関西大学 2025年度 過去問・解答

※ 問題文は関西大学が公表した2025年度入学試験問題（数D問）を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した公式解答ではありません。この冊子は大学による解答が公表されていないため、〔Ⅰ〕は面積を2通りの積分で計算、〔Ⅱ〕は数式処理による因数分解と解の代入、〔Ⅲ〕は40万組の乱数による到達範囲の実測で、それぞれ答えが一致することを確認しています。

〔Ⅰ〕【記述式】放物線の外の点から引いた接線と、囲む面積

分野：微分積分（数学II）　難易度：標準　目標時間：15分

〔Ⅰ〕(1)　接線 の方程式

【型】曲線外の点から引く接線は「接点を文字でおく」（点を通る条件を後から使う）

【なぜこうするか】
P は 上の点ではありません（）。接線は「接点」で決まるので、まず接点を とおき、そこでの接線を書いてから「P を通る」という条件を の方程式にするという二段構えになります。
「P を通るように傾きを決める」と考えると失敗します。傾きから始めると接することの判定に判別式が必要になり、遠回りです。

解答。 より、接点 における接線は

これが を通るから

傾きはそれぞれ 。 だから傾きが正なのは の方。よって

検算。 が P を通ること： ✓。また すなわち が重解 をもつので、たしかに接している ✓。

【定石】曲線外の点から引く接線は「接点を でおく → 接線を書く → 通る点を代入」の3手順。放物線 の での接線は と、定数項が になるのを覚えておくと速い。

【よくあるミス】P が曲線上にあると思い込んで としてしまうこと。 の 座標は ではありません。また「傾きが正」の判定で、 という条件を使い忘れて2本とも答えてしまうミスも多い。

〔Ⅰ〕(2)　接点 Q の座標

【型】(1) で置いた がそのまま答え（置き方が答えに直結する設計）

【なぜこうするか】
(1) の解き方で接点の 座標を とおいたのだから、 がそのまま接点の 座標です。「置いた文字が問われている」タイプの誘導なので、(1) を正しい型で解いていれば追加の計算はゼロ。
もし「傾きから」解いていたら、ここで改めて接点を求め直す羽目になります。(1) の解法選択が (2) の手数を決めているわけです。

解答。(1) より接点の 座標は 、 座標は 。よって

検算。Q が 上： ✓。Q が 上： ✓。両方をみたすので接点として正しい ✓。

【定石】接点は「 と の両方の式をみたすか」で必ず検算する。2つの式に代入して同じ値になれば安全です。放物線と直線が接するときは と完全平方になるので、そこから読み取ることもできます。

【よくあるミス】もう一方の接点 を答えてしまうこと。問われているのは（傾きが正）の接点です。

〔Ⅰ〕(3)　・・ 軸で囲む面積

【型】3本の線で囲む面積は「頂点を全部出して図を描く → 引き算で組み立てる」

【なぜこうするか】
まず3つの頂点を確定させます。

• と 軸の交点 … 原点 （ は原点で 軸に接する）
• と 軸の交点 … より
• と の接点 …

図にすると、上side が放物線、右下 side が接線、下 side が 軸という「つめ」のような領域になります。これは

（放物線と 軸が囲む の部分）（接線の下の三角形）

と引き算で組むのが最短です。三角形は底辺 、高さ と即座に出ます。

解答。

接線 、 軸、直線 で囲む三角形の面積は

よって

検算（別ルートの積分で二重確認）。領域を で左右に切って直接積分すると

第2項の被積分関数は と完全平方になるので

一致 ✓。さらに として数式処理で計算すると ✓（左右の面積がちょうど半分ずつになるのも面白い性質です）。

【定石】「曲線と接線の差」は必ず完全平方 になる（接点で重解だから）。これを使うと積分が で一撃です。面積は「大きい図形 三角形」と「直接積分」の2通りで検算する習慣をつけましょう。

【よくあるミス】 としてしまうこと。区間 では接線が 軸より下にあるので、下の境界は接線ではなく 軸です。境界がどこで切り替わるかを図で確認してから積分を組むこと。

〔Ⅱ〕4次の相反方程式（ を塊と見る置き換え）

分野：方程式・式と証明　難易度：標準　目標時間：15分

〔Ⅱ〕①　 を で表す

【型】 なら （2乗して積の項を引く）

【なぜこうするか】
と書くと 。両辺を2乗すると

真ん中の項が によらず必ず になるのがこの型の核心です（ と の積が1だから）。だから を引けば戻ります。「和が分かれば2乗の和も分かる」＝対称式の基本です。

解答。

検算。 とすると 、。左辺 、右辺 ✓。数式処理でも を確認 ✓。

【定石】 のとき 、。3乗の方も頻出なので合わせて覚えます（）。

【よくあるミス】 としてしまうこと。2乗したときに余分に出る を「引く」のが正しい向きです。 など具体値を1つ入れれば即座に判別できます。

〔Ⅱ〕②③　 を塊と見て相反形に直す

【型】 と平行移動して係数が左右対称（相反形）になるかを見る

【なぜこうするか】
相反方程式（係数が のように左右対称）は で割って の式に直すと次数が半分になります。ところが の係数は で左右対称ではありません。
そこで「平行移動すれば対称になるのでは？」と考えるのが本問の発想です。定数項が 、 の係数が なので、対称の中心は 付近……という当たりの付け方もありますが、問題文が と教えてくれているので素直に代入します。
実際に を代入すると

