藤原進之介です。このページでは明治大学2015年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
とする。
を と を用いて表せ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
明治大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 明治大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
- 明治大学 国語の対策——現代文・古文を型で崩す手順
明治大学 数学 過去問｜他の年度を見る
明治大学の数学の過去問は32年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
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問題PDFをテキストでも確認
明治大学 2015年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 指数・対数
- 確率・場合の数
- 微分・積分
- 整数
- 関数・グラフ
- 空間図形
- 数列
この年度の出題範囲と傾向
2015年度の問題PDFでは、図形・三角関数、指数・対数、確率・場合の数、微分・積分、整数に関する語句や設問を確認できました。明治大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、整数は31年度、関数・グラフは31年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、指数・対数、図形・三角関数、確率・場合の数、数列
2015年度一般入学試験・問題訂正一覧(事前・当日・事後)
| IP2 下から3一4行目
| (Qo Monza
| (正)その人物の姓名を
| 旦本喝B
政治経済部 =
2月1日| (お LT] Bi 解答に影響がないため. 特別な
| 2 Be 年は講じず。【HP公開]
IP.9 CL) の設問において. 上から4行目の後ろに「た sc:
ue EL. = の場合を除く。」との条件が必要であっ | we [BASSE ONCE. sae
RECS, 記載していなかった。 sRELZE. CPE)
文学部 — ei 9
" 3 四 P.17 (V) 設問4において, トルーマンとすべきところ. g |該当設問については. 全員正
23昌 | (lz) BARE | ec UheRBLE. i. BE lees. HABA]
IP9. SPICIIPA2 (7) SOUT, AーEの5つ選択肢か
世界史B |ら誤っているものを解符させるとこる. 選択肢Bについ
法学部 |ての表記に誤りがあった。 (選択肢Bを削除)
2月4日| (あう ーーー|
IP11. 設問LV〕 問2 (イ)選択肢A に影絡がないた: な|
| 政治"経済 |(R) ERE RAB (FAO) a |(BECREN GES, hate
| | | GE) ERS RAN (FAO PSC? 5 Pe
| | P_34 上から6行目
| | | (&)- BRO EAE
| | (正)...南埋の正統性
| IP. 39 上から6行目
| | (2) B 16274), -- wT
| | )EREROMEERMETS--
P. 47 下から7行目
| (EMRE WRIA ARIE
| (EER BAB, RATA -
| Base [pss (1) Pe miRERC
(S) REL eR AEH OTB DIL T
| (正)内乱を描いた
| P28 (1) 問8において, 正解が数存在した。 se Bree nem
| た。
| = —
| atap P.44 CIV) 問5において. 選択肢の中に正解が存在し| ey |該当設問については. 全員正
| 2R ISB (か) | |なかった。 解とした。【HP公開】
ト ーー te A. |
| P. 56 上から12行目
| (8) -BHD~@--
| CE): - HDD:
| 地理 IP. 76 下から4行目 事前
| (誤)...地図記号
| (正)...地図紀号 o・
| |
| P, 33 上から2行上 |
(ig) ...化合物を目視による
(正) 化合物から目視による
P.39 下から4行目
a (8): 処理水に含まれていていた
化学 (正) 処理水に含まれていた
P2ENSTEMSeTEOMERIZSWT, 「それ| ne
ES し |角和影響がないため。 特別な|
|ぞれ2個と4個存在する」とすべきところを、「それぞれ| we OO
|*個と2個存在する」と表記した。 回 RIES eHPRE
明治大学
た
数 学 間 題
はじめに, これを読むこと。
(注意事項)
1. この問題用紙は 12 ベージまである。ただし, ページ番号のない白紙は
ページ数に含まない。
2. これは, 数学の問題である。解答用紙が出願時に選択 した科目である
かどうか確認のうえ, 解答すること。
3. 解答用紙の所定の欄に, 必ず氏名を記入すること。
4. 解答用紙には受験番号が印刷さきされているので, 受験番号が正しいかど
