藤原進之介です。このページでは山口大学2009年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：円と直線の共有点の個数 → 中心と直線の距離と半径の大小に翻訳する型。連立して判別式でも解けますが、距離のほうが速くて間違えにくい。
1. なぜその一手を選ぶのか
円 x2 + y2 = 81 は中心が原点、半径 √81 = 9 。直線 y = 3x + c は傾き固定で、c だけが上下に動きます。
異なる2点で交わる ⟺ 中心と直線の距離 < 半径。連立して2次方程式を作り判別式を見る方法もありますが、係数が増えて計算が重くなります。中心が原点にあるときは距離の公式が圧倒的に速い——この見極めがこの型の判断です。
2. 解答
- 直線を 3x − y + c = 0 と整理する。
- 原点との距離 d = |c|√(9 + 1) = |c|√10 。
- 2点で交わる条件は d < 半径、すなわち |c|√10 < 9 。
- 両辺を払って |c| < 9√10 。
答え： −9√10 < c < 9√10（≒ ±28.460）
3. 検算
c = 0 を入れてみる：直線が原点を通るので必ず2点で交わります。答えの範囲に 0 が入っていることを確認（−9√10 < 0 < 9√10 ✓）。
極端な c：|c| が大きいと直線は円から離れて交わらないはずで、答えが有界なのは正しい挙動です。境界の等号は「接する」場合なので、「異なる2点」では等号を含めません——ここを含めてしまうのがこの型の最頻出ミスです。
この型の一般化：共有点の個数は 距離 < 半径 → 2点、= → 1点（接する）、> → 0点。中心が原点でない円 (x−p)2 + (y−q)2 = r2 でも同じで、点と直線の距離の公式に中心を入れるだけです。判別式を使うのは、交点の座標そのものが必要なときに限ります。第7章 座標で整理しています。
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山口大学の数学の過去問は18年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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山口大学 2009年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 微分・積分
- 図形・三角関数
- 関数・グラフ
- 整数
- 方程式・不等式
- 確率・場合の数
- 数列
この年度の出題範囲と傾向
2009年度の問題PDFでは、微分・積分、図形・三角関数、関数・グラフ、整数、方程式・不等式に関する語句や設問を確認できました。山口大学の公開PDFを年度横断で調べると、関数・グラフは18年度、微分・積分は18年度、図形・三角関数は17年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 整数、関数・グラフ、図形・三角関数、確率・場合の数、数列
(2) WH a, を推定しなさい。
(3) 推定した一般項が正しいことを 数学的帰納法を用いて証明しなさい。
=i. M2(481—14)
(2) (配点50) 曲線ッニ*?およびッー2|x| +1をそれぞれCC,とし, GE
Co とで明まれた領域を 4 とする。ただし, 4 は境界を含むものとする。このと
き, 次の問いに答えなさい。
(1) Cr EC, の交点の座標を求めなさい。
(12) 領域4 の面積を求めなさい。
(3) APC, yABURA 内を動くとき, + y の最大値と最小値を求めなさ
い。
= OM2(481—15)
[ 3 ] (配点50) ABの2人が次のようなゲームをする。 1 枚の硬貨を何回か投げ
て表が裏よりも先に 3 回出たら A の勝ち, 反対に裏が表よりも先に3回出たら
B の勝ちとし, ゲームを終了する。 例えば, 1回目に表, 2 回目に裏, 3回目に
HR, 4 回目に表が出た場合にはA の勝ちである。ゲーム終了時に, 得点として
勝った者には 1 Re, 負けた者には* 点を与えることにする。 COLE, 次の問
いに答えなさい。
(1) 1 回目に表が出たとする。このとき, A が勝つ確率を求めなさい。
(2) *ニー0.5 とし, 1回目に表が出たとする。このとき, A の得点の期待値を
求めなさい。
(3) 1 回目に表が出たとする。このとき, A の得点の期待値が 0 点となるように
x の値を定めなさい。
ーー 9 = M2(481—16)
[ 4 〕 (配点50) を自然数とするとき. 次の問いに答えなさい。
(1) *を5で割ったときの余りは, 0,1, 4 のいずれかであることを証明しな
さい。
(2) "が5の倍数ならば みは5 の倍数であることを証明しなさい。
(3) V5 が無理数であることを証明しなさい。
= M2(481—17)
問2画像OCR
検出分野: 微分・積分、図形・三角関数、方程式・不等式、関数・グラフ、確率・場合の数
2) を求めなさい。
トビ やM3(481一19)
回
(2) (配点 50) A, Bの2人が次のようなゲームをする。 1 枚の硬貨を何回か投げ
て表が裏よりも先に 3 回出たら A OBS, 反対に裏が表よりも先に 3 回出たら
B の勝ちとし、ゲームを終了する。例えば, 1回目に表, 2回目に裏. 3回目に
HK, 4回目に表が出た場合にはA の勝ちである。ゲーム終了時に, 得点として
勝った者には 1 点を, 負けた者には* 点を与えることにする。このとき, KOM
いに答えなさい。
(1) 1回目に表が出たとする。このとき, 4 が勝つ確率を求めなさい。
QQ) *ニー0.5 とし, 1回目に表が出たとする。このとき, A の得点の期待値を
求めなさい。
(3) 1回目に表が出たとする。このとき, A の得点の期待値が 0 点となるように
ェの値を定めなさい。
— 2 一 M3 (481—20)
[ 3 ] (配点50) 媒介変数表示された曲線 C
*ー29一sin9.yー2一cos9 (050 2ァ)
に対して, 次の問いに答えなさい。
a W ge
Dag? Gg ZABLE.