と係数 が見事に左右対称になります。

解答。（）を代入して展開します。

これらと を足すと、各次数の係数は

定数項は 。

よって となり

検算。数式処理で を展開すると ✓。また定数項が になることは を元の式に代入した値（）と一致し、これが問題文の「 は解にならない」という前置きの意味です（もし なら で割れなくなる）✓。

【定石】係数が対称でない相反形もどきは「平行移動 で対称になるか」を試す。判断材料は定数項が平方数か、 の係数と の係数の比。そして平行移動しても解の個数や重解の構造は変わらないので安全に使えます。

【よくあるミス】展開の途中で符号を落とすこと。特に の展開で を全項に配るのを忘れがちです。検算は「 を入れて定数項」「 を入れて係数の和」の2点でチェックすると速い（ なら 、元の式に を入れると ✓）。

〔Ⅱ〕④　 の2次方程式に直す

【型】相反形は で割って の式にする（次数が半分になる）

【なぜこうするか】
で （）だから、両辺を で割ってよい。すると

ここで両端どうし、内側どうしを組むのがコツです。

①で作った を使えば、4次が2次に落ちます。これが相反方程式の置き換えの威力です。

解答。、 を代入して

よって［④］。

検算。 を に入れると ✓。重解になっていることも意味があり、これは元の4次式が と2乗の形であることに対応します（数式処理で確認：）✓。

【定石】相反方程式は で割って の式に。 が重解になったら、元の方程式は「2次式の2乗」である可能性が高い、と読み取れます。

【よくあるミス】 で割る前に の確認を書かないこと。問題文が冒頭で「 は解にならない」と述べているのはまさにこの確認のためです。記述式なら必ず一言添えます。

〔Ⅱ〕⑤⑥　 から を復元する

【型】置き換えを戻すときは「分母を払って2次方程式」

【なぜこうするか】
の両辺に を掛ければ というただの2次方程式になります。 を求めたら と1を足して戻すのを忘れないこと。
なお が1つしか出なかったので は2個（ の2解）だけ。もともと4次方程式なのでそれぞれが重解になっているわけです。

解答。 として

よって 。 より

検算（数式処理と直接代入）。 と因数分解できるので、解は すなわち （それぞれ重解）✓。数値では 、 で、両方を元の4次式に代入した値は厳密に ✓。
（余談：この2数は で、和が 、積が という美しい組です。黄金比 の親戚で、正五角形の対角線比に現れる数でもあります。）

【定石】置き換えは必ず「戻す」ところまでが1セット。 で答えを止めない。検算は元の式に代入が最強ですが、本問のように因数分解の形（）が見えると一瞬です。

【よくあるミス】 をそのまま答えにして を忘れること。もう一つは⑤⑥の大小を逆に書くこと（ の方が小さい）。

〔Ⅲ〕 と は逆数／相加相乗と値域

分野：指数・対数関数　難易度：やや難　目標時間：20分

〔Ⅲ〕①　 のときの

【型】 と は互いに逆数（底の変換公式）→ 1文字にまとめる

【なぜこうするか】
底の変換公式から

なのでこの2つは逆数です。つまり とおけば で、

という1文字の式に化けます。ここまで来れば「 型」の見慣れた問題です。 は 、すなわち を保証するための条件です。

解答。 とおくと 。 より

よって 。求めるのは だから

検算。 のとき ✓。具体例では とすれば ✓（ はともに1でない正の実数）。

【定石】。2つの対数が「底と真数を入れ替えた関係」なら、迷わず一方を 、他方を とおく。これで 型に持ち込めます。

【よくあるミス】 を答えて と書いてしまうこと。問われているのは です（②では逆に が問われており、意図的に入れ替えてあるので要注意）。

〔Ⅲ〕②　 のときの をすべて

【型】「すべて求めよ」は解が複数ある合図（2次方程式の2解）

【なぜこうするか】
①では で重解だったので値が1つでした。今回は で判別式が正になるので2つ出ます。「すべて求めると」という問題文はこの差を意識させるための書き方です。
さらに、この2解は と の組になっています（）。この「積が9で一定」という構造が、次の③の答えそのものです。