うか受験票と照合し確認すること。
5. 解答はすべて「解答用紙」の解答欄に記入またはマークすること。解管
欄以外のところは何も記入しないこと。
6. 解答は, BPR RY OT AY DPI BB + BR) CHA
FOS Be
7. 訂正は消しゴムできれいに消し, 消しくずを残さないこと。
8. 解答用紙は, 絶対に汚したり折り曲げたりしないこと。
9. 文字は一点一画まで正確に書くこと。
10. 解答用紙は持ちかえらないこと。
11. この問題用紙は必ず持ちかえること。
12. この試験時間は 60 分である。
13. マークの記入例
10 990
C1) 決の各間の | | にあてはまる数を各解千群から選び, 解符用紙の所定の
杉にマークせよ。同一のものを何回使用してもよい。また。 分数はすべて既約分
数で表し, 根号の中の平方数は根号の外に出して簡略化せよ。
() 白玉2 個、 赤玉4 個が入っている袋から玉を 1 個取り出し, 色を調べてから
元に戻すことを5回続けて行うとき, ちょうど4回自玉が出る確率は,
Ee
RE)
® 1 2 © 3 D 4 ® 5
る 9 © 10 6 27 ® gh の7 23
@) テールナするるろニそ(ま0)のとき
ニニ
a
REE)
® 0 ® 1 © 2 6 3 ® 4
® 5 @ 6 @®7 Os 1 9
op ex
このページは計算用紙と して使用しなさい。
a
(3) 0*<9ミ1807の とき, 関数ッー2simの8cos9トでの 最大値は
で, そのとき, EET gs
また, 最小値は。 “Trl そのとき, tang = である。
EAE)
® 0 15 1 © 2 ® 3 ® 4
® 5 © 6 @7 D8 D9
(4) BABS Ce) = (Clog, 24)? + log, (24) + logy x + 21k, “TA”
とき, 最小値一 | ウ | をとる。
(RASRED
@ 0 8 1 © 2 6 3 ® 4
® 5 © 6 @7 ® 8 の 9
cog) a
このページは計算用紙と して使用しなさい。
みな
(5) 一般項が = 1004+ 3m, ¥,=50+2X, CHL ONS HAI, (YH
対して
2% — 4) ¥, aX
（続きは問題PDFで確認できます）
| IP2 下から3一4行目
| (Qo Monza
| (正)その人物の姓名を
| 旦本喝B
政治経済部 =
2月1日| (お LT] Bi 解答に影響がないため. 特別な
| 2 Be 年は講じず。【HP公開]
IP.9 CL) の設問において. 上から4行目の後ろに「た sc:
ue EL. = の場合を除く。」との条件が必要であっ | we [BASSE ONCE. sae
RECS, 記載していなかった。 sRELZE. CPE)
文学部 — ei 9
" 3 四 P.17 (V) 設問4において, トルーマンとすべきところ. g |該当設問については. 全員正
23昌 | (lz) BARE | ec UheRBLE. i. BE lees. HABA]
IP9. SPICIIPA2 (7) SOUT, AーEの5つ選択肢か
世界史B |ら誤っているものを解符させるとこる. 選択肢Bについ
法学部 |ての表記に誤りがあった。 (選択肢Bを削除)
2月4日| (あう ーーー|
IP11. 設問LV〕 問2 (イ)選択肢A に影絡がないた: な|
| 政治"経済 |(R) ERE RAB (FAO) a |(BECREN GES, hate
| | | GE) ERS RAN (FAO PSC? 5 Pe
| | P_34 上から6行目
| | | (&)- BRO EAE
| | (正)...南埋の正統性
| IP. 39 上から6行目
| | (2) B 16274), -- wT
| | )EREROMEERMETS--
P. 47 下から7行目
| (EMRE WRIA ARIE
| (EER BAB, RATA -
| Base [pss (1) Pe miRERC
(S) REL eR AEH OTB DIL T
| (正)内乱を描いた
| P28 (1) 問8において, 正解が数存在した。 se Bree nem
| た。
| = —
| atap P.44 CIV) 問5において. 選択肢の中に正解が存在し| ey |該当設問については. 全員正
| 2R ISB (か) | |なかった。 解とした。【HP公開】
ト ーー te A. |
| P. 56 上から12行目
| (8) -BHD~@--
| CE): - HDD:
| 地理 IP. 76 下から4行目 事前
| (誤)...地図記号
| (正)...地図紀号 o・
| |
| P, 33 上から2行上 |
(ig) ...化合物を目視による
(正) 化合物から目視による
P.39 下から4行目
a (8): 処理水に含まれていていた
化学 (正) 処理水に含まれていた
P2ENSTEMSeTEOMERIZSWT, 「それ| ne
ES し |角和影響がないため。 特別な|
|ぞれ2個と4個存在する」とすべきところを、「それぞれ| we OO
|*個と2個存在する」と表記した。 回 RIES eHPRE
明治大学
た
数 学 間 題
