名古屋大学 2005年度 過去問・解答

※ 問題文は名古屋大学が公表した平成17年度（2005年度）入学試験問題を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した公式解答そのものではありません。作成にあたっては大学公表の解答と全6設問を突き合わせて一致を確認し、さらに は台形の頂点座標から靴ひも公式で面積を実測＋200万点の走査、 は の全 169 組の総当たり、 は数式処理で 6 個の解それぞれについて の整数を代入検査して独立に検算しています。

放物線と台形——面積比の最大値

分野：微積分（面積）・3次関数の最大　難易度：やや難　目標時間：25分

(1)　放物線と直線で囲まれた面積

【型】交点を求めたら 公式で一発——展開して積分しない

【なぜこうするか】
まず交点。 を整理して 、すなわち 。
面積は「上の関数 下の関数」を積分しますが、ここで展開して を計算するのは遠回り。被積分関数がすでに と因数分解された形なので、

という 公式がそのまま使えます。しかも (2) では を含む同じ形の計算が繰り返し出てくるので、ここで公式に慣れておくと後が速い。

より 、すなわち 。よって 、。 では放物線が直線の上にあるから

検算。展開して直接積分しても ✓　数式処理でも ✓

【定石】放物線と直線で囲まれた面積は （ は 2 次の係数、 は交点の 座標）。被積分関数を因数分解した形のまま扱うのがコツで、展開すると必ず遅くなります。

【よくあるミス】上下を逆にして と負の値を出すこと。 で放物線が上（たとえば で放物線 、直線 ）を確認しましょう。

(2)　台形の面積比 の最大値

【型】AB CD なので台形。「(上底＋下底)×高さ÷2」で を作り、 と置換

【なぜこうするか】
2 直線 と は傾きが同じ＝平行。だから AB と CD は平行で、四角形 ABDC は台形です。ここまでは見えるはず。
必要な量は 3 つ。

1. AB の長さ： 座標の差が 、傾き の直線上なので
2. CD の長さ： すなわち の 2 解の差 。よって
3. 高さ：平行な 2 直線 と の距離

これらを台形の公式に入れると、 がきれいに約分されて

ここからが本題。根号の中に がいるので、このまま微分すると面倒です。そこで と置換すると となり、 は

という の 3 次式に化けます。3 次式なら微分が一瞬。「根号を消すために置換する」——最大最小問題の最重要テクニックです。
の範囲も置換で読み替えます。 かつ 2 交点をもつ（判別式 ）から 、これは に対応します。

台形の 3 要素。 を整理すると 。相異なる 2 点で交わるから判別式 、すなわち 。 と合わせて 。

C、D の 座標の差は 。A、B の 座標の差は 。どちらの点も傾き の直線上にあるから、線分の長さは 座標の差の 倍で

また 2 直線 （）と （）は平行で、その距離は 。よって、高さを とおくと

▲ 、 と、 が放物線を切る 2 点 C、D。2 直線が平行なので ABDC は台形。図は最大となる で作図（このとき 、）。

置換して最大化。 とおくと は に対応し、。したがって

とおいて微分すると

では だから、 の符号は の符号と一致する。

			極大

よって で最大となり

すなわち の最大値は 。したがって (1) の を用いて

このとき より （確かに を満たす）。

最大値 （ のとき）

検算（座標から靴ひも公式で面積を実測＋200万点の走査）。各 について実際に C、D の座標を求め、四角形 A→C→D→B の面積を靴ひも公式で計算すると

	実測	公式の値
	4.791287847	4.791287847	0.229981817
	12.908326913	12.908326913	0.619599692
	18.518518519	18.518518519	0.888888889
	18.000000000	18.000000000	0.864000000

さらに を 200 万分割して走査すると、最大値は （）。、 と一致 ✓　 の最大値 も実測と合っています ✓

【定石】根号の中に変数がある最大最小は、根号ごと置換して多項式に化す（本問は ）。置換したら変域も必ず置き換える。平行な 2 直線に切られた図形は台形で、高さは点と直線の距離公式で出せます。

【よくあるミス】台形の「高さ」を そのものとしてしまうこと（正しくは2 直線間の距離 ）。また の範囲を だけにして、2 交点をもつ条件 を落とすこと。置換後に と書き換えるのも忘れずに。

対数の条件式と 52 枚のカード

分野：対数・整数・確率　難易度：標準　目標時間：22分

(1)　 となる

【型】対数をまとめて真数の等式に → 分母を払って の形へ

【なぜこうするか】
対数の和・差は1 つの にまとめるのが鉄則。

（ は 1 以上の整数なので真数条件は自動的に満たされます。）分母を払うと 、すなわち 。
ここが本問の急所。 は「 を足すと因数分解できる」——いわゆる因数分解の補完です。

整数の積が という形になったので、あとは の動く範囲を確認して約数を拾うだけ。 より ——負の側が までしかないので、 や といった負の組はすべて除外されます。ここを丁寧に書けるかが記述の質を分けます。

条件式の変形。対数をまとめると

だから は

整理して両辺に を足すと

約数の絞り込み。 はそれぞれ 以上 以下の整数だから、 は 以上 以下の整数。積が となる組でこの範囲に収まるのは

		範囲の確認
		〇
		〇
		〇
	—	×（ より小さくなる）

したがって

検算（169 組の総当たり）。 の全 組について を直接判定したところ、成り立つのは の 3 組だけ ✓　実際 ✓、 ✓

【定石】 型は を足して に因数分解（因数分解の補完）。整数問題の最頻出手筋です。約数を拾うときは、変数の範囲から因子の範囲を先に決める——負の組を機械的に除ける根拠になります。

