藤原進之介です。このページでは名古屋大学2012年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
すべての実数 に対して が成り立つとする。
そのような点 全体の領域を図示し、その面積を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
名古屋大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 名古屋大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
- 名古屋大学 国語の対策——記述で問われる力を型から
名古屋大学 数学 過去問｜他の年度を見る
名古屋大学の数学の過去問は23年度ぶんを公開しています。そのうち6年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
名古屋大学 2012年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 確率・場合の数
- 微分・積分
- 整数
- 指数・対数
- 関数・グラフ
- ベクトル
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2012年度の問題PDFでは、図形・三角関数、確率・場合の数、微分・積分、整数、指数・対数に関する語句や設問を確認できました。名古屋大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は23年度、微分・積分は23年度、確率・場合の数は22年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、指数・対数、整数、関数・グラフ
(1) 平面において, 2に関して点 P(g, 7)と対称な点を Qs, NETS. TOES, a, 5, 4を用いてs, 7を表せ。 ただ
し, AP(a, の)は4上にないとする。
2) 平面において, LMU THA OL, O)EMAEREALTS. hi -15hS1 OMENS LE, 線分0A の
長さの最大値と最小値を求めよ。 -
(8) kB —1ShS1ORMED< LSORA OWE CLS. CLiMy = 1 で囲まれた図形の面積を求めよ。
みを2 以上の整数とする。 1S n ECORMA 1 つずつ書かれている ヵ枚のカードがある。ただし, 異なるカードには暴
なる整数が書かれているものとする。このヵ枚のカードから, 1 枚のカードを無作旋に取り出して, 書かれた整数を調べて
からもとに戻す。この誌行を 3 回繰り返し 取り出したカードに書かれた整致の最小値を最大値をとする。次の問に
Bik. REL, jE MEOBLT, 7+』ヶを満たすとする。また, *はメー 1 以下の正の整数とする。
(1) =7かつYミ7+』#となる確率を求めよ。
(2 テーかつ了ニナ+んとなる確率を求めよ。
(3) アーメーsとなる確率を P(ゞ) とする。P(s) ERE.
A ヵが個数のとき, Ps) を最大にする を求めよ。
み を正の奇数とする。
] () なー1)上の展開式におけるァ*? の項の係数を求めよ。
] (2 pEOBMETSLS, ゆー1)"二1はヵで割り切れることを示せ。
(20 を正の整数とし.*ー 3! とする。 2" 上1は8"で割り切れることを示せ。
. ー 3一 M6 (672一138)
て J
x に2 TS
数 af 公 式 集
この公式集は問題と無関係に作成されたものであるが, 答案作成にあたって
利用してよい。この公式集は持ち帰ってよい。
a 等 玩
1 SFP 2 a, 74S a tate, (a, 0, cは正または0)
2. (a? +b? + 6?) (x? + y? + 2?) 2 (ax + by + cz)*
eG 角 PW
ys gs Z
3A aoe me
4, a’ =b? +c? — 2becosA
5 S=—pbesinA == alse), (s= (a+b +e)
@ 形 と #
6, RRL D 2 sen, x2 Emi IAB TA: MT MEL | mea
7. Ada, yi)と直線gz + by +co=0 COM, および点(%, 91, 21) OFM ax + by + cz +d =0 COREE:
laxit+byite| lax + by tea +dl
2 ye
8. RAHAT RL LOR H, yu)における接線 : たーーニュ
2 ye
9, 双曲線づテーー1上の点(gr CB Be AE AP 1
(ベクトルと行列)
10. 2 つのベクトルのなす角 ET
a
a 6)? 1 9 -b