はじめに, これを読むこと。
(注意事項)
1. この問題用紙は 12 ベージまである。ただし, ページ番号のない白紙は
ページ数に含まない。
2. これは, 数学の問題である。解答用紙が出願時に選択 した科目である
かどうか確認のうえ, 解答すること。
3. 解答用紙の所定の欄に, 必ず氏名を記入すること。
4. 解答用紙には受験番号が印刷さきされているので, 受験番号が正しいかど
うか受験票と照合し確認すること。
5. 解答はすべて「解答用紙」の解答欄に記入またはマークすること。解管
欄以外のところは何も記入しないこと。
6. 解答は, BPR RY OT AY DPI BB + BR) CHA
FOS Be
7. 訂正は消しゴムできれいに消し, 消しくずを残さないこと。
8. 解答用紙は, 絶対に汚したり折り曲げたりしないこと。
9. 文字は一点一画まで正確に書くこと。
10. 解答用紙は持ちかえらないこと。
11. この問題用紙は必ず持ちかえること。
12. この試験時間は 60 分である。
13. マークの記入例
10 990
C1) 決の各間の | | にあてはまる数を各解千群から選び, 解符用紙の所定の
杉にマークせよ。同一のものを何回使用してもよい。また。 分数はすべて既約分
数で表し, 根号の中の平方数は根号の外に出して簡略化せよ。
() 白玉2 個、 赤玉4 個が入っている袋から玉を 1 個取り出し, 色を調べてから
元に戻すことを5回続けて行うとき, ちょうど4回自玉が出る確率は,
Ee
RE)
® 1 2 © 3 D 4 ® 5
る 9 © 10 6 27 ® gh の7 23
@) テールナするるろニそ(ま0)のとき
ニニ
a
REE)
® 0 ® 1 © 2 6 3 ® 4
® 5 @ 6 @®7 Os 1 9
op ex
このページは計算用紙と して使用しなさい。
a
(3) 0*<9ミ1807の とき, 関数ッー2simの8cos9トでの 最大値は
で, そのとき, EET gs
また, 最小値は。 “Trl そのとき, tang = である。
EAE)
® 0 15 1 © 2 ® 3 ® 4
® 5 © 6 @7 D8 D9
(4) BABS Ce) = (Clog, 24)? + log, (24) + logy x + 21k, “TA”
とき, 最小値一 | ウ | をとる。
(RASRED
@ 0 8 1 © 2 6 3 ® 4
® 5 © 6 @7 ® 8 の 9
cog) a
このページは計算用紙と して使用しなさい。
みな
(5) 一般項が = 1004+ 3m, ¥,=50+2X, CHL ONS HAI, (YH
対して
2% — 4) ¥, aX
（続きは問題PDFで確認できます）
問2画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、微分・積分、空間図形、整数
(1) 1から10までの整数が書かれたカードが1枚ギずつある。それらのカードから
1枚のカードを抜き取り, このカードの数字を。 とする。抜き取ったカードを
元に戻し, 再び 1 枚のカードを抜き取り, このカードの数字を0 とする。
どの数字が書かれたカードも同じ確率で抜き取られるとする。
空本内の各文字に当てはまる数字を所定の解答欄にマーク しなさい。
ただし, 分数はすべて棄約分数にしなさい。
(1) が3の倍数となる確率は ーーー である。
の十8=3(g +b) となる確率はご5 である。
1るlog $2 となる確率は ーーーーー である。
(2) の(0"ミ9<360')を未知数とする方程式cos*6@十gsin9一5が解を持つ
確率は 王寺 である。
(3) a(b—6)(b+ 人
また, EE本 ee
ーュー
(1) 同一平面上の4点A, B, C, Dを頂点とする四角形 ABCD がある。この四角
形の対角線 AC と BD の交点をPとする。辺 AB の長さは1, 辺 BCの長さは
5, 辺 AD の長さは 2 であり, 三角形 PAB, 三角形PBC, 三角形 PAD の面積の
比は, 1:5:2である。PA4, PB一ちとし, 各設問に替えなさい。
空欄内の各文字に当てはまる数字を所定の解答欄にマーク しなさい。
ただし, 分数はすべて既約分数にしなさい。
-
また, a:b = である。
(2) SAME RCD OMENS ST Co Be
(3) 直線 AD と直線 BC の交点をR とすると,
@ (27+
ーー
ー*ー
(I) 座標平面上で, tity = 2+ 922+ 201+ 52%R EFS,
空欄内の各文字に当てはまる数字を所定の解答欄にマーク しなさい。
REL, 分数はすべて既約分数にしなさい。
設問3の解符は裏面を使用し 計算の途中式も書きなさい。
(1) (0, 0)を通る曲線尽 omer, ッー | ヒフ | * である。
(2) (0, 32)を通る曲線@の接線は3本あり, それらの接線の令きの合計は
Te
(3) (0.ヵ)を通る曲線 の接線が 3 本あるためのヵ の条件を求めなさい。
ーョー
1枚のカードを抜き取り, このカードの数字を。 とする。抜き取ったカードを
元に戻し, 再び 1 枚のカードを抜き取り, このカードの数字を0 とする。
どの数字が書かれたカードも同じ確率で抜き取られるとする。
