関西大学 2023年度 過去問・解答

関西大学 2023年度 数学 全問解説【数強塾オリジナル】

〔Ⅰ〕放物線と直線の距離

m を正の定数、直線 ℓ : y = mx − 1、曲線 C : y = x² を考えます。

① 共有点を持たない条件

連立して mx − 1 = x²、すなわち x² − mx + 1 = 0。共有点を持たないのは実数解を持たないときなので判別式 D < 0。

D = m² − 4 < 0 より m² < 4。m > 0 の条件と合わせて

②③④ 点と直線の距離、その最小値

ℓ を mx − y − 1 = 0 と整理し、点 P(t, t²) との距離に公式を当てます。

d = |mt − t² − 1| / √(m²+1) = |t² − mt + 1| / √(m²+1)

ここで①の条件が効きます。D < 0 なので t² − mt + 1 は任意の t でつねに正。したがって絶対値をそのまま外せます。分子を平方完成すると

t² − mt + 1 = (t − m/2)² + (4−m²)/4

分母は t によらない定数なので、t = m/2 で最小。

⑤ 接線の傾き

y = x² を微分して y′ = 2x。x = m/2 における傾きは 2·(m/2) = m。

最小距離を与える点での接線の傾きが、直線 ℓ の傾き m と一致します。「距離が最小になるのは接線が平行になるとき」という幾何的な事実が、計算からも確認できる作りです。

〔Ⅱ〕複素数の条件式と領域の面積

z = x + yi とおき、条件式 z² + pz̄ + q = 0 を扱います。

①② 実部と虚部への分解

z² + pz̄ + q = (x+yi)² + p(x−yi) + q を展開して整理すると

実部 = x² − y² + px + q　／　虚部 = y(2x − p)

複素数の等式1本は、実部と虚部の等式2本と同値です。この分解が本問の出発点で、以降はすべて実数の議論になります。

③④⑤ p=2, q=1 の場合

虚部 = 0 より y = 0 または x = 1 と分岐します。

• y = 0 のとき：x² + 2x + 1 = 0 → x = −1
• x = 1 のとき：−y² + 4 = 0 → y = ±2

よって解は z = −1, 1±2i の3個。実数解は −1 の1個です。

⑥ 異なる4個の解を持つ (p, q) の領域の面積

一般の p, q でも同じ分岐をたどります。各分岐が2個ずつ解を持てば合計4個です。

• y = 0 の側：x² + px + q = 0 が異なる2実数解 → p² − 4q > 0 → q < p²/4
• x = p/2 の側：y² = (3/4)p² + q が異なる2解 → q > −(3/4)p²

2 < p < 4 のもとで −(3/4)p² < q < p²/4。この領域の面積は

∫₂⁴ {p²/4 − (−(3/4)p²)} dp = ∫₂⁴ p² dp = [p³/3]₂⁴ = (64−8)/3

2本の境界曲線の差が p²/4 + 3p²/4 = p² ちょうどになり、積分が一気に簡単になります。係数がこう設計されているところが本問の妙です。

〔Ⅲ〕空間ベクトルと垂線の長さ

|a→| = √13、|c→| = 1、∠OCA = 90° の設定です。

(1) 内積 a→·c→

∠OCA = 90° より、直角三角形 OCA で cos∠AOC = OC/OA = 1/√13。よって

a→·c→ = √13 · 1 · (1/√13) = 1

(2) CD→ の成分表示

D は直線 OB 上なので OD→ = k(a→+c→) とおけます。CD ⊥ OB より OB→·CD→ = 0。

(a→+c→)·{k(a→+c→) − c→} = 0

k(|a→|² + 2a→·c→ + |c→|²) − a→·c→ − |c→|² = 0

k(13 + 2 + 1) − 1 − 1 = 0 より 16k = 2、k = 1/8。

(3) 線分 CD の長さ

|CD→|² を展開します。

|CD→|² = (1/64)(|a→|² − 14a→·c→ + 49|c→|²) = (1/64)(13 − 14 + 49) = 48/64 = 3/4

垂線の足を求める問題は、「直線上の点として文字でおく → 垂直条件を内積=0で立てる → 文字を決定」の3手順が定型です。空間でも平面でも手順は変わりません。

この年度の総評と対策

3題に共通するのは「条件を、計算できる形に言い換える」力です。

• 〔Ⅰ〕共有点なし → 判別式 D < 0 → 絶対値が外せることまで繋げる
• 〔Ⅱ〕複素数の等式1本 → 実部・虚部の2本へ分解 → 領域 → 面積
• 〔Ⅲ〕垂直 → 内積 = 0 → 未知数 k の決定

とくに〔Ⅰ〕は、①で求めた D < 0 が②で絶対値を外す根拠になるという設問間の連動が見どころです。前問の結果を次に使う設計は関西大学で頻出なので、各設問を独立に解かず「何のために求めさせたか」を意識すると解答速度が上がります。

※本記事の解答・解説は数強塾が独自に作成したものです。問題文の引用は解法の説明に必要な最小限にとどめています。掲載内容について権利者の方からご連絡がある場合は、お問い合わせより速やかに対応いたします。