名古屋大学 2013年度 過去問・解答

名古屋大学 2013年度（平成25年度）前期日程 数学の全問解説です。文科系が3題、理科系が4題で、文科系第1問＝理科系第1問、文科系第3問と理科系第3問は (1)(2) が共通（(3) だけ理科系のほうが強い形）。重複を整理すると全5題13小問になります。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（ジャンケンの全27通り列挙・分数のままの漸化式計算・200万分割での最大値走査・素数ごとの全数確認・1000項の床関数の直接計算・数値積分） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 【3】がこの年の主役です。 という「べき乗和」を二項係数で束ねた を導入し、(2) で得た等式をそのまま整数問題の道具として使うという構成。(1)→(2)→(3) の流れが一本の線でつながっています。
• 【4】は「(1) の不等式を (2) でどう使うか」がすべて。差の上限が だと分かると、 では差が1未満＝整数部分が飛ばないと言えます。逆に では差が1より大きく、整数部分は必ず変わる。この2つで場合分けするだけです。
• 【5】は「半径1の円が転がるが、点は中心から2の距離」という設定。ふつうのサイクロイドではなく伸びサイクロイドで、 が一度戻る（ の区間がある）のが特徴。増減表を作らせる (2) はそのための誘導です。

【1】3人ジャンケンの確率漸化式（文科系・理科系 第1問）

(1)　

【型】3人ジャンケン1回は 通りを「アイコ／1人勝ち／2人勝ち」に分けるだけ。

【なぜこうするか】3人が出す手は27通りで同様に確からしい。アイコになるのは「全員同じ」か「3人とも違う」の2パターンしかありません。ここを押さえると残りは自動的に決まります。

アイコ（3人残る）

• 3人とも同じ手： 通り
• 3人が互いに違う手（グー・チョキ・パーが1つずつ）： 通り

合わせて 通り。よって

2人が勝ち残る（1人脱落）　負ける人が誰か（ 通り）と、その人が何を出して負けるか（ 通り）を決めれば、残り2人の手は自動的に決まります。よって 通り。

残る 通りが「1人だけ勝ってその場で決着」で、こちらも確率 。3つの場合がちょうど等確率になっているのが、この問題の気持ちよさです。

(2)　漸化式と一般項

【型】確率漸化式は「 回目終了時の状態」→「 回目終了時の状態」の遷移をすべて書き出す。

【なぜこうするか】状態は「3人残る／2人残る／決着」の3つしかありません。各状態から次の状態への確率さえ埋めれば、漸化式は機械的に書けます。人数が減ると使うジャンケンも3人用から2人用に変わる、という点だけ注意します。

2人ジャンケンは 通りで、アイコ（同じ手）が 通り、決着が 通り。つまりアイコが 、決着が です。図の遷移から

① より は公比 の等比数列で、 だから

これを ② に入れると 。両辺を 倍すると

つまり は公差1の等差数列。初項は なので 。

(3)　ちょうど 回目で決まる確率

【型】「ちょうど 回目で決着」＝ 回目終了時の状態×その状態から決着する確率。

【なぜこうするか】決着の直前は「3人残っている」か「2人残っている」かのどちらか。すでに を求めてあるので、あとは各状態からの決着確率（3人なら 、2人なら ）を掛けて足すだけです。

のとき、求める確率を とすると

のときは (1) の「1人勝ち」で 。式に を入れると で一致します。したがって

検算のコツ：いつかは必ず決着するので になるはずです。実際 で、確かに1になります。答えの妥当性を自分で確かめられる、良い検算です。

検証：3人ジャンケンの 通り、2人ジャンケンの 通りを実際に全列挙して、アイコ9通り・2人残り9通り・決着9通り、および2人の場合のアイコ3通り・決着6通りを確認しました。漸化式を分数のまま11項まで回して 、、 が厳密に一致すること、 が になることも確認しています。

【2】同心円上の2点と三角形の面積（文科系 第2問）

面積の2乗の最大値

【型】まず座標で表す。弧長が同じでも半径が違えば回転角が違うことに注意。

【なぜこうするか】「弧長 だけ進む」は、半径 の円では回転角 にあたります。 は角 、 は角 。この差が問題の核心で、Pのほうが2倍速く回ります。

A としても一般性を失いません。 でO, P, Qがこの順に並ぶので、Qの初期位置は 。したがって

面積は と の外積の大きさの半分です。

【型】半角が混ざったらすべて にそろえる。、。

代入して整理します。 と略記すると

足すと 。よって

（ なので 。）両辺を2乗して

【なぜこうするか】ここで「面積」ではなく「面積の2乗」を問うている意味が分かります。2乗にすると の絶対値が消え、 だけの多項式になるのです。 では が から まで動くので、 は のすべての値をとります。

そこで とおき

では なので、符号は で決まります。 の解は で、区間内にあるのは のみ。

したがって で最大。値を計算します。

検証：P, Q, A の座標から外積で面積を直接計算し、閉じた式 と一致することを確認（最大誤差 ）。さらに を200万分割して走査すると、最大は での で、 と一致しました。

【3】べき乗和と二項係数・素数（文科系・理科系 第3問）

(1)　 と

【型】二項係数の和は二項定理 に具体的な を入れる。

【なぜこうするか】、 と、 乗が「1の 乗」「2の 乗」の形で出てくるので、二項定理の にそのまま当てはまります。あとは端の と の項を引くだけです。

　 なので

　 なので

第2項は二項定理に を入れて端を引き

(2)　一般の に対する

【型】(1) の から と予想し、差の形の和（望遠鏡和）で示す。

【なぜこうするか】 は の和なので、 についての和を先に外に出すと各 ごとに二項定理が使えます。すると という隣どうしの差が現れ、足すと両端だけが残ります。

二項定理より、各整数 について

（ の項は 。）これを で足すと、左辺は望遠鏡和で

右辺は

両者を等しいとおいて

を入れると となり (1) と合います。

(3)　 が の倍数であること

【型】(2) の等式に を代入し、 についての数学的帰納法で1つずつ確定させる。

【なぜこうするか】 を入れると となり、右辺が の倍数になります。左辺は の和なので、 から順に「 の倍数」と分かっていけば、毎回いちばん最後の項だけが未知として残るという仕掛けです。

(2) で とすると

右辺 は の倍数です。以下 についての帰納法で示します。

(I) のとき

は3以上の素数だから奇数で、 は整数。よって は の倍数です。

(II) で成り立つと仮定する（）。 で とすると、和は から までなので

右辺の第1項は の倍数、第2項の各項も仮定から の倍数。よって左辺も の倍数です。ここで なので

は の倍数

より で、 は素数だから は で割り切れません。したがって が の倍数でなければなりません。

(I)(II) より、 のとき は の倍数です。（証明終）

文科系版は なので 。上の結果で をとれば、 がすべて の倍数であることが従います。

範囲を外すと本当に破れます： で （これは を超えています）を試すと で、。5の倍数ではありません。文科系版が「7以上の素数」と限定しているのは、 まで使うために 、すなわち が要るからです。