解は一般には x + y = π/2 + nπ と無数にありますが、先に x + y の範囲を出しておくことで候補が1つに絞れます。範囲を書かずに進めると場合分けが爆発します。

この年の学習ポイント

〔I〕はベクトルの内分表示と内積計算、〔II〕は置換による漸化式の解法と積の約分、〔III〕は範囲を先に確定してから方程式を解く姿勢が問われました。いずれも「使える形に書き換えてから計算に入る」という共通の手順を踏んでいます。

関西大学2022年度は日程数が多く、当塾で解答PDFを公開できているのは一部の日程です。解答の裏づけがない問題については、確認できないまま解説を作ることはしていません。順次追加していきます。