11. お ーーが に a)’ (ad — be 0)
scsi we OM6 (672-142)
こ つう
a 素 数)
12, 極形式表示 :zニァ(cos9十jsinの, (r=|z|, 9王argz)
13. z1=ri(cos 01 + isin #1), zz三7z(cosの。十7sin の5)に対し, zizz = rire{cos(A: + 95)十7sim(の十9の)]
“1, ド・モアブルの公式 : = r(cos 8 + isin のに対し, 2" = "(cos nO + isin nd)
(解と係数の関係)
15. x? + pe +q=0 OMe, ののとき, at+B=—p, ab=4
16. x9 + px? + qx tr =O ORAS a, B, 7のとき, at+B+7=—p, of + By t+ra=4q, ofy=—7
et 数)
17, iog。カ=
logs a
CG A 関 数)
18. sin(a + £)=sinacosé + cosa sin 8
cos(@ + 8) = cosacos# — sinasin&
__tana+ tang
19. tana + 8)= Fg nn/
20. cos2gニ1一2simzg三2cos*g一1
21, sina cosa ーー | sin(e + A) + sine ~ 8)}
gt fa 。
cos asin 8 => { sn(e+のsn(e ~ A)
cos acos 8 =—5- { cos(e+の+cos(e-の]
。 。 1
sina sin @ =~} |cs(g+のーcos(e A)}
22, sin + sinB=2sin A+ og5 458
sin A — sin B= 2cos A +2 gin A~B
2 2
cosA + cos B= 200344 ogg AFB
cos — cos B =~ 2sin とを上スー
23, asin + bcos6 = ya? + Pi sin(9 + 2), Gina = Tote. cose = Tater)
& 列)
24 Wa, Ad, Wk n OwsEBDION : S,=n(a+ =n {2a+(n—1d}, C= at (n~ 14)
25, Wiha, Mir, Win ow bmoom :8,=20=") (1)
26. 14 224 BPH =n $1) (20 1)
Vtattsetntat= {tne ti) |
—s- M6 (672—143)
_ 7)
i 限) 」
at, jim [ュー] = 0 = 2, 828...
しだコ n
28, im SB* = 1
he oD
29 (ee)トニア(e@の)の6
= の _(de\-!
30. =f) DEBE =(4)
（続きは問題PDFで確認できます）
し, AP(a, の)は4上にないとする。
2) 平面において, LMU THA OL, O)EMAEREALTS. hi -15hS1 OMENS LE, 線分0A の
長さの最大値と最小値を求めよ。 -
(8) kB —1ShS1ORMED< LSORA OWE CLS. CLiMy = 1 で囲まれた図形の面積を求めよ。
みを2 以上の整数とする。 1S n ECORMA 1 つずつ書かれている ヵ枚のカードがある。ただし, 異なるカードには暴
なる整数が書かれているものとする。このヵ枚のカードから, 1 枚のカードを無作旋に取り出して, 書かれた整数を調べて
からもとに戻す。この誌行を 3 回繰り返し 取り出したカードに書かれた整致の最小値を最大値をとする。次の問に
Bik. REL, jE MEOBLT, 7+』ヶを満たすとする。また, *はメー 1 以下の正の整数とする。
(1) =7かつYミ7+』#となる確率を求めよ。
(2 テーかつ了ニナ+んとなる確率を求めよ。
(3) アーメーsとなる確率を P(ゞ) とする。P(s) ERE.
A ヵが個数のとき, Ps) を最大にする を求めよ。
み を正の奇数とする。
] () なー1)上の展開式におけるァ*? の項の係数を求めよ。
] (2 pEOBMETSLS, ゆー1)"二1はヵで割り切れることを示せ。
(20 を正の整数とし.*ー 3! とする。 2" 上1は8"で割り切れることを示せ。
. ー 3一 M6 (672一138)
て J
x に2 TS
数 af 公 式 集
この公式集は問題と無関係に作成されたものであるが, 答案作成にあたって
利用してよい。この公式集は持ち帰ってよい。
a 等 玩
1 SFP 2 a, 74S a tate, (a, 0, cは正または0)
2. (a? +b? + 6?) (x? + y? + 2?) 2 (ax + by + cz)*
eG 角 PW
ys gs Z
3A aoe me
4, a’ =b? +c? — 2becosA
