九州大学 2018年度 過去問・解答

今日の一問 ── 解答と考え方

型の宣言：a sin θ + b cos θ の形を見たら三角関数の合成。ただし範囲が制限されているときは合成して終わりではありません——端点の確認までが1セットです。

1. なぜその一手を選ぶのか

sin と cos が混ざったままでは増減が読めません。合成して R sin(θ + α) の 1 つの波にすれば、あとは「その波が範囲内でどこまで振れるか」だけの問題になります。R = √(1² + √3²) = 2 。

ここが本題です。範囲が狭いので、sin(θ + α) が 1 や −1 に届かないことがあります。届かない側は端点で最大（最小）になるので、θ = 0 と θ = π/2 の値を必ず計算して比べます。合成しただけで「最大は R + 6」と書くと、ここで落とします。

2. 解答

1. 合成： sin θ + √3 cos θ = 2 sin(θ + α) 。ここで α = π3 。
2. よって y = 2 sin(θ + α) + 6 。0 ≦ θ ≦ π/2 のとき θ + α は α から π/2 + α まで動きます。
3. この区間で sin は 1 に到達する（θ + α = π2）ので、最大値は 2 + 6 = 8 、そのとき θ = π6 。
4. sin は −1 にも届かないので、最小も端点。θ = π/2 のとき y = 7 が最小。

答え： 最大値 8（θ = π6）、最小値 7（θ = π2）

3. 検算

振れ幅で確かめる：最大 − 最小 = 1.000 。範囲が1周ぶんあるなら 2R = 4.000 に一致し、狭ければそれより小さくなるはずです。今回は2R より小さく、範囲が制限されている事実と整合しています。
端点を代入して確かめる：θ = 0 で y = 6 + √3 。これが最大値以下・最小値以上に収まっていることを必ず見ます。

この型の一般化：a sin θ + b cos θ = √(a²+b²) sin(θ + α) は無条件で使えますが、最大値が R になるとは限りません。決め手は「θ + α の動く区間が π2 や 3π2 を含むか」。含まなければ端点勝負です。合成は変形であって解答ではない——ここを混同するのがこの型の最頻出ミスです。第6章 関数で最大最小の判断を、第7章 座標で角の扱いを整理しています。