空本内の各文字に当てはまる数字を所定の解答欄にマーク しなさい。
ただし, 分数はすべて棄約分数にしなさい。
(1) が3の倍数となる確率は ーーー である。
の十8=3(g +b) となる確率はご5 である。
1るlog $2 となる確率は ーーーーー である。
(2) の(0"ミ9<360')を未知数とする方程式cos*6@十gsin9一5が解を持つ
確率は 王寺 である。
(3) a(b—6)(b+ 人
また, EE本 ee
ーュー
(1) 同一平面上の4点A, B, C, Dを頂点とする四角形 ABCD がある。この四角
形の対角線 AC と BD の交点をPとする。辺 AB の長さは1, 辺 BCの長さは
5, 辺 AD の長さは 2 であり, 三角形 PAB, 三角形PBC, 三角形 PAD の面積の
比は, 1:5:2である。PA4, PB一ちとし, 各設問に替えなさい。
空欄内の各文字に当てはまる数字を所定の解答欄にマーク しなさい。
ただし, 分数はすべて既約分数にしなさい。
-
また, a:b = である。
(2) SAME RCD OMENS ST Co Be
(3) 直線 AD と直線 BC の交点をR とすると,
@ (27+
ーー
ー*ー
(I) 座標平面上で, tity = 2+ 922+ 201+ 52%R EFS,
空欄内の各文字に当てはまる数字を所定の解答欄にマーク しなさい。
REL, 分数はすべて既約分数にしなさい。
設問3の解符は裏面を使用し 計算の途中式も書きなさい。
(1) (0, 0)を通る曲線尽 omer, ッー | ヒフ | * である。
(2) (0, 32)を通る曲線@の接線は3本あり, それらの接線の令きの合計は
Te
(3) (0.ヵ)を通る曲線 の接線が 3 本あるためのヵ の条件を求めなさい。
ーョー
問3画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、数列、空間図形
mE 部
し
はじめに, これを読むこと。
1. この間題用紙は3ページまである。ただし, ページ番号のない和白紙はペー
ジ数に含まない。
2. 問題は。 1 ページから 3 ページに書かれている。それ以外のページは, 計
算用紙として使用してよい。
3. 解答用紙に印刷されている受験番号が正しいかどうか, 受験票と照合して
確認すること。
4. 監督者の指示にしたがい, 解答用紙の氏名欄に氏名を記入すること。
5. 解答は, すべて解答用紙の所定繝にマークするか, または記入すること。
所定欄以外のところには何も記入しない。
6. 分数形で解答する場合は, それ以上約分できない形で答えなさい。また,
根号を含む形で解答する場合は, 根号の中に現れる自然数が最小となる形
で符えなさい。
7. 問題に指定された数より多くマークしないこと。
8. 解答は, 必ず鉛筆またはシャープベンシル(いずれもHB・黒)で記入のこ
a
9, 訂正する場合は, 消しゴムできれいに消し, 消しくずを残さないこと。
10. 解答用紙は, 絶対に汚したり折り曲げたりしないこと。
* 11. 解答用紙はすべて回収する。持ち帰らず, 必ず提出しなさい。ただし, こ
の間題用紙は, 必ず持ち帰りなさい。
12. 試験時間は60分である。
13. マータク記入例
]
#680)
※ この問題用紙は, 必ず持ち帰りなさい。
C1) xoatio | |] に入る導値を下の表から選んでアルファベットをマータク
せよ。同じアルファベットを選んでもかまわない。
1. 0"全の9く90"にたいして, sin 9 (sinのcos2) =-2 を満たすとき。
である。
2 .初項がg, 公差が0 でない数す の等差数列の初項から第ヵ 項までの和を S,
とする。このとき, S。三0であり, 1ミみヶミ6について, 5, の最大の値が,
9であるとすると, 初項と公差は。 それぞれ
である。
3. 平面上で, 点P(2, 4)と点Q(。 お)(一2く7く2)をとる。 放物線
C:ァニーダの点Pにおける接線をる, 点Qにおける接線をんとし, GEL
ORREREBS. ton ZPRQ=L OLS, 7ー| 1519 |] であぁり, このと
き, Cとる, をで囲まれた傾域の面積は。 | (6) |] である。
2 sl! a ew
ルー 5 2 D. -5
ee F. =e G,, =2 H. -1
Te. 8 まぁ 2 Bx % LE. 3
M. 4 N. 5 0. 6 Bi F
Q. 8 R. (2 SalS. T.ア7
ユエ fe 2 9
U. = v5 wy x.
16 27
ト 2 3 ae 4
ーーュー
CI) 次のアートに当てはまる0^ 9 の数字を解答欄にマークせよ。
三角形へABC の各辺の長さをAB王5, BC=ニ7, CA=3EL, AABC の外
接円の中心を 0 とする。
マ
LOLS, cos4 ニー ーー , sind ーー ーーデーコー であり, 外接円の
Cal
半径はーーーーーーーコーーー- である。
BC LORD が。 へABD : AADC = 1 : 2 を満たすとき,
es
OD = -— OB + = 0c
=
と書け, OB・OC = ー SS なので, OD = SS FHS.