5 S=—pbesinA == alse), (s= (a+b +e)
@ 形 と #
6, RRL D 2 sen, x2 Emi IAB TA: MT MEL | mea
7. Ada, yi)と直線gz + by +co=0 COM, および点(%, 91, 21) OFM ax + by + cz +d =0 COREE:
laxit+byite| lax + by tea +dl
2 ye
8. RAHAT RL LOR H, yu)における接線 : たーーニュ
2 ye
9, 双曲線づテーー1上の点(gr CB Be AE AP 1
(ベクトルと行列)
10. 2 つのベクトルのなす角 ET
a
a 6)? 1 9 -b
11. お ーーが に a)’ (ad — be 0)
scsi we OM6 (672-142)
こ つう
a 素 数)
12, 極形式表示 :zニァ(cos9十jsinの, (r=|z|, 9王argz)
13. z1=ri(cos 01 + isin #1), zz三7z(cosの。十7sin の5)に対し, zizz = rire{cos(A: + 95)十7sim(の十9の)]
“1, ド・モアブルの公式 : = r(cos 8 + isin のに対し, 2" = "(cos nO + isin nd)
(解と係数の関係)
15. x? + pe +q=0 OMe, ののとき, at+B=—p, ab=4
16. x9 + px? + qx tr =O ORAS a, B, 7のとき, at+B+7=—p, of + By t+ra=4q, ofy=—7
et 数)
17, iog。カ=
logs a
CG A 関 数)
18. sin(a + £)=sinacosé + cosa sin 8
cos(@ + 8) = cosacos# — sinasin&
__tana+ tang
19. tana + 8)= Fg nn/
20. cos2gニ1一2simzg三2cos*g一1
21, sina cosa ーー | sin(e + A) + sine ~ 8)}
gt fa 。
cos asin 8 => { sn(e+のsn(e ~ A)
cos acos 8 =—5- { cos(e+の+cos(e-の]
。 。 1
sina sin @ =~} |cs(g+のーcos(e A)}
22, sin + sinB=2sin A+ og5 458
sin A — sin B= 2cos A +2 gin A~B
2 2
cosA + cos B= 200344 ogg AFB
cos — cos B =~ 2sin とを上スー
23, asin + bcos6 = ya? + Pi sin(9 + 2), Gina = Tote. cose = Tater)
& 列)
24 Wa, Ad, Wk n OwsEBDION : S,=n(a+ =n {2a+(n—1d}, C= at (n~ 14)
25, Wiha, Mir, Win ow bmoom :8,=20=") (1)
26. 14 224 BPH =n $1) (20 1)
Vtattsetntat= {tne ti) |
—s- M6 (672—143)
_ 7)
i 限) 」
at, jim [ュー] = 0 = 2, 828...
しだコ n
28, im SB* = 1
he oD
29 (ee)トニア(e@の)の6
= の _(de\-!
30. =f) DEBE =(4)
（続きは問題PDFで確認できます）
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、微分・積分、整数、指数・対数
(1) メミ7かつ了アミ7 』となる確率を求めよ。
(2) メー7かつYニ7となる確率を求めよ。
(3) ヤーメーsとなる確率を P(s) とする。ア(s) を求めよ。
A ヵが個数のとき, Pls) を最大にする s を求めよ。
[4] を 3以上の全数とし。 mitp CHD ENRBETS,
(1) (2-1) の展開式における x の項の係数を求めよ。
= 2) のゆー1)" + 1は』で割り切れるととを示せ。
(3 ゆー1)"+ 1はで割り切れないことを示せ。
A /を正の整数とし。ゃー 3 とする。 2上1は8で割り切れることを示せ。
mi Bio でM7(672一150)
ka ブフ
Be S TN
数 学 公 式 集
この公式集は問題と無関係に作成されたものであるが, 答案作成にあたって
利用してよい。この公式集は持ち帰ってよい。
aA = xX
1 S52 a, 744" 2 vate, (a, 0, cは正または0)
2 (a? +b? +02) (x2 + y? +22) 2 (ar + by + cz)?