(2) 人 >0 であることを示し, *がとる値の範囲を求めなさい。
(3) 曲線どを表す関数をッーア(x) ETS. 2 を2の剛数として表しなさい。
(4) 関数yニア(x)の増減を調べなさい。
(5) 曲線C. *軸および2直線ヶ王0.*ー4ァで囲まれた図形の面積を求めな
さい。
っ M3 (481—21)
回
(4) (配点50) KMRMy=PEALL, y=ar'tixtecla, b, は実数,
gキ0)をC。 とする。 このとき, 次の問いに答えなさい。
(1) C」上の点 QS, s)におけるCi の接線が, C。上の点P( at? + bt + c)*
通るとする。このとき, a, b, c, s, 7がみたす関係式を求めなさい。
(2) (1)で求めた関係式を s についての 2 次方程式としてみたとき, この方程式が
異なる 2 つの実数解をもつためのZ, b, c, 7 についての条件を求めなさい。
3) C。上に点Pをとり, PからCiへ接線を引くととを考える。Pのとり方によ
BS, 常にPから C」へ異なる 2 本の接線が引けるためのg. b, cについての
条件を求めなさい。
oa M3 (481—22)
問3画像OCR
検出分野: 微分・積分、図形・三角関数、関数・グラフ、方程式・不等式、整数
tens
が成り立つことを証明しなさい。
(2) すべての自然数ヵに対して
Ian al S3(G)
が成り立つことを証明しなさい。
(3) 極限値
a= lim x,
を求めなさい。 BA (xy) AURIS TF LMBMLB<S TKO.)
= l= OM4 (481—24)
(2) (配点50) 娠介変数表示された曲線C
ァー29一sinの.ッー2一cosの (0S0S2z)
に対して, 次の問いに答えなさい。
4) dt dy oe
a) &, Senmnean.
(12 BS >0CHSCLERL, rMLSHOMMERDEED.
8) 曲線を表す関数を =f) ETS, 5 を 9 の関数として表しなさい。
(4) 関数ーア(x)の増滅を調べなさい。
5) HOC, x軸および2直線*ー 0.、 メー4zで囲まれた図形の面積を求めな
さい。
= 2 M4 (481—25)
回
[ 3 〕 (配点50) 放物線ッー*?をCiとし,ゅニーgr?十丸十c (a, 5 cは実数,
gキ0) をC。 とする。このとき, 次の問いに答えなさい。
(1) 上の点 Q($, *)における Ci の接線が, C。上の点P(7。 gだが十の)を
通るとする。 COLA, a, b, c, s, 7がみたす関係式を求めなさい。
(2) (1)で求めた関係式をについての 2 次方程式としてみたとき, この方程式が
異なる 2 つの実数解をもつためのg, b, c, 7 についての条件を求めなさい。
(3) C。 上に点Pをとり, PからC」へ接線を引くことを考える。Pのとり方によ
BT, 常にPからC」へ異なる 2 本の接線が引けるための4, b, についての
条件を求めなさい。
=e M4 (481—26)
(4) @A5) 点0を中心とする半径1 の円に内接する正七角形の各頂点Pi
Ps, P,から長さが最大となる対角線を 2 本ずつ引き, それらの交点のうち
Qr Q。 ..., を較のように定める。 また, gsimn 2, potn es
る。このとき, 次の問いに答えなさい。
(1) TEC PLP) P, の面積を 々 を用いて表しなさい。
2 点Qiから線分 PiO へ垂線を下し, その交点をH とする。線分 QiH の長さ
を4 を用いて表しなさい。
3) APL Qu Pa Quo Pr Qs, Piを順番に線分で結ぶことによって囲ま
れた図形(図の灰色の部分) の面積を を用いて表しなさい。
Pi
/ ぐ』 ト
Loe
= 4S M4 (481—27)