また,
AABD _
である。
phe ty
()
1. 大学側から設問の条件に不足があったことが公表されました。
2. c>0を正の実数とするとき, すべでてのァ> 0にたいして,
ーーgラ一8
となる<c の範囲をもとめよ。
3. 3次関数/(x)と2次関数g(x>>について, * ニッにおけるア(7) と g(*) OB
線が一致するような実数2 は, 高々 1 つしか存在しないことを証明せよ。
ーす一
し
はじめに, これを読むこと。
1. この間題用紙は3ページまである。ただし, ページ番号のない和白紙はペー
ジ数に含まない。
2. 問題は。 1 ページから 3 ページに書かれている。それ以外のページは, 計
算用紙として使用してよい。
3. 解答用紙に印刷されている受験番号が正しいかどうか, 受験票と照合して
確認すること。
4. 監督者の指示にしたがい, 解答用紙の氏名欄に氏名を記入すること。
5. 解答は, すべて解答用紙の所定繝にマークするか, または記入すること。
所定欄以外のところには何も記入しない。
6. 分数形で解答する場合は, それ以上約分できない形で答えなさい。また,
根号を含む形で解答する場合は, 根号の中に現れる自然数が最小となる形
で符えなさい。
7. 問題に指定された数より多くマークしないこと。
8. 解答は, 必ず鉛筆またはシャープベンシル(いずれもHB・黒)で記入のこ
a
9, 訂正する場合は, 消しゴムできれいに消し, 消しくずを残さないこと。
10. 解答用紙は, 絶対に汚したり折り曲げたりしないこと。
* 11. 解答用紙はすべて回収する。持ち帰らず, 必ず提出しなさい。ただし, こ
の間題用紙は, 必ず持ち帰りなさい。
12. 試験時間は60分である。
13. マータク記入例
]
#680)
※ この問題用紙は, 必ず持ち帰りなさい。
C1) xoatio | |] に入る導値を下の表から選んでアルファベットをマータク
せよ。同じアルファベットを選んでもかまわない。
1. 0"全の9く90"にたいして, sin 9 (sinのcos2) =-2 を満たすとき。
である。
2 .初項がg, 公差が0 でない数す の等差数列の初項から第ヵ 項までの和を S,
とする。このとき, S。三0であり, 1ミみヶミ6について, 5, の最大の値が,
9であるとすると, 初項と公差は。 それぞれ
である。
3. 平面上で, 点P(2, 4)と点Q(。 お)(一2く7く2)をとる。 放物線
C:ァニーダの点Pにおける接線をる, 点Qにおける接線をんとし, GEL
ORREREBS. ton ZPRQ=L OLS, 7ー| 1519 |] であぁり, このと
き, Cとる, をで囲まれた傾域の面積は。 | (6) |] である。
2 sl! a ew
ルー 5 2 D. -5
ee F. =e G,, =2 H. -1
Te. 8 まぁ 2 Bx % LE. 3
M. 4 N. 5 0. 6 Bi F
Q. 8 R. (2 SalS. T.ア7
ユエ fe 2 9
U. = v5 wy x.
16 27
ト 2 3 ae 4
ーーュー
CI) 次のアートに当てはまる0^ 9 の数字を解答欄にマークせよ。
三角形へABC の各辺の長さをAB王5, BC=ニ7, CA=3EL, AABC の外
接円の中心を 0 とする。
マ
LOLS, cos4 ニー ーー , sind ーー ーーデーコー であり, 外接円の
Cal
半径はーーーーーーーコーーー- である。
BC LORD が。 へABD : AADC = 1 : 2 を満たすとき,
es
OD = -— OB + = 0c
=
と書け, OB・OC = ー SS なので, OD = SS FHS.
また,
AABD _
である。
phe ty
()
1. 大学側から設問の条件に不足があったことが公表されました。
2. c>0を正の実数とするとき, すべでてのァ> 0にたいして,
ーーgラ一8
となる<c の範囲をもとめよ。
3. 3次関数/(x)と2次関数g(x>>について, * ニッにおけるア(7) と g(*) OB
線が一致するような実数2 は, 高々 1 つしか存在しないことを証明せよ。
ーす一
問4画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、確率・場合の数、指数・対数、整数
(1 ) 次の ア PSY にあてはまる 0 から 9 までの数字を, 解答用紙の所定
の材にマークせょ。 | オカ |,| コサ| は2桁の数である。
A
3 辺の長さが AB =15, BC=13, CA=14T ‘ey y
ある三角形 ABO を考える。 ; い
B= Cc
(a) cos4= ーー , sin 4 = === である。
(b) AE 内接円の半径は| ク |
である。
(c) 三角形 ABCの内接円と辺 BCの接点をD とすると, DO=| ヶ |
CHS. RK, 三角形 ABC の外心と辺 BC LOM ————
HS, WAL, 三角形 ABC の外心と内心との距離は エーニー で
ある。
ーー
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
ii
(2) 次の タ PSY にあてはまる 0 から 9 までの数字を, 解答用紙の所定
の欄にマークせよ。
MK cl を3 次の整式 /(z) で割った余りが 5a? 4 THD, かつ
ナ(1) キ 0 ならば, BRN f(x) = 0 の解は小さい順に
-Lタ上 -CL= 1)
である。
a
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
a
(3) 次の テ から ノ にあてはまる 0 から 9 までの数字を, 解答用紙の所定
の欄にマークせよ。 と| ナニ | は2格の数 は3桁
の数である。
(a) 大ききの異なる2 個のさいころを振るとき, 出た目の和が7でない目
の出方は| テト |通りである。
(b) 大ききの異なる3個のさいころを振るとき, 出た目の和が7の倍数と
なる目の出方| ナニ |通りである。
(c ) 大きさの異なる4個のさいころを振るとき, 出た目の和が7の倍数と
なる目の出方は| ヌネノ | 通りである。
ーー
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
=
(I) 次の| ぁ | から| き | にあてはまるもの(数式など) を解答用
紙の所定の欄に記入せよ。ただし, 途中経過は必要でない。