解答。 より

よって

検算。 は の場合で、 ✓（ など、 をみたす例がある）。 は の場合で、 だから ✓。

【定石】 の2解は「積が 」の組。片方が求まればもう片方は で即座に出ます（ なら相手は ）。

【よくあるミス】 を「 だから不適」と除外してしまうこと。条件は が1でない正の実数であり、 は禁止されていません。

〔Ⅲ〕③　2解の積＝③

【型】2数を解とする2次方程式は「（和）（積）」

【なぜこうするか】
2数 を解にもつ2次方程式は 。ここで

• 和 （ の定義そのもの。だから の形になっている）
• 積 （逆数の積は1）

つまり③は「逆数の積が1」から出る定数9です。ここが分かると、次の④⑤の「判別式」の話にそのままつながります。この一手が問題全体の設計の中心です。

解答。 より積は 。よって

検算。②の場合で確かめます。 のとき2解は と で、積は ✓、和は ✓。①の場合は で2解がともに 、積は ✓、和は ✓。

【定石】「2数が2次方程式の解」と言われたら和と積を作る。逆数どうしの積は必ず1なので、係数が付いていればその係数がそのまま積になる（ と なら積は9）。

【よくあるミス】積を のように係数を二重に掛けること。9が付いているのは一方だけです。

〔Ⅲ〕④⑤　 のとりうる値の範囲（全体）

【型】「実数解をもつ条件＝判別式 」／または相加相乗を正負で場合分け

【なぜこうするか】
③で が実数解をもつことが分かっています（ と は実数だから）。よって

相加平均・相乗平均で考えても同じ結論が出ます。 なら

（等号は ）。 なら に相加相乗を使って 、つまり 。 が全ての0でない実数を動ける（ を1でない正の数に固定すれば が任意の で作れる）ので、この範囲はすべて実際に到達します。

解答。

すなわち［④］、［⑤］。

検算（40万組の乱数による実測）。 をそれぞれ の一様乱数として を作り（）、 を40万組計算しました。結果、負の値の最大は 、正の値の最小は で、 の値は1つも現れませんでした ✓。①②で見た （）と （）が実際に達成されることも確認済み ✓。

【定石】「 の値域」は と で分けて相加相乗。結果は または という「中抜け」型になります。判別式ルートでも同じ答えに着きますが、「その が本当に到達可能か」の確認は判別式だけでは足りないので、 の動く範囲を必ず押さえること。

【よくあるミス】相加平均・相乗平均を にそのまま適用して だけを答えること。相加相乗は正の数にしか使えません。負のときは に対して使い、符号を戻します。

〔Ⅲ〕⑥　 に制限したとき

【型】条件は「 の範囲」に翻訳してから値域を考える

【なぜこうするか】
の条件を直接扱うのではなく、すべて の条件に翻訳するのがこの問題の勝ち筋です。 のとき は単調増加なので

つまり「 の側だけ」という意味。④⑤で見たとおり では相加相乗から で、等号は （、たとえば ）で成立します。制限が の符号を固定するだけなので、中抜けの片側が丸ごと残るという構図です。

解答。 より 。相加平均・相乗平均より

等号は のとき。よって

検算（乱数による実測）。40万組のうち かつ をみたすものだけを抜き出すと、 の最小値は 、負の値は1つも現れないという結果でした ✓。 では で と、等号が実際に達成されます ✓。

【定石】底が1より大きければ対数は単調増加、1より小さければ単調減少。条件を の不等式に翻訳するときは底の大小で不等号の向きが変わるので、 が与えられていることを必ず使うこと。

【よくあるミス】 だから と「1より大きい」を対数の値にまでスライドさせること。正しくは です（例： なら ）。

〔Ⅲ〕⑦　 に制限したとき

【型】 の範囲が「増加区間の内側」に入ったら、端点の値が境界になる（相加相乗は使えない）

【なぜこうするか】
条件を翻訳します。 なので は増加、よって

ここが本問最大の勘所です。 の最小点は ですが、 はその右側。つまり相加平均・相乗平均の等号が成立しないので とは書けません。

は で正なので、 は で単調増加。したがって値域は「 での値より大きい」と決まります。 は含まれないので不等号は です。

解答。。 は で単調増加だから、 において

また で となり、 は連続なので より大きい値はすべてとれる。よって

検算（乱数による実測）。40万組のうち かつ をみたすものを抜き出すと、 の最小は で をわずかに上回り、 未満の値は1つも現れませんでした ✓。境界に近い例として をとると 、 と に上から近づきます（等号にはならない）✓。

【定石】相加平均・相乗平均は「等号が成立する値が定義域に入っているか」を必ず確認。入っていなければ微分（または単調性）で端点の値を境界にする。そして端点が含まれるかどうかで と を書き分ける——⑥は 、⑦は と意図的に対比されています。

【よくあるミス】⑦でも相加相乗を使って と答えること。等号成立の は の外なので使えません。この「等号が使えるかの確認」は、相加相乗を使う問題すべてに共通する最重要チェックです。もう一つは と等号を付けてしまうミス（ は で、条件は と厳密な不等号）。