【よくあるミス】 から負の組 などを検討せずに落とすこと。「範囲の確認により不適」と書くのが正しい処理で、はじめから無視するのは論証不足です。また の符号を取り違えること。

(2)　 となる確率

【型】「順に」なので順列で数える。 のときだけ非復元の効果で になる

【なぜこうするか】
「順に とする」と書かれているので、順序を区別した取り出し方で数えます。全体は 通り。
(1) で求めた 3 つの組それぞれについて、カードの選び方を数えます。ここで「各数について 4 枚ずつある」という設定が効きます。

• ：4 のカード 4 枚から 1 枚、12 のカード 4 枚から 1 枚 → 通り
• ：同様に 通り
• ：戻さないので、1 枚目に 6 のカードを 4 枚から 1 枚、2 枚目は残り 3 枚から 1 枚 → 通り

ここが唯一の落とし穴。 だけ「同じ数を 2 回」なので、 ではなく 。「戻さずに」の一語がここだけに効いているわけです。
（もし のカードが 1 枚しかなかったら は起こりえません。4 枚あるからこそ 12 通りある、という点も面白いところ。）

数え上げ。52 枚から順に 2 枚とりだす方法は 通り（すべて同様に確からしい）。(1) の 3 つの場合について

	取り出し方	通り数
	4 のカード 4 枚 12 のカード 4 枚
	12 のカード 4 枚 4 のカード 4 枚
	6 のカード 4 枚 残り 3 枚（戻さない）

これらは排反だから、求める確率は

検算。、 なので約分して ✓（ で と互いに素なので、これ以上約分できません）。数値では 、およそ 60 回に 1 回です。

【定石】「順に」と書かれたら順列（）、「同時に」なら組合せで数える。同じ数のカードを 2 枚とる場合だけ、非復元の効果で になることに注意。分母と分子で同じ数え方（順序を区別するかどうか）を揃えるのが最重要です。

【よくあるミス】 を 通りとして としてしまうこと。「戻さずに」がここで効きます。また と を同一視して 1 回しか数えないこと（順序を区別する数え方なので両方数える）。

の解と 3 次方程式の整数解

分野：複素数（ド・モアブル）・方程式の整数解　難易度：やや難　目標時間：25分

(1)　 の解

【型】極形式 とド・モアブルの定理。絶対値と偏角を別々に比べる

【なぜこうするか】
を実部・虚部で展開するのは論外。 乗根は極形式が定石です。（）とおくと、ド・モアブルの定理より

一方 。絶対値どうし、偏角どうしを比べると

は の周期なので、 の 6 個で尽きます（ は と同じ）。「 乗根はちょうど 個」という事実の確認にもなります。
図形的には原点中心・半径 2 の円周上を ずつ回った 6 点＝正六角形の頂点。この見え方を持っておくと (2) で 6 個を漏れなく調べられます。

とおくと、ド・モアブルの定理より 。一方 だから

　（ は整数）

よって 、。 を代入して

	0	1	2	3	4	5

したがって

検算。数式処理で を解くと、解は の6 個で一致 ✓　どれも ✓（ はもちろん ）。6 点は半径 2 の円周上に 間隔で並ぶ正六角形の頂点になっています。

【定石】 は極形式＋ド・モアブル。絶対値は 、偏角は で、解はちょうど 個・正 角形の頂点に並びます。 個そろったかを必ず数えること。

【よくあるミス】 を から まで動かさず、 だけで止めること。また の偏角を としてしまうこと（ は正の実数なので偏角は ）。

(2)　3 次方程式が整数解をもつ

【型】6 個の を 1 つずつ代入して 3 次方程式を作り、整数解の候補（定数項の約数）を試す

【なぜこうするか】
方針は素直に「6 通り全部調べる」。ただし調べ方に工夫があります。
まず に注目。（）なら 、 なら とすべて整数になります。だから 3 次方程式は整数係数——ここが重要で、整数解があるなら定数項の約数に限られるという定石が使えます。
6 個の から作られる方程式を並べると

					方程式

整数解の候補は定数項（ または ）の約数、すなわち （および ）だけ。これで検査は一瞬で終わります。
、 は で無理数なので即座に不適と分かります。

各方程式の検査。候補 を代入する。

方程式					整数解
	解は のみ（無理数）				なし
	解は のみ（無理数）				なし
					なし
					なし

（ は でも で にならず、 も では にならない。）

実際に因数分解して確かめると

となり、いずれも整数解をもつ（後者は が重解、 も整数解）。したがって条件をみたすのは

検算（数式処理による全数検査）。 の 6 個の解それぞれについて、 から 3 次方程式を組み立て、 のすべての整数を代入して になるものを探した結果

	方程式	見つかった整数解
		なし
		なし
		なし
		★
		なし
		★

該当は 2 個で、上の結論と一致 ✓

【定石】整数係数の方程式の整数解は、定数項の約数に限られる（有理根定理の特別な場合）。候補が数個に絞れるので、代入検査が現実的な時間で終わります。 の組が有限個なら、面倒がらずに表を作って全部調べるのが確実です。

【よくあるミス】 の計算で のときの符号を落とし、 と を取り違えること。この 2 つは整数解の有無が逆なので、答えが変わってしまいます。また （）の場合を「虚数でないから対象外」と勝手に除くこと——(1) で求めた解はすべて調べる対象です。