Gc #8. ®
を a e
3. Gna ~ sinB ~ sinc ~2*
4 at=b? +c? — 2becosA
“8 S=—phesinA = GGG), (=a tb +0)
@ee x» 、
6. 数直線上の2点。 zaをが:みに内分および外分する点 : MEL maa me
7. 点(x か)と直線oe by +e = 0 との距離, および点(xj。 y1, 21) CFB ax + by + cz +d =0 LOPE:
lax + byte] lax: + by: tea +l
8 KAP + alos, )における導線 : B+ WP 1
9. 双曲線一人=1 LOR, :)における接線 : AF — ーーュ -
(ベクトルと行列)
10, 2 つのベクトルのなす角 : cos9 =
lllal
ab) 1 2 -b
11. 。 =r =e 人 a)’ (ad — be ¥ 0)
— 8一 M7 (672一155)
= 、メ
ea 素 BD
12, 極形式表示 > z=r(cos@+isind), (r=|z|, 6=argz)
13, 2: = ri(cos 8: + isin), 22= r2(cos 02+ isin 2)に対し, 2122 = rire lcos(O1 + 42) + isin(: + 42)}
14, ド・モアブルの公式 2 = r(cosd + isim6) KHL, 2” = r"(cos 9 + isin 9)
RE RELO BR)
15, x? + px + q=0 OfFRa, BOLE, at+B=—p, ob =q
16, x9 + px? + qx + r= 0 Offa, B, 7のとき, a+ B+y=—p, a+ Ay t+ye=4, 9ニー
」 ort #)
_ logs
7 loge Mt = PERT
CG & 関 数)
18.sin(e十の王sinecos8十cosgsing
cos(g十の三cosecos2一sinesinガ
__tana + tang
19, tan(a + 4) =
20. cos2@=1—2sin?a = 2c0s?a — 1
a1. sinacos @=4- { sin(a + p)+ sina a)} .
oe lla 」
cosgsing=ー { sina + 6)— sin(a — 8)}
cos acos8=4- { costa + 8) + cosa ~ A}
—_— 1
sina sin =~ { cose + 8) — cosa — A)
2, sin + sinB=2sin 42 ogg AT B
sin — sinB= 2cos 442 gin AB
cos4+ cos B= 2c0s 44% cos 4-8
cos — cos B =~ 2sin AFF gin AB
- _ 。 ーー 5 _ a
23. asin@ + bcosd =a’ + b’sin(6 + a), ine= a’ cosa
& 列)
24 Wa, Aid, 項数なの等基数列の和: S,=+-nla+N=+a{2a+(a—La}, W=atln—1)d)
25, Wa, Nir, 項数なの等数列の和: 5。=そユービル と1)
2, LPH DEE BEE ta? =—a(n +1) (20 +1)
Let 28+ 324 tat= (nln +1) }
es 19) ax OMT (672—158)
(i 2)
27. lim (2 + 4) ーsー2.71828......
noo n
28, mm S8* = 1
ae
Can 積
29. {roe | =F le) 9’ 6)
= ay _(ae\"!
30.*ニ/7のとき学 =(4)
31. x=x(2), yay nce Ba ZO
32. (ane) =e, gyニー
83. x= 9 (NOES [polo Wat = f fade 、
4 /アでgwニの9のー [Fado (ede
アア) 。
35. [EG 4 = 0g 1 +¢
36, [loge de = xlogs —x+C
a. [=a =p ra (a>0), [ee = a0), fea) ~ Arde =— 8 - 04
38, MRR: V = x [7 GD} de
sa, thanome : [° /1+(2) arm [" (4) +(2)'a, @=20, yay), a=x@), b= H(8))
順列・組合や)
40. CrーュiCz キーュCr (1 ミヶミー1)
41. (atb)"= BC"
ie ES)
42. 確率の事象がヶ回の試行中7 回起る確率 : P()ニCrがの (9ニュキーの
（続きは問題PDFで確認できます）
(2) メー7かつYニ7となる確率を求めよ。
(3) ヤーメーsとなる確率を P(s) とする。ア(s) を求めよ。
A ヵが個数のとき, Pls) を最大にする s を求めよ。
[4] を 3以上の全数とし。 mitp CHD ENRBETS,
(1) (2-1) の展開式における x の項の係数を求めよ。
= 2) のゆー1)" + 1は』で割り切れるととを示せ。
(3 ゆー1)"+ 1はで割り切れないことを示せ。
A /を正の整数とし。ゃー 3 とする。 2上1は8で割り切れることを示せ。
mi Bio でM7(672一150)
ka ブフ
Be S TN
数 学 公 式 集
この公式集は問題と無関係に作成されたものであるが, 答案作成にあたって
利用してよい。この公式集は持ち帰ってよい。
aA = xX
1 S52 a, 744" 2 vate, (a, 0, cは正または0)
2 (a? +b? +02) (x2 + y? +22) 2 (ar + by + cz)?
