藤原進之介です。このページでは山口大学2011年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：「2辺の長さ＋その挟角」が与えられた型。面積なら sin、内積なら cos。使い分けはそれだけで、公式を2つ覚える必要はありません。
1. なぜその一手を選ぶのか
与えられているのは |OA| = 3 、|OB| = 6 、挟角 120° の3つ。2辺と挟角が揃った瞬間に、面積も内積も確定します——どちらも「2辺の積 × 挟角の三角比」の形だからです。
内積の図形的な意味は「|OA| × （OB を OA の向きに落とした影の長さ）」です。今回は挟角が 120° の鈍角なので、影は OA と逆向きに伸びます。だから内積は負になります。
2. 解答
- 面積：S = 12 |OA||OB| sin 120° = 12 × 3 × 6 × √32 = 9√32 。
- 内積：OA · OB = |OA||OB| cos 120° = 3 × 6 × −12 = −9 。
答え： 面積 = 9√32 、 OA · OB = −9
3. 検算（符号と大きさを別々に見る）
符号：面積は必ず正。内積は挟角が鋭角なら正、鈍角なら負、直角なら 0。今回は 120° = 鈍角なので内積は負で、答えの符号と合っています。
大きさ：内積の絶対値は |OA||OB| = 18 を超えません（cos の絶対値が 1 以下だから）。また sin 120° = sin 60° なので、面積は挟角 60° のときと同じ値になります。
この型の一般化：成分が与えられて挟角が分からない場合は、先に内積を成分計算し、S = 12 √( |OA|²|OB|² − (OA·OB)² ) を使います。角を求めてから面積に行くのは遠回りです。始点の置き方と式の読み方は第8章 ベクトル、平面に落とす判断は第9章 空間図形で扱っています。
山口大学 数学 過去問｜他の年度を見る
山口大学の数学の過去問は18年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
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山口大学 2011年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 関数・グラフ
- 空間図形
- 指数・対数
- 整数
- 方程式・不等式
- 確率・場合の数
- 微分・積分
この年度の出題範囲と傾向
2011年度の問題PDFでは、図形・三角関数、関数・グラフ、空間図形、指数・対数、整数に関する語句や設問を確認できました。山口大学の公開PDFを年度横断で調べると、関数・グラフは18年度、微分・積分は18年度、図形・三角関数は17年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、空間図形、方程式・不等式、関数・グラフ、微分・積分
Her, HORA
数 学 (理系2) nae
HPI, BRC
£2 事項
1. 試験開始の合図があるまで, LMT OME MOP eM TIA UT Eth A.
2. 問題は全部で4 題あります。また, 解答用紙は 4 枚あります。 解答用紙枚数に
過不足がある場合は 手を挙げて監人者に知らせてください
3 試験中に問題世子の印刷不鮮明. ベージの落丁・吉本及び解和用紙の流れ等
気がついた場合は, 手を挙げて監督者に知らせてください。
1 試間始後、すべての解答用紙に受験番号.志学部及び氏名を記入してくだ
さい。 受験番号の記入棚は各解和用紙に 2 箇所あります
5. 解答は各問指定された番号の解答用紙のおもて面にだけ記入してください。
6. ARS CHTE SN BLOM MARCIA LIMA, POMBE TD RH
r ん。
7 香面その他に解管を書いた場合 その部分は採点の対象となりません
8, 各問題の配点 30 点は200 京満点としたときのものです。
9, 試験終了後, 問題骨子は持ち帰ってください。
やM3(862一18)
[ 1 ] (配点50) を実数とし
1=] (x+acosx+a’sinx)?dr
とおく。このとき, 次の問いに答えなさい
1) 7を4の式で表しなさい
[ 2 ] (配点50) 座標平面において, 2点A(1. 0), BQ, 0 )を原点のまわりに
を通り直線 CD と算直に交わる直線をとし, AD を通り直線CD と垂直に交
わる直線を とする。また., 直線?と直線 如 によりはさまれた領域をS
不等式0 ミゞミェ*の表す領域を 7 とする。このとき, 次の問いに答えなさい
1) 直線 の方程式を求めなさい
2 9が0ぐ9ぐ の範囲を動くとき. 領域$と信域 7 の共通部分の面積を最
小にする9の値を求めなさい
2 OM3(862—20)
[ 3 ] (配点 50) を正の実数とする。点(3 46)を中心とする半径5を二1の|
2) #がすべての正の実数値をとって変化するとき, 円 C, の動く範囲を求め
座標平面上に図示しなさい
3 OM3(862—21)
4 ] (配点50) 2つの関数yニw*十6.y r-1) (e+ 1) | OFF TAGE
座標平面上に図示しなさ
4 M3 (862.
問2画像OCR
検出分野: 指数・対数、確率・場合の数、関数・グラフ、空間図形、数列
数 。 学 OM) ELE
注 意 事項
1. 試験開始の合図があるまで, 問題周子及び解答用紙の中を見てはいけません。
2. 問題は全部で4 題あります。また, 解答用紙は 4 枚あります。解答用紙枚数に
HAE ASH SIGS, 手を挙げて監督者に知らせてください
3. 試験中に問題時子の印刷不鮮明 ページの落丁・乱及び解答用紙の汚れ等に
気がついた場合は 手を挙げて監督者に知らせてください。
1 試験開始後, すべての解答用紙に受験番号、志望学部及び氏名を記入してくだ
さい。 受験番号の記入欄は各解答用紙に 2 箇所あります.