座標平面上に4点O (0, 0), A(2. 0), Blu v), C(2, 5) をとる。
ただし, > 2, 0 <り< や-wとする。そして, 四角形OABC の内部に
HP (のをとる。
(1) =e POA と四角形 OABC OMBUEIE 8 : 10 とする。このとき, を
ャの式で表すと, +ー| あ | である。
(2) 三角形PCO と三角形POA の面積比は 2 : 3 とする。このとき, MOH
ら直線 OP に下ろした垂線の長さと点 A から直線 OP に下ろした垂線の長
SOLE, である。したがって, 直線 OP と線分 CA の交点の護
標は| う | であり, soによらず一定である。ゆえに, sを#の式
で表すと, s=| え | である。
(3) 三角形 PAB と三角形 PBC の面積比は 2 : 3 とする。このとき, 直線
TB と線分 CA DKON |B | であり, swりによらず一定
である。
(4) 三角形PCO, 三角形POA, 三角形PAB, 三角形 PBC の面積比は
2:3:2:3 とする。このとき, をャの式で表すと。ャー| か | であっ
て, のとりうる値の範囲は| さき | である。
ーィァー
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
=
CM) (1), (2)の| < ] かぅ| こ | にあてはまる数式を解和用紙の所定
の棚に記入せよ。 途中経過は必要でない。
Ek, (3) の解答を解管用紙の所定の欄に記述せよ。途中経過も書くこと。
vy 平面上の曲線りー 1oge をでC とする。c は実数の定数とし, KA (a, 1
をとる。ただし, loge は自然対数とする。また, 点 P が点A に関して点Q
と対称であるとは, A が線分 PQ の中点であることをいう。ただし, Q =A
のときはPニAとする。
(1) 点Aに関して点 Q (p, 9) と対称な点P の座標を o, 2, y を用いて表す
(してし eee.
(2) 点Pが曲線上を動くとき,Aに関してP と対称な点 Q の描く軌跡を
の' とする。 曲線 の' の方程式は, である。
(3) のとの'は直線> = 2e 上に共有点をもつとする。ただし, <は自然対数
の底である。以下の問に答えよ。
(a) の値。および, もう 1つの共有点の 庶標を求めよ。
(b) Cとの によって囲まれた部分の面積を求めよ。
ー 5 一
の材にマークせょ。 | オカ |,| コサ| は2桁の数である。
A
3 辺の長さが AB =15, BC=13, CA=14T ‘ey y
ある三角形 ABO を考える。 ; い
B= Cc
(a) cos4= ーー , sin 4 = === である。
(b) AE 内接円の半径は| ク |
である。
(c) 三角形 ABCの内接円と辺 BCの接点をD とすると, DO=| ヶ |
CHS. RK, 三角形 ABC の外心と辺 BC LOM ————
HS, WAL, 三角形 ABC の外心と内心との距離は エーニー で
ある。
ーー
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
ii
(2) 次の タ PSY にあてはまる 0 から 9 までの数字を, 解答用紙の所定
の欄にマークせよ。
MK cl を3 次の整式 /(z) で割った余りが 5a? 4 THD, かつ
ナ(1) キ 0 ならば, BRN f(x) = 0 の解は小さい順に
-Lタ上 -CL= 1)
である。
a
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
a
(3) 次の テ から ノ にあてはまる 0 から 9 までの数字を, 解答用紙の所定
の欄にマークせよ。 と| ナニ | は2格の数 は3桁
の数である。
(a) 大ききの異なる2 個のさいころを振るとき, 出た目の和が7でない目
の出方は| テト |通りである。
(b) 大ききの異なる3個のさいころを振るとき, 出た目の和が7の倍数と
なる目の出方| ナニ |通りである。
(c ) 大きさの異なる4個のさいころを振るとき, 出た目の和が7の倍数と
なる目の出方は| ヌネノ | 通りである。
ーー
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
=
(I) 次の| ぁ | から| き | にあてはまるもの(数式など) を解答用
紙の所定の欄に記入せよ。ただし, 途中経過は必要でない。
座標平面上に4点O (0, 0), A(2. 0), Blu v), C(2, 5) をとる。
ただし, > 2, 0 <り< や-wとする。そして, 四角形OABC の内部に
HP (のをとる。
(1) =e POA と四角形 OABC OMBUEIE 8 : 10 とする。このとき, を
ャの式で表すと, +ー| あ | である。
(2) 三角形PCO と三角形POA の面積比は 2 : 3 とする。このとき, MOH
ら直線 OP に下ろした垂線の長さと点 A から直線 OP に下ろした垂線の長
SOLE, である。したがって, 直線 OP と線分 CA の交点の護
標は| う | であり, soによらず一定である。ゆえに, sを#の式
で表すと, s=| え | である。
(3) 三角形 PAB と三角形 PBC の面積比は 2 : 3 とする。このとき, 直線
TB と線分 CA DKON |B | であり, swりによらず一定
である。
(4) 三角形PCO, 三角形POA, 三角形PAB, 三角形 PBC の面積比は
2:3:2:3 とする。このとき, をャの式で表すと。ャー| か | であっ
て, のとりうる値の範囲は| さき | である。
ーィァー
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
=
CM) (1), (2)の| < ] かぅ| こ | にあてはまる数式を解和用紙の所定
の棚に記入せよ。 途中経過は必要でない。
Ek, (3) の解答を解管用紙の所定の欄に記述せよ。途中経過も書くこと。
vy 平面上の曲線りー 1oge をでC とする。c は実数の定数とし, KA (a, 1
をとる。ただし, loge は自然対数とする。また, 点 P が点A に関して点Q
と対称であるとは, A が線分 PQ の中点であることをいう。ただし, Q =A
のときはPニAとする。
(1) 点Aに関して点 Q (p, 9) と対称な点P の座標を o, 2, y を用いて表す
(してし eee.
(2) 点Pが曲線上を動くとき,Aに関してP と対称な点 Q の描く軌跡を
の' とする。 曲線 の' の方程式は, である。
(3) のとの'は直線> = 2e 上に共有点をもつとする。ただし, <は自然対数
の底である。以下の問に答えよ。
(a) の値。および, もう 1つの共有点の 庶標を求めよ。
(b) Cとの によって囲まれた部分の面積を求めよ。
ー 5 一
問5画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、微分・積分、関数・グラフ、方程式・不等式、空間図形
(1) 立方体ABCD一BEGH において, BP ATARA SHEL, 最も離れた頂点
G に到達するための経路は全部で | ? | 通りある。ただし,点Pは,ど
の頂点にも 2 回以上存在でをきないものとする。たとえば, 経路4ーD一A一
EーFーGは, 点Pが頂点Aに2回存在するため, 経路として用いることが
できない。また, 経路AEーFーGは, 点Pが頂点Aを出発してから3秒
後に頂点 G に達する。
全部で 通りの経路のうち, 最も長い時間を要する経路は, 全都で
通りあり, 頂点に達するのは。頂豆Aを出発してから| 9 |
秒後である。
(7 OME)
A 6 BF C 9 D 11 E 12 F 13
G 15 H 17 1 18 J 24 K その他
(8, 9 ORE)
A 3 B 4 C 5 D 6 E % F 8
G 9 H 10 1 1 J 12 K その他
aye
(2) 正四面体 ARCD において, 点Pが頂点Aを出発してからヵ秒後に頂点Bに
位置する確率を 6,とする。ただし,点Pな同じ頂京に2回以上存在してもよ
いものとする。
bra をを用いて表すと, なロー となる。また, SHRICAP
が頂京 B に位置する確率は 5。 = である。
= yet
CV] komm から の空杉の正解を設問ごとの解答群から選
び該当する解答柚にマーク しなさい。また, については, 各自で得た
SR EMMMICHE SV,
0) 直径8の球に内接する正四面体の 1辺の長きは | 10 | であり, 体積は
(10 の解答君)
ニー
ave p42 cs75 vv E aes.
3y3 276 3B. 9
ESS ea H 46 LS rg
K その他
G1 ARATE)
1 9/2 873 3272 fe
x 3 2 32 し 27 D 81 S 4
4 243 2 16/6 : 2776
e 3 9 256 H 27 1/5 J 32
K その他
(2) 直径3の球に3辺の長きが2, b, cの直方体が内接している。ここで,
々一35 とすると, 直方体の体積が最大になるのは, < = | 12 | のときで
bo, その体積は | 103 ] であぁる。
(12 Of EH)
273 6 4 2/6
人 人 と D 72 に
Be 寺 Gc ve Hs 1 /『 1 V6
K その他
=の
G に到達するための経路は全部で | ? | 通りある。ただし,点Pは,ど
の頂点にも 2 回以上存在でをきないものとする。たとえば, 経路4ーD一A一
EーFーGは, 点Pが頂点Aに2回存在するため, 経路として用いることが
できない。また, 経路AEーFーGは, 点Pが頂点Aを出発してから3秒
後に頂点 G に達する。
全部で 通りの経路のうち, 最も長い時間を要する経路は, 全都で
通りあり, 頂点に達するのは。頂豆Aを出発してから| 9 |
秒後である。
(7 OME)
A 6 BF C 9 D 11 E 12 F 13
G 15 H 17 1 18 J 24 K その他
(8, 9 ORE)
A 3 B 4 C 5 D 6 E % F 8
G 9 H 10 1 1 J 12 K その他
aye
(2) 正四面体 ARCD において, 点Pが頂点Aを出発してからヵ秒後に頂点Bに
位置する確率を 6,とする。ただし,点Pな同じ頂京に2回以上存在してもよ
いものとする。
bra をを用いて表すと, なロー となる。また, SHRICAP
が頂京 B に位置する確率は 5。 = である。
= yet
CV] komm から の空杉の正解を設問ごとの解答群から選
び該当する解答柚にマーク しなさい。また, については, 各自で得た
SR EMMMICHE SV,
0) 直径8の球に内接する正四面体の 1辺の長きは | 10 | であり, 体積は
(10 の解答君)
ニー
ave p42 cs75 vv E aes.
3y3 276 3B. 9
ESS ea H 46 LS rg
K その他
G1 ARATE)
1 9/2 873 3272 fe
x 3 2 32 し 27 D 81 S 4
4 243 2 16/6 : 2776
e 3 9 256 H 27 1/5 J 32
K その他
(2) 直径3の球に3辺の長きが2, b, cの直方体が内接している。ここで,
々一35 とすると, 直方体の体積が最大になるのは, < = | 12 | のときで
bo, その体積は | 103 ] であぁる。
(12 Of EH)
273 6 4 2/6
人 人 と D 72 に
Be 寺 Gc ve Hs 1 /『 1 V6
K その他
=の
問6画像OCR
検出分野: 微分・積分、数列、指数・対数、確率・場合の数、整数
(1) AABCの面積は7?であり, AB, BC, CAの比が7:6:5である。
AABC の内心を[直線 AI EW BC の交点をD とするとき, ACAD の面積は
。 AIAB の面積は である。
(2) BABE F(a) = a8 — a? — 21 +25 RT IN @ Se SO ERT,
a, DIME CHSEFSL, 4がとりうる最小の値は | オ ], 5ヵおとり
うる最大の値は である。
(9) jm Sm 1であることが知られている。これを利用すると。
— @
nm oa = 1
«0 asina
と求められる。
-—
(このページは計算用紙として使用してもよい。問題は次ページに続く。)
re HE =デ
CW, (NI, [Y]のうち2 問を選択して解答せよ。 (なお 3 問すべてに解答した場
合は、高得点の 2 問を合計得点に含める。)
(I) 所定の解答欄(表面)に, 次の各問の答のみを記せ。
mee, 問題文中に空欄 | サ | , | シ | などが2度以上現れる場合, 2
meses, | サ |, | シ | のように細字で表記している。
2 つの曲線器/リニタ十婦二の Ciリーダ十な十sがあり, 直線7が選
と のいずれにも接している。ただし, pg の *は実数で,。 per ETS,
と7の接点の*座標を@, と! の接点の座標をのとするとき, a <p
であるとする。
(1) との交点の座標を/とする。!/をeとで表す式を求める過程を記
した次の文詩の容欄 ~ に適切な式を入れよ。
EF, C, の接線の方程式を求める。
CQiy=+ peta ®
Giy=Pttats @
DED, GEOR a, g@2十のgg 十9)における接線の方程式は。
y—(attpetq)=((L# |)e-の
これを整理して,
>(ビゴー (ピコ) @
同様に9より, LORS, +B +s) cB SBRO HEE,
y-(#+n+o=(Lae ])u-2)
これを整理して,
次に直線 7 を考える。直線 7 は34が同一の式となる場合の直線である。よ
（続きは問題PDFで確認できます）
AABC の内心を[直線 AI EW BC の交点をD とするとき, ACAD の面積は
。 AIAB の面積は である。
(2) BABE F(a) = a8 — a? — 21 +25 RT IN @ Se SO ERT,
a, DIME CHSEFSL, 4がとりうる最小の値は | オ ], 5ヵおとり
うる最大の値は である。
(9) jm Sm 1であることが知られている。これを利用すると。
— @
nm oa = 1
«0 asina
と求められる。
-—
(このページは計算用紙として使用してもよい。問題は次ページに続く。)
re HE =デ
CW, (NI, [Y]のうち2 問を選択して解答せよ。 (なお 3 問すべてに解答した場
合は、高得点の 2 問を合計得点に含める。)
(I) 所定の解答欄(表面)に, 次の各問の答のみを記せ。
mee, 問題文中に空欄 | サ | , | シ | などが2度以上現れる場合, 2
meses, | サ |, | シ | のように細字で表記している。
2 つの曲線器/リニタ十婦二の Ciリーダ十な十sがあり, 直線7が選
と のいずれにも接している。ただし, pg の *は実数で,。 per ETS,
と7の接点の*座標を@, と! の接点の座標をのとするとき, a <p
であるとする。
(1) との交点の座標を/とする。!/をeとで表す式を求める過程を記
した次の文詩の容欄 ~ に適切な式を入れよ。
EF, C, の接線の方程式を求める。
CQiy=+ peta ®
Giy=Pttats @
DED, GEOR a, g@2十のgg 十9)における接線の方程式は。
y—(attpetq)=((L# |)e-の
これを整理して,
>(ビゴー (ピコ) @
同様に9より, LORS, +B +s) cB SBRO HEE,
y-(#+n+o=(Lae ])u-2)
これを整理して,
次に直線 7 を考える。直線 7 は34が同一の式となる場合の直線である。よ
（続きは問題PDFで確認できます）