Gc #8. ®
を a e
3. Gna ~ sinB ~ sinc ~2*
4 at=b? +c? — 2becosA
“8 S=—phesinA = GGG), (=a tb +0)
@ee x» 、
6. 数直線上の2点。 zaをが:みに内分および外分する点 : MEL maa me
7. 点(x か)と直線oe by +e = 0 との距離, および点(xj。 y1, 21) CFB ax + by + cz +d =0 LOPE:
lax + byte] lax: + by: tea +l
8 KAP + alos, )における導線 : B+ WP 1
9. 双曲線一人=1 LOR, :)における接線 : AF — ーーュ -
(ベクトルと行列)
10, 2 つのベクトルのなす角 : cos9 =
lllal
ab) 1 2 -b
11. 。 =r =e 人 a)’ (ad — be ¥ 0)
— 8一 M7 (672一155)
= 、メ
ea 素 BD
12, 極形式表示 > z=r(cos@+isind), (r=|z|, 6=argz)
13, 2: = ri(cos 8: + isin), 22= r2(cos 02+ isin 2)に対し, 2122 = rire lcos(O1 + 42) + isin(: + 42)}
14, ド・モアブルの公式 2 = r(cosd + isim6) KHL, 2” = r"(cos 9 + isin 9)
RE RELO BR)
15, x? + px + q=0 OfFRa, BOLE, at+B=—p, ob =q
16, x9 + px? + qx + r= 0 Offa, B, 7のとき, a+ B+y=—p, a+ Ay t+ye=4, 9ニー
」 ort #)
_ logs
7 loge Mt = PERT
CG & 関 数)
18.sin(e十の王sinecos8十cosgsing
cos(g十の三cosecos2一sinesinガ
__tana + tang
19, tan(a + 4) =
20. cos2@=1—2sin?a = 2c0s?a — 1
a1. sinacos @=4- { sin(a + p)+ sina a)} .
oe lla 」
cosgsing=ー { sina + 6)— sin(a — 8)}
cos acos8=4- { costa + 8) + cosa ~ A}
—_— 1
sina sin =~ { cose + 8) — cosa — A)
2, sin + sinB=2sin 42 ogg AT B
sin — sinB= 2cos 442 gin AB
cos4+ cos B= 2c0s 44% cos 4-8
cos — cos B =~ 2sin AFF gin AB
- _ 。 ーー 5 _ a
23. asin@ + bcosd =a’ + b’sin(6 + a), ine= a’ cosa
& 列)
24 Wa, Aid, 項数なの等基数列の和: S,=+-nla+N=+a{2a+(a—La}, W=atln—1)d)
25, Wa, Nir, 項数なの等数列の和: 5。=そユービル と1)
2, LPH DEE BEE ta? =—a(n +1) (20 +1)
Let 28+ 324 tat= (nln +1) }
es 19) ax OMT (672—158)
(i 2)
27. lim (2 + 4) ーsー2.71828......
noo n
28, mm S8* = 1
ae
Can 積
29. {roe | =F le) 9’ 6)
= ay _(ae\"!
30.*ニ/7のとき学 =(4)
31. x=x(2), yay nce Ba ZO
32. (ane) =e, gyニー
83. x= 9 (NOES [polo Wat = f fade 、
4 /アでgwニの9のー [Fado (ede
アア) 。
35. [EG 4 = 0g 1 +¢
36, [loge de = xlogs —x+C
a. [=a =p ra (a>0), [ee = a0), fea) ~ Arde =— 8 - 04
38, MRR: V = x [7 GD} de
sa, thanome : [° /1+(2) arm [" (4) +(2)'a, @=20, yay), a=x@), b= H(8))
順列・組合や)
40. CrーュiCz キーュCr (1 ミヶミー1)
41. (atb)"= BC"
ie ES)
42. 確率の事象がヶ回の試行中7 回起る確率 : P()ニCrがの (9ニュキーの
（続きは問題PDFで確認できます）