5. 解答は各間, 指定された番号の解答用紙のおもて面にだけ記入してください。
7 6. 解和を指定された番号以外の解答用紙に記入した場合. 採点の対象となりませ
ん。
7. 裏面その他に解答を書いた場合. その部分は採点の対象となりません。
8. 各問題の配点 50 点は 200 点満点としたときのものです。
9, 試験終了後, 問題周子は持ち帰ってください
やM2(862一13)
[ 1 ] (配点50) AE logs (x +1) + logs(x — 1) S logsy — 1 S logs (11 — x) &
WZ T ORM (x, y) の個数を求めなさい
OM2(862—14)
[ 2 〕 GH 50) 座標平面上の自然数を成分とする点(。 7)に。 有理数づーを対応
SHS. 下図のように. MU, 1)から矢印の順番に従って. 対応する有理数を
並べ、次のような数列をつくる
1 1」 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 4 4 4 4 ...
rh hr er ce eer err es ee ee
このとき, 次の問いに答えなさい
1) 有理数 " が初めて現れるのは第何項かを求めなさい。
2) 第 160 項を求めなさい
3) 第1000 項までに. 値が 2 となる項の総数を求めなさい」
y
トー)
| | |
5 + + + | + +
| | | | ]
4 ーーサーーーサーーーパーーーキーーー|*ーートムー-
3 ーードーーーキーー 14 +
SIH +$—+
1 a Ce es Oe) ee
Oo 1 g 8 4 5 6
2 OM2 (86 15)
枚のカードの中から 3 枚を取り出し. 左から一列に並べる。 並べたカードの数字
いに答えなさい
2 M—N| < 200 を満たすカードの並べ方の総数を求めなさい
3 のWMI2(@6
(4) (配点50) 2次関数yニャ EATS P r— 3 で与えられる放物線を
1) 放物線 CC:のどちらにも接する 2 本の直線の方程式を求めなさ
2) 放物線 C, と1)で求めた 2 直線で囲まれる部分の面積を求めなさ!
4 のNM2862一17
問3画像OCR
検出分野: 整数、関数・グラフ、図形・三角関数、空間図形、微分・積分
、 BEL, HEA
数 学 (ARB) wet. wen
BEM, BFC )
'
注意 事項
1. 試験開始の合図があるまで 問題有子及び解答用紙の中を見てはいけません。
2. 問題は全部で4 題あります。また, 解答用紙は 4 枚あります。解答用紙枚数に
過不足がある場合は, 手を挙げて監督者に知らせてください。
3. 試験中に問題則子の印刷不鮮明、 ページの落丁・乱丁及び解答用紙の汚れ等に
気がついた場合は, 手を挙げて監督者に知らせてください。
4. 試験開始後. すべての解答用紙に受験番号、 志望学部及び氏名を記入してくだ
さい。 受験番号の記入欄は各解答用紙に 2 箇所あります。
5. MAGI, 指定された番号の解答用紙のおもて面にだけ記入してください。
6. 解答を指定された番号以外の解答用紙に記入した場合採点の対象となりませ
ん。
7. 裏面その他に解答を書いた場合、その部分は採点の対象となりません。
8. 各問題の配点 50 点は 200 点満点としたときのものです。 |
9, 試験終了後, 問題周子は持ち帰ってください。 |
|
OMA (862—23) |
[ 1 ] (配点50) 2つの関数yニgr*二56 y= Cr - 1) (+1) のグラフが共有
点をもつための必要十分条件を <.、ヵ を用いて表し, Hla, b) OFES S PURE
座標平面上に図示しなさい
M4 (6224
(2) (配点50) 4を実数とし.
T=] (x+acosx +a’ sinx)’dx
とおく。このとき, 次の問いに答えなさい
1) 7をの式で表しなさい。
2) 1 >a であることを示しなさい。
2 Ma (962-25)
[ 3 ] (配点50) か 7を整数とする。 2次方程式**十女二9ニ0が異なる2つの
夫数解<。、 8(wぐ8)を持ち, 区間[ 9]には, ちょうど2つの整数が含まれて
いる する。eg が整数でないとき. 』 gの値を求めなさい
[ 4 ] (配点 50) 図のように東西に 6本、南北に 10 本の道がある。東西の道と南北
の道の出会う地点を交差点とよび, 隣どうしの交差点を結ぶ道を区間ということ
にする。A 地点からB地点に進ひとき, 次の問いに答えなさい。ただし, どの
交差点においても, 東西および北のいずれかに進むことはできるが, 南に進むこ
とはできないとする。 また, 後戻りもできないとする。図の中の太線は道順の例
を示したものである。
1) A地点からB地点へ行く道順の総数を求めなさい。
2) で地点を通っつて, A 地点からB 地点へ行く道順の総数を求めなさい。
(3) 4 地点からB地点まで 16 区間で行く道順の総数を求めなさい
北
| ーーイー | 7 = eB
| | C
| | |
| & | 東
| _-
| |
] |
| | | | 1
7 a
4 